高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.2 导数及其几何意义达标测试

【优选】6.1.2 导数及其几何意义-1优选练习

一．填空题

1．曲线在点处的切线斜率为______.

2．曲线在点处的切线与抛物线相切，则__________.

3．曲线在处的切线方程为______.

4．已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为______

5．已知函数f(x)＝xlnx＋a的图象在点（1，f（1））处的切线经过坐标原点，则实数a＝________.

6．已知函数的图像在点处的切线过点（2，11），则____．

7．已知函数，若且，则最大值为______.

8．曲线在点处的切线的倾斜角为_____．

9．曲线在点处的切线与直线垂直，则________.

10．设曲线在点处的切线方程为，则________.

11．函数(其中e为自然对数的底数)的图象在点处的切线方程为________.

12．曲线在点（4，2）处的切线的斜率为_______.

13．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是_______.

14．曲线在处的切线方程为__________________.

15．已知函数的图象在点处的切线为，______．

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】先求出函数的导数，然后将代入即可求得切线斜率.

详解：曲线，则点在曲线上.

则，

所以当时，.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义及切线斜率的求法，属于基础题.

2．【答案】或

【解析】分析：先求导得，曲线在点处的切线的斜率为，由切点为，得切线方程为，并与抛物线方程联立得，进而算出时的值.

详解：解：，，

则曲线在点处的切线的斜率为，

又切点为，切线方程为，

联立得，

，

解得或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查导数的几何意义和切线方程，属于中档题.

3．【答案】

【解析】根据导数的运算法则求出导函数，从而求出在处的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程.

详解：，当时，切线斜率，

故切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数的几何意义．导数的运算法则，属于基础题.

4．【答案】

【解析】函数有三个零点，可转化为与直线有三个交点，对 分类讨论，当时不满足条件，当时求出过原点与函数在上的切线，数形结合即可求解.

详解：如图，函数恰有三个零点，等价于方程，有三个解，

即函数与函数的图象有三个交点，又有为过原点的直线

由图可知，当时，函数的图象与函数的图象没有有三个交点，不满足条件.

当时, 当且仅当为的切线的时候，方程恰有两个解，

故而，令为的切线，设切点为，

则切线的方程为，

由于切线过原点，所以，即，此时直线的斜率为，

由题意知，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，函数切线的求法，函数的零点个数的判定，数形结合的思想，属于中档题.

5．【答案】1

【解析】求导得到，得到切线方程为，带入原点解得答案.

详解：，，，所以切线方程为，

因为切线过原点，所以.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.

6．【答案】2

【解析】分析：求出函数的导数，，而,根据点斜式得到直线方程，利用切线的方程经过的点求解即可．

详解：函数的导数为：，，而，

切线方程为：，因为切线方程经过（2，11），

所以

解得．

故答案为：2.

【点睛】

这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.

7．【答案】2

【解析】分析：先作出函数的图像如图，问题转化为到直线距离的最大值问题，此时需过点的切线与平行，然后利用导数可求出点的坐标，从而可求出结果

详解：设，由，要使最大，即转化为求的最大值，问题转化为（如图所示）到直线距离的最大值问题，此时需过点的切线与平行，当时，，令，则，此时，所以的最大值为2

故答案为：2

【点睛】

此题考查的是利用导数的几何意义求切线的切点，利用了数形结合的思想，属于中档题

8．【答案】

【解析】分析：求得的导数，将代入，可得切线的斜率，再由直线的斜率公式，计算可得所求倾斜角．

详解：函数的导数为，

可得曲线在点处的切线的斜率为，

则切线的倾斜角满足，，解得.

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．

9．【答案】．

【解析】先对函数求导，求出其在点处的切线斜率，进而可求出结果.

详解：因为，所以，

因此，曲线在点处的切线斜率为；

又该切线与直线垂直，所以.

故答案为

【点睛】

本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.

10．【答案】

【解析】由题意得知，函数在处的导数值为，由此可求出实数的值.

详解：，.

由题意可知，当时，，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用切线方程求参数，一般要结合以下两点来考虑：

（1）切点为切线与函数图象的公共点；（2）切线的斜率是函数在切点处的导数值.

考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

11．【答案】

【解析】因为，所以，

所以切线方程为：，即，

故答案为：.

12．【答案】

【解析】先求函数的导数，利用导数的几何意义直接求切线斜率.

详解：，当时，，

根据导数的几何意义可知曲线在点（4，2）处的切线的斜率为.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.

13．【答案】

【解析】设，，求出的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于，由切线的斜率和切点在直线上和曲线上列方程组，解方程可得，再由题意可得当时，求得，通过图象观察，即可得到的范围.

详解：设，，

由题意可得的图象在直线的下方，

，恒过定点，

设直线与曲线相切于点，则

，消去可得：

解得：或（舍去），

则切线的斜率为，解得，

又由题设原不等式无整数解，

由图象可知当时，，，

由，可得，

由直线绕着点旋转，

可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定点，考查运算能力和观察能力，难度较大.

14．【答案】

【解析】根据条件求出x＝1时y．y′的值即可表示出切线方程．

详解：解：根据题意可得y′＝2xlnx+x﹣，

则当x＝1时，y＝0，y′＝﹣1，

所以曲线在x＝1处的切线方程为y＝﹣（x﹣1），整理得x+y﹣1＝0，

故答案为：x+y﹣1＝0.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题．

15．【答案】1

【解析】分析：对函数求导，得.根据导数的几何意义，列出方程，即可解得的值.

详解：由得，

的图象在点点处的切线为，

，则.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，函数的求导公式，属于基础题.