专项31 相似三角形-A字型（2种类型）- 2022-2023 九年级数学下册高分突破必练专题（人教版）

这是一份专项31 相似三角形-A字型（2种类型）- 2022-2023 九年级数学下册高分突破必练专题（人教版），文件包含专项31相似三角形-A字型2种类型解析版docx、专项31相似三角形-A字型2种类型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

专项31 相似三角形-A字型（2种类型）

有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.


【类型1：平行类A字型】
1．如图，DE∥BC，且EC；BD＝2；3，AD＝9，则AE的长为（　　）

A．6 B．9 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵EC：BD＝2：3，AD＝9，
∴，
解得AE＝6．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在线段AB、AC上，DE∥BC，AD：AB＝1：3，若△ADE的面积是1，则△ABC的面积是（　　）

A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，
∵AD：AB＝1：3，若△ADE的面积是1，
∴S△ABC＝9，
故选：D．
3．如图，在△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求这个正方形的边长．

【解答】解：如图，设正方形的边长为x，
∴MN＝ID＝PN＝x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝4，
∴这个正方形的边长4cm．
故答案为：4．

4．阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG＝2米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF＝9米，点D、B、F、G在一条直线上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教学楼CD的高度为16米，请你求出假山的高度AB．

【解答】解：∵CD⊥DG，EF⊥DG，
∴EF∥CD，
∴△GEF∽△GCD，
∴＝，即＝，
解得BD＝9．
∵CD⊥DG，AB⊥DG，
∴AB∥CD，
∴△FAB∽△FCD，
∴＝，即＝，
解得AB＝8，
∴假山的高度AB为8米．
5．如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，求树高CD．

【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，
∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米），
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴＝，
∴＝，
解得CH＝4.8，
∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米）．
答：树高CD为6.5米．

6．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．

【解答】解：由题意知BG＝HE＝CF＝3.5米，
∴DH＝DE﹣CF＝7﹣3.5＝3.5（米），
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴AG∥DH，
∴△CDH∽△CAG，
∴＝，
即，
∴AG＝14米，
∴AB＝AG+GB＝14+3.5＝17.5（米），
∴旗杆AB的高度为17.5米．
7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．
（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）
（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．

【解答】解：（1）由题意得：
∠ABC＝∠DCE＝∠FEG＝90°，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝2m，
∵∠DEC＝∠AEB，
∴△DEC∽△AEB，
∴＝，
∴＝，
∵∠FGE＝∠AGB，
∴△FGE∽△AGB，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴EB＝（8+12）m，
∴＝，
∴AB＝8+4≈14.92m，
答：旗杆AB的高度为14.92米；
（2）由（1）得：
△DEC∽△AEB，
∴＝，
∴＝，
由（1）得：
△FGE∽△AGB，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴EB＝，
∴＝，
∴AB＝，
答：旗杆AB的高度为m．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）AB＝　20　；
（2）用含t的代数式表示线段CQ的长；
（3）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；
（4）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．

【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴．
故答案为：20；
（2）①当点Q在线段CA上时，
CQ＝AC﹣AQ＝16﹣2t（0≤t≤8），
②当点Q在线段CA上时，
CQ＝2t﹣16（8＜t≤10），
综上，线段CQ的长为16﹣2t（0≤t≤8）或2t﹣16（8＜t≤10）；
（3）如图1，

当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB，
∴．
由题意：BP＝2t，AQ＝2t，
∴PA＝AB﹣BP＝20﹣2t，
∴，
∴t＝；
如图2，

当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB，
∴，
由题意：BP＝2t，AQ＝2t，
∴PA＝AB﹣BP＝20﹣2t，
∴，
解得：t＝．
综上所述，t＝或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（4）如图3，当QO⊥AB时，

∵OP＝OA，OQ⊥PB，
∴QP＝QA＝2t，
∵点 O 是 PA 的中点，
∴OP＝OA＝PA＝（20﹣2t），
∵∠B＝∠B，∠QOB＝∠C＝90°，
∴△BOQ∽△BCA，
∴，
∴，
解得：，
如图4，当OQ⊥AC时，

∵AC⊥BC，OQ⊥AC，
∴OQ∥BC，
∴△AOQ∽△ABC，
∴，
∵点 O 是 PA 的中点，
∴OP＝OA＝PA＝（20﹣2t），
∴，
∴，
如图5，当OQ⊥BC时，

∵AC⊥BC，OQ⊥BC，
∴OQ∥AC，
∴△BOQ∽△BAC，
∴，
∵BQ＝AC+BC﹣2t＝16+12﹣2t＝28﹣2t，BO＝BP+PO＝2t+（20﹣2t）＝10+t，
∴，
解得，
综上所述，当OQ与△ABC的一边垂直时，t的值为或或．
9．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．
（1）求证：MC是⊙O的切线；
（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．

【解答】（1）证明：∵AD⊥MC，
∴∠D＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠MAD，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥DA，
∴∠D＝∠OCM＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴MC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝4，
∴OC＝OB＝AB＝2，
∴OM＝OB+BM＝6，
在Rt△OCM中，MC＝＝＝4，
∵∠M＝∠M，∠OCM＝∠D＝90°，
∴△MCO∽△MDA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴MD＝，AD＝，
∴CD＝MD﹣MC＝，
在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝＝，
∴tan∠MAC＝tan∠DAC＝，
∴tan∠MAC的值为．
10．如图①，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在BC上，CD＝4，过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE（点E不与点A、C重合）．
（1）当点C'落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC'∥AB；
（2）设△ABC'的面积为S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，C'，E三点共线时，EC的长为 　 　.

