人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直教学课件ppt

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直教学课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了学习目标，新知学习，易错辨析，典例剖析，二面角的求法，在Rt△AOD中，随堂小测，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.4.掌握空间中面面垂直的性质定理.5.能够运用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
知识点一　二面角的概念
1.定义：从一条直线出发的 所组成的图形.2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的 ；(2)两个半平面叫做二面角的 .3.画法：
4.记法：二面角 或 或 或P－AB－Q.5.二面角的平面角：若有(1)O l；(2)OA α，OB β；(3)OA l，OB l，则二面角α－l－β的平面角是 .
知识点二　平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：(3)记作： .
2.平面与平面垂直的判定定理
知识点三　平面与平面垂直的性质定理
1.二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.(　　)2.对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.(　　)3.已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直.(　　)4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(　　)
例1　(1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：①二面角D′－AB－D的大小为_____.
解析　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
②二面角A′－AB－D的大小为_____.
解析　因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.
(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小.
解　如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角.由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC.
∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小是60°.
(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法.
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
二　平面与平面垂直的判定
证明　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
例2　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.
已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.
证明　延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.连接BD.由四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，可知AA1⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵BF∥CC1，F为NC1的中点，∴B为NC的中点.
在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
三　面面垂直性质定理的应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
证明　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；
证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
解　取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∵CF⊂平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.
1.在空间中，下列哪些命题是正确的①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.A.①③④ B.①④ C.① D.①②③④
2.下列命题正确的是A.①② B.①③ C.②③ D.①
3.下列命题中正确的是A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
C解析　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确.
4.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β
解　由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.
5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，求此时二面角B－AD－C的大小.
1.知识清单：(1)二面角的定义与求法.(2)面面垂直的判定定理.(3)面面垂直的性质定理.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：误判二面角的平面角.