数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时练习

这是一份数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时练习，共6页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。

A．1 B．－1
C．－2 D．3
2．[2022·福建龙岩高一期中]已知向量a＝(2，4)，b＝(1，λ)，且a∥b，则λ＝( )
A．2 B．－2
C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2)
3．(多选)[2022·山东泰安高一期中]在下列向量组中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，8)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求 eq \(AM,\s\up6(→)) ， eq \(CN,\s\up6(→)) 的坐标，并判断 eq \(AM,\s\up6(→)) ， eq \(CN,\s\up6(→)) 是否共线．
5.(多选)[2022·山东济宁高一期中]已知两点A(3，－4)，B(－9，2)，点P在直线AB上，满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) ，则P点坐标可为( )
A．(－1，－2) B．(8，－6)
C．(－2，－1) D．(7，－6)
6．[2022·江苏宿迁高一期末]已知向量a＝( eq \r(3) ，1)，b＝(0，－1)，c＝(k， eq \r(3) )，若a－2b与c平行，则实数k＝________．
7．[2022·辽宁锦州高一期末]已知a＝(x，m)，b＝(3x－2，x＋2).
(1)若a＝b，则m＝________．
(2)若存在实数x，使得a∥b，则实数m的取值范围是________．
8．已知A、B、C三点的坐标分别为(－2，1)、(2，－1)、(0，1)，且 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝3 eq \(CA,\s\up6(→)) ， eq \(CQ,\s\up6(→)) ＝2 eq \(CB,\s\up6(→)) ，求点P、Q和向量 eq \(PQ,\s\up6(→)) 的坐标．
9.[2022·河北武强中学高一期中]已知A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1).
(1)若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(CD,\s\up6(→)) ，求D点的坐标；
(2)设向量a＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ，b＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
10．[2022·河北邯郸高一期中]已知平面向量e1＝(2，－1)，e2＝(3，－3)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－e1＋3e2， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝λe1＋2e2， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－4e1＋2e2，且A，C，D三点共线．
(1)求 eq \(BD,\s\up6(→)) 的坐标；
(2)已知D(2，－1)，若A，B，D，E四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点E的坐标．
11.(多选)[2022·广东深圳中学高一期中]已知向量 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(1，－3)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(2，－1)， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B． eq \f(1,2)
C．1 D．－1
12．[2022·山东潍坊高一期中]如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1， eq \(DM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→)) ， eq \(BN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ，AC与MN相交于点E.
(1)若 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AD,\s\up6(→)) ，求λ和μ的值；
(2)用向量 eq \(AM,\s\up6(→)) ， eq \(AN,\s\up6(→)) 表示 eq \(AE,\s\up6(→)) .
答案：
1．解析：由c＝λa＋μb＝(λ，2λ)＋(2μ，3μ)＝(λ＋2μ，2λ＋3μ)＝(3，4)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝3，,2λ＋3μ＝4，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－1，,μ＝2，)) 所以λ＋μ＝1，故选A.
答案：A
2．解析：由题意2λ＝1×4，λ＝2.故选A.
答案：A
3．解析：对A，因为0×2－0×1＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故A错误；
对B，因为－1×(－2)－2×5＝－8≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故B正确；
对C，因为3×8－5×6＝－6≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故C正确；
对D，因为2×3－(－3)×(－2)＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故D错误．故选BC.
答案：BC
4．解析：由已知可得M( eq \f(5,2) ， eq \f(5,2) )，N( eq \f(3,2) ， eq \f(1,2) )，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝( eq \f(5,2) ， eq \f(5,2) )， eq \(CN,\s\up6(→)) ＝(－ eq \f(5,2) ，－ eq \f(5,2) )，
由 eq \f(5,2) ×(－ eq \f(5,2) )－ eq \f(5,2) ×(－ eq \f(5,2) )＝0，所以 eq \(AM,\s\up6(→)) 和 eq \(CN,\s\up6(→)) 共线．
5．解析：由点P在直线AB上，满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) ，可得 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) 或 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，设P(x，y)，则 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝(x－3，y＋4)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－12，6)，
若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3＝\f(1,3)×（－12）,y＋4＝\f(1,3)×6)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝－1,y＝－2))) ，即P(－1，－2)；
若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3＝－\f(1,3)×（－12）,y＋4＝－\f(1,3)×6)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝7,y＝－6))) ，即P(7，－6)；
故P(－1，－2)或P(7，－6).故选AD.
