人教版九年级下册第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数优秀课后复习题

专项27 反比例图像中K值与几何面积综合应用（四大类型）

【类型一：单个双曲线-直接法】

1.（2022•梁溪区校级二模）已知反比例函数的图象如图所示，若矩形OABC的面积为3，则k的值是（　　）

A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6

【答案】B

【解答】解：∵矩形OABC的面积为3，

∴|k|＝3，

根据图象可知，k＜0，

∴k＝﹣3，

故选：B．

2.（2021秋•海州区期末）已知点P在双曲线y＝第一象限图象上，PA⊥x轴于点A，则△OPA的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】B

【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，

∴S△OPA＝|k|＝×6＝3．

故选：B．

3.（2021秋•霸州市期末）反比例函数的图象如图所示，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C．3 D．6

【答案】B

【解答】解：连接OA，

由反比例函数系数k的几何意义得S△AOB＝|k|＝＝，

又∵AB⊥x轴，

∴S△ABC＝S△AOB＝，

故选：B．

4．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，常数k＞0）的图象经过点A（1，2）、B（m，n）（其中m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．若△ABC的面积为2，则点B的坐标为（　　）

A．（3，） B．（2，） C．（3，） D．（2，）

【答案】C

【解答】解：∵点A （ 1，2）在函数y＝x （x＞0）图象上，

∴k＝1×2＝2，即函数y＝

而B （m，n）在函数y＝的图象上，

∴mn＝2，

又∵△ABC的面积为2，

∴•m（2﹣n）＝2，即2m﹣mn＝4，

所以点B的坐标为（ 3，）．

故选：C．

【类型二：单个双曲线-其他法】

5．如图，在平面直角坐标系中，BC⊥y轴于点C，∠B＝90°，双曲线y＝过点A，交BC于点D，连接OD，AD．若，S△OAD＝5，则k的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解答】解：延长BA，交x轴于点H，

∵，

设OC＝4a，AB＝3a，则AH＝a，

∵点D和点A在反比例函数y＝的图象上，

∴D（，4a），A（，a），

∴B（，4a），

∴CD＝，BD＝，BC＝，

∴S△OAD＝S梯形ABCO﹣S△OCD﹣S△ABD＝（AB+CO）•BC﹣OC•CD﹣AB•BD＝（3a+4a）×﹣4a×﹣3a×＝k，

∵S△OAD＝5，

∴k＝5，

∴k＝．

故选：D．

6．点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝15，则S2的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解答】解：∵CD＝DE＝OE，

∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，

则P（，3a），Q（，2a），R（，a），

∴CP＝，DQ＝，ER＝，

∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，

∴S1＝S3＝2S2，

∵S1+S3＝15，

∴S3＝9，S1＝6，S2＝3，

故选：B．

7．如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y＝（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

【答案】C

【解答】解：连接CE．

∵四边形ABCO，四边形DEFC都是正方形，

∴∠ECF＝∠BOC＝45°，

∴CE∥OB，

∴S△OBE＝S△OBC，

∵点B在y＝上，

∴S△OBE＝S△OBC＝＝3，

故选：C．

8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，则k的值为（　　）

A．﹣42 B．﹣21 C．21 D．42

【答案】B

【解答】解：∵当x＝0时，y＝x+4＝4，

∴A（0，4），

∴OA＝4；

∵当y＝0时，0＝x+4，

∴x＝﹣3，

∴B（﹣3，0），

∴OB＝3；

过点C作CE⊥x轴于E，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，AB＝BC，

∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠CBE＝∠BAO．

在△AOB和△BEC中，

，

∴△AOB≌△BEC（AAS），

∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，

∴OE＝4+3＝7，

∴C点坐标为（﹣7，3），

∵点点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，

∴k＝﹣7×3＝﹣21．

故选：B．

9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（﹣2，0），则k的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8

【答案】B

【解答】解：作BE⊥x轴，DF⊥x轴，与过A点平行于x轴的直线相交于点E、F，则∠E＝∠F＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠BAE+∠DAF＝90°，