【解答】（1）证明：补全图形，如图②所示，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵过点D折叠该纸片，得点C'和折痕DE，
∴∠DC′C＝∠C＝60°，
∴∠DC′C＝∠A＝60°，
∴DC'∥AB；
（2）解：S存在最小值，
如图③，过点D作DF⊥AB于F，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝12，
又∵CD＝4，
∴BD＝8，
由折叠可知，DC′＝DC＝4，
∴点C′在以D为圆心，4为半径的圆上，
∴当点C′在DF上时，点C′到AB的距离最小，S△ABC最小，
∵Rt△BDF中，DF＝DB•sin∠ABD＝8•sin60°＝8×＝4，
∴S最小＝×12×（4﹣4）＝24﹣24；
（3）解：EC＝2﹣2，理由如下：
如图④，连接BC′，过点D作DG⊥C′E于点G，过点E作EH⊥BC于点H，
则∠DGC′＝∠EHC＝90°，
设CE＝x，
由翻折得：DC′＝DC＝4，C′E＝CE＝x，∠DC′E＝∠DCE＝60°，
C′G＝DC′•cos∠DC′E＝4cos60°＝2，DG＝DC′•sin∠DC′E＝4sin60°＝2，
CH＝CE•cos∠DCE＝x•cos60°＝x，EH＝CE•sin∠DCE＝x•sin60°＝x，
∴BH＝BC﹣CH＝12﹣x，

∵B，C'，E三点共线，
∴∠DBG＝∠EBH，BG＝BE﹣C′E+C′G＝BE﹣x+2，
∴△BDG∽△BEH，
∴＝＝，
即：＝＝
∴BE＝2x，
∴＝，
∵x＞0，
∴x＝2﹣2，
∴EC的长为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【类型2：不平行A字型】
11.如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面积等于2，则△ABC的面积为（　　）

A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∵＝，
∴＝，
∵△ADE的面积等于2，
∴△ACB的面积等于8．
故选：B．
12．如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠CAG，
∵点F是AG的中点，
∴AF＝FG＝，
∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△CAB，
∴∠AEB＝∠B，
又∵∠BAG＝∠CAG，
∴△EAF∽△BAG，
∴＝，
∵∠ADE＝∠C，∠BAG＝∠CAG，
∴△ADF∽△ACG，
∴，
故选：D
13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于点E，求AE的长．

【解答】解：∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AB＝5，AD＝3，AC＝4，
∴，
∴AE＝．
14．问题提出
（1）如图①．在等边△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，BD＝4，CD＝2，求四边形AEDF的面积；
问题解决
（2）湿地公园具有湿地保护与利用、科普教育、湿地研究、生态观光、休闲娱乐等多种功能．某湿地公园有一块长BC为80米，宽AB为60米的矩形湿地，如图②所示．为使游客更方便游览，现需要建一个观光游览平台EFMD，其中点E、F、M分别在AD、AC、CD上，AE＝FE，∠DEF+∠DMF＝180°．要使观光平台容纳更多游客，想让四边形EFMD的面积尽可能的大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形观光平台EFMD？若存在，求四边形EFMD面积的最大值及这时AF的长度；若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝6，
在Rt△BED中，BE＝BD•cos60°＝4×＝2，
DE＝BD•sin60°＝4×＝2，
在Rt△DFC中，CF＝DC•cos60°＝2×＝1，
DF＝DC•sin60°＝2×＝，
在Rt△BGC中，CG＝BC•sin60°＝6×＝3，
∴四边形AEDF的面积＝△ABC的面积﹣△BED的面积﹣△CDF的面积
＝AB•CG﹣BE•DE﹣CF•DF
＝×6×3﹣×2×2﹣×1×
＝9﹣2﹣
＝；
∴四边形AEDF的面积为；
（2）过点E作EH⊥AC，垂足为H，过点F作FP⊥CD，FN⊥AD，垂足分别为P，N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝CB＝80m，AB＝CD＝60m，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴AC＝＝＝100（m），
设AE＝xm，
∵AE＝EF，EH⊥AF，
∴AF＝2AH，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠AHE＝∠ABC＝90°，
∴△AHE∽△CBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AH＝xm，EH＝xm，
∴AF＝2AH＝xm，
∵∠ANF＝∠D＝90°，∠DAC＝∠NAF，
∴△ANF∽△ADC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AN＝xm，NF＝xm，
∵∠DEF+∠DMF＝180°，
∴∠EFM+∠D＝180°，
∵∠D＝90°，
∴∠EFM＝90°，
∴∠EFN+∠NFM＝90°，
∵∠D＝∠FND＝∠FPD＝90°，
∴四边形NFPD是矩形，
∴∠NFP＝90°，NF＝DP＝xm，ND＝FP＝（80﹣x）m，
∴∠NFM+∠MFP＝90°，
∴∠EFN＝∠MFP，
∵∠ENF＝∠FPM＝90°，
∴△ENF∽△MPF，
∴＝，
∴＝，
∴MP＝（﹣x）m，
∴MC＝MP+PC＝﹣x+60﹣x＝（﹣x）m，
∴四边形EFMD面积＝△ACD的面积﹣△AEF的面积﹣△MFC的面积
＝AD•CD﹣AF•EH﹣MC•FP
＝×80×60﹣•x•x﹣•（﹣x）•（80﹣x）
＝﹣x2+x﹣
＝﹣（x﹣40）2+1200，
∴当x＝40时，四边形EFMD面积最大，为1200m2，
此时AF＝x＝×40＝64（m），
∴四边形EFMD面积的最大值为1200m2，这时AF的长为64m．
声明：试题解析著作权属