数学人教B版 (2019)第五章 数列5.2 等差数列5.2.2 等差数列的前n项和巩固练习

【精选】5.2.2 等差数列的前n项和作业练习

一．单项选择

1．我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲？乙，丙？丁？戊？己？庚？辛？王？癸，地支有十二个，依次是子？丑？寅？卯？辰？巳？午？未？申？酉？戌？亥．古人把它们按照甲子？乙丑？丙寅的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年？月？日？时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年(2021年)是辛丑年，则百年后的2121年是（    ）年．

A．丙午 B．丁巳 C．辛巳 D．辛午

2．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（    ）

A．1 B．2 C．-2 D．-1

3．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（    ）

A． B． C． D．

4．数列满足（m，），，（    ）

A．300 B．330 C．630 D．600

5．我国古代著名的数学专著《九章算术》有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，行程一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日减半里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，则二马（    ）日后相逢．

A．10 B．11 C．12 D．13

6．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：

按照上面的规律，第9个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为（    ）

A．40 B．56 C．62 D．80

7．中角，，所对的边分别为，，，，若的周长为15，且三边的长成等差数列，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知等差数列中，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

9．在等差数列中，若，，则的公差为（    ）

A．-2 B．2 C．-3 D．3

10．《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里.则8天后两马之间的距离为（    ）

A．1055里 B．1146里 C．1510里 D．1692里

11．数列中的前项和，数列的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

12．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．8或9

13．设等差数列的前项和为，若，则=（    ）

A．21 B．15 C．13 D．11

14．记为数列的前项和．若，则（    ）

A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项

C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项

15．已知数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：由题意可知，天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，年是“干支纪年法”中的辛丑年，以年的天干和地支分别为首项，根据等差数列的通项公式，即可求出结果．

详解：天干：甲．乙．丙．丁．戊．己．庚．辛．壬．癸；地支：子．丑．寅．卯．辰．巳．午．未．申．酉．戌．亥，天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，年是“干支纪年法”中的辛丑年，以年的天干和地支分别为首项，所以，则年的天干为辛；又，则年的地支为巳，故2121年是辛巳.

故选：C．

2．【答案】B

【解析】分析：利用等差中项的性质得导方程，利用通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.

详解：设等差数列的公差为d.

由已知条件，得，

即，解得.

故选B.

3．【答案】A

【解析】分析：由题意转化为等差数列，由等差数列的通项公式列出方程求解即可.

详解：由题设知在等差数列中，，.

所以，，解得，

故选：A

4．【答案】B

【解析】分析：根据给定条件判断数列是等差数列，再借助等差数列的前n项和公式求解即得.

详解：数列满足（m，），则当时，则，

于是得数列是首项为1，公差为1的等差数列，，

从而有，

所以.

故选：B

5．【答案】C

【解析】分析：根据题意通过已知条件转化为两个等差数列的前n项和为定值问题，进而计算可得结论．

详解：由题可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差的等差数列，

驽马每日行程构成一个首项为97，公差为的等差数列，

则，，

则数列与数列的前n项和为，

又数列的前n项和为，

数列的前n项和为，

，

整理得：，

当时，，

当时，，

所以大12日相逢．

故选:C．

6．【答案】B

【解析】分析：观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，本题规律就是：每增加一个金鱼就增加6根火柴棒．从而得出等差数列，代入即可得出结果．

详解：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以，

故选：B．

7．【答案】D

【解析】分析：利用正弦定理和余弦定理化简可得，可得，故为最大边，由数列性质设，，，再由余弦定理即可得解.

详解：由余弦定理可得，

整理得，

所以，，

故为最大边，

不失一般性，设，，()，

代入得，

所以，，的面积为，

故选：D.

8．【答案】D

【解析】分析：由题可设，表示出公差，将表示为关于的函数，即可求解.

详解：设等差数列的公差为，

，则可设，

于是，

，其中，

，则的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是利用已知条件设.

9．【答案】B

【解析】分析：利用等差数列的性质求出，再由公差的定义求出公差即可.

详解：设公差为，因为，

所以，

从而.

故选：B.

10．【答案】B

【解析】分析：由题意，良马与驽马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.

详解：良马日行里数构成以为首项，为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以为首项，为公差的等差数列，

则两马同时出发后第8日，良马日行里数（里），

而驽马日行里数（里），

所以良马较驽马日行里数多（里）．

故选：B．

11．【答案】D

【解析】当时，，

当时，，

经检验不满足上式，所以，

设，则，

所以，

故选D．

12．【答案】D

【解析】分析：根据求得，结合，判断数列单减，从而判断取得最大值时，的值.

详解：由题知，，则，

等差数列的公差d满足，数列单减，

且，，则当取得最大值时，的值为8或9

故选：D

13．【答案】A

【解析】分析：利用等差数列的前n项和的性质求解.

详解：因为数列是等差数列，

所以成等差数列，

所以，

因为，

所以，

解得，

故选：A

14．【答案】A

【解析】分析：根据题意，结合二次函数的性质分析的最大项，再分析的符号，据此分析可得的最大项，即可得答案．

详解：解：根据题意，数列，，

对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，

对于，时，最大；

且当时，，当时，，当时，，

故当或8时，最大，

故有最大项，有最大项；

故选：．

15．【答案】C

【解析】分析：分析出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.

详解：在等式中，令，可得，则，

所以，数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，

因为，故，所以，，则，

因此，.

故选：C.