∵∠ABE+∠BAE＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴BE＝AF，AE＝DF，

∵点A（1，1），点B（2，0），

∴AF＝BE＝1，DF+AE＝3，

∴D（2，﹣2），

∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴k＝2×（﹣2）＝﹣4，

故选：B．

【类型三：双条双曲线-直接法】

10.（2021秋•砚山县期末）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．无法计算

【答案】A

【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，

∴S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，

∴S△POB＝2﹣1＝1．

故选：A．

11.（2021秋•莲池区期末）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解答】解：设直线AB与x轴交于点C．

∵AB∥y轴，

∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．

∵点A在双曲线y＝的图象上，∴△AOC的面积＝×5＝．

点B在双曲线y＝的图象上，∴△COB的面积＝×3＝．

∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积＝﹣＝1．

故选：A．

12.（2012•庆元县模拟）如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点A和点B．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解答】解：设线段OP＝x，则PB＝，AP＝，

∴S四边形ACOP＝（OC+AP）×OP＝OC+1；SBCOP＝（OC+BP）×OP＝OC+2，

∴S△ABC＝S四边形BCOP﹣S四边形ACOP＝1．

故选：A．

13.（2020秋•商河县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数y＝（x＞0）、y＝﹣（x＞0）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（　　）

A．9 B．6 C． D．3

【答案】C

【解答】解：连接OA、OB，

∵C是y轴上任意一点，

∴S△AOB＝S△ABC，

∵S△AOP＝×3＝，S△BOP＝×|﹣6|＝3，

∴S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝+3＝，

∴S△ABC＝，

故选：C．

14.（2021•贵池区二模）如图，直线x＝t（t＞0）与反比例函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解答】解：由题意得，点C的坐标（t，﹣），

点B的坐标（t，），

BC＝+，

则（+）×t＝3，

解得k＝5，

故选：D．

15.如图，点N在反比例函数上，点M在反比例上，其中点A为MN中点，则△OMN的面积是多少（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】A

【解答】解：如图，作MB⊥y轴于点B，NC⊥y轴于点C，

∴∠NCA＝∠MBA＝90°，

∵点N在反比例函数上，点M在反比例上，

∴S△ONC＝4＝2，S△OMB＝＝4，

∵点A为MN中点，

∴NA＝MA，

∵∠NAC＝∠MAB，

∴△NAC≌△MAB（AAS），

∴S△NAC＝S△MAB，

∴S△OMN＝S△ONC+S△OMB＝2+4＝6，

故选：A．

16．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象如图所示，当P在y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，则四边形PAOB的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解答】解：由于P点在y＝上，则S▱PCOD＝2，A、B两点在y＝上，

则S△DBO＝S△ACO＝×1＝．

∴S四边形PAOB＝S▱PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO＝2﹣﹣＝1．

∴四边形PAOB的面积为1．

故选：A．

【类型四：双条双曲线-结合相似法】

17．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，AO＝2BO，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．2

【答案】C

【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，

∴∠ACO＝∠BDO＝90°，

∴∠AOC+∠OAC＝90°，

∵∠AOB＝90°，

∴∠AOC+∠BOD＝90°，

∴∠BOD＝∠OAC，

∴△AOC∽△OBD，

∴S△AOC：S△BOD＝（）2，

∵AO＝2BO，

∴S△AOC：S△BOD＝4，

∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴S△AOC＝×4＝2，

∴S△BOD＝×|k|＝﹣k，

∴2＝﹣4×，解得k＝﹣1．

故选：C．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．18 D．24

【答案】B

【解答】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，

∵∠OA′D＝90°，

∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，

∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，

∴∠DA′E＝∠A′OF，

∵∠A′FO＝∠DEA′，

∴△A′OF∽△DA′E，

∴＝＝，

设A′（m，n），

∴OF＝m，A′F＝n，

∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，

∴DE＝m﹣，A′E＝5﹣n，

∴＝＝3，

解得m＝3，n＝4，

∴A′（3，4），

∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A′点，

∴k＝3×4＝12，

故选：B．