答案：AD
6．解析：因为向量a＝( eq \r(3) ，1)，b＝(0，－1)，c＝(k， eq \r(3) )，
所以a－2b＝( eq \r(3) ，3)，
又因为a－2b与c平行，
所以3k＝ eq \r(3) × eq \r(3) ，
解得k＝1.
答案：1
7．解析：(1)因为a＝b，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝3x－2,m＝x＋2))) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝1,m＝3))) ，即m＝3；
(2)因为a∥b，所以存在实数λ，使得a＝λb成立，
则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝λ（3x－2）,m＝λ（x＋2）))) ⇒x(x＋2)＝m(3x－2)，因此该方程有实数解，
x(x＋2)＝m(3x－2)⇒x2＋x(2－3m)＋2m＝0，于是有：
Δ＝(2－3m)2－8m≥0⇒m≥2，或m≤ eq \f(2,9) .
答案：(1)3 (2)(－∞， eq \f(2,9) ]∪[2，＋∞)
8．解析：因为A、B、C三点的坐标分别为(－2，1)、(2，－1)、(0，1)，
所以 eq \(CA,\s\up6(→)) ＝(－2，0)， eq \(CB,\s\up6(→)) ＝(2，－2)，
所以 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝3 eq \(CA,\s\up6(→)) ＝(－6，0)， eq \(CQ,\s\up6(→)) ＝2 eq \(CB,\s\up6(→)) ＝(4，－4)，
设P(x，y)，则有 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝(x，y－1)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝－6,y－1＝0))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝－6,y＝1))) ，
即P点的坐标为(－6，1)，
设Q(m，n)，则有 eq \(CQ,\s\up6(→)) ＝(m，n－1)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(m＝4,n－1＝－4))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(m＝4,n＝－3))) ，
可得Q(4，－3)，
因此向量 eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝(10，－4).
9．解析：(1)设D(x，y)，又因为A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1)，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，－5)， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝(x－4，y－1)，
因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(CD,\s\up6(→)) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x－4＝1,y－1＝－5))) ，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝5,y＝－4))) ，
所以D(5，－4).
(2)由题意得，a＝(1，－5)，b＝(2，3)，
所以ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4)，
因为ka－b与a＋3b平行，
所以4(k－2)－7(－5k－3)＝0，解得k＝－ eq \f(1,3) .
所以实数k的值为－ eq \f(1,3) .
10．解析：(1)因为e1＝(2，－1)，e2＝(3，－3)，所以e1与e2不共线，即e1与e2可以作为平面内的一个基底，
因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－e1＋3e2， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝λe1＋2e2
所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(λ－1)e1＋5e2，又 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－4e1＋2e2，
因为A，C，D三点共线，所以 eq \f(λ－1,－4) ＝ eq \f(5,2) ，解得λ＝－9.
所以 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－13(2，－1)＋4(3，－3)
＝(－26，13)＋(12，－12)＝(－14，1).
(2)由(1)知 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝(－14，1)，又因为D(2，－1)，则有B(16，－2)，
因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－e1＋3e2＝(7，－8)，所以A(9，6)，
因为A，B，D，E四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) .
设E(x，y)，则 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(x－9，y－6)，
因为 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝(－14，1)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x－9＝－14,y－6＝1))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5,y＝7)) ，即点E的坐标为(－5，7).
11．解析：因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).
假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：(1)以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，D(0，1)，B(2，0)，M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) ，N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,3))) ，
所以 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(1,3))) ， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，0)， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(0，1)，
所以 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(1,3))) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(2λ，μ)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2λ＝\f(4,3),μ＝－\f(1,3)))) ，
解得λ＝ eq \f(2,3) ，μ＝－ eq \f(1,3) .
(2)设 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝t eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝m eq \(AM,\s\up6(→)) ＋n eq \(AN,\s\up6(→)) ，
因为 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝( eq \f(2,3) ，1)， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝(2， eq \f(2,3) )， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(2，1)，
所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(2，1)＝( eq \f(2,3) m＋2n，m＋ eq \f(2,3) n).解得m＝ eq \f(3,7) ，n＝ eq \f(6,7) ，
即 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,7) eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \f(6,7) eq \(AN,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝t eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,7) t eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \f(6,7) t eq \(AN,\s\up6(→)) ，
又因为M，E，N三点共线，所以 eq \f(3,7) t＋ eq \f(6,7) t＝1，t＝ eq \f(7,9) ，
所以 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AN,\s\up6(→)) ﹒