高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）精品精练

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4.5.1 函数的零点与方程的解
【题型归纳目录】
题型一：求函数的零点
题型二：根据零点求函数解析式的参数
题型三：零点存在性定理的应用
题型四：根据零点所在区间求参数范围
题型五：根据零点的个数求参数范围
题型六：一次函数零点分布求参数范围
题型七：二次函数零点分布求参数范围
题型八：指对幂函数零点分布求参数范围
题型九： 函数与方程的综合应用
【知识点梳理】
知识点一：函数的零点
1、函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
知识点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式
方程的根
函数的零点

两个不相等的实根
两个零点

两个相等的实根
一个二重零点

无实根
无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
2、函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
知识点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．
②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．
③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
【方法技巧与总结】
1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
3、零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
（3）数形结合法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.
4、判断函数零点所在区间
（1）将区间端点代入函数求函数的值；
（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；
（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；
（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．
【典型例题】
题型一：求函数的零点
例1．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点为（    ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【解析】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，
故选：A.
例2．（2022·全国·高一课时练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（    ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【答案】A
【解析】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1．
故选：A．
例3．（2022·广西玉林·高一期末）若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（    ）
A．在上单调递减 B．有2个零点，分别为1和3
C．在上单调递增 D．最小值是
【答案】C
【解析】方程的两个根是1和3，则函数图象的对称轴方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误；
函数的两个零点是1和3，因此B正确；又，，，即，为最小值，D正确．
故选：C.
变式1．（2022·全国·高一专题练习）若为奇函数，且是 的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】是奇函数，且是的一个零点，，，把分别代入下面四个选项，
对于A，，故A正确；
对于B，不一定为0，故B不正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D不正确；
故选：A.
【方法技巧与总结】
求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
题型二：根据零点求函数解析式的参数
例4．（2022·全国·高一专题练习）若满足，满足，则________ .
【答案】2
【解析】设，
因为满足，满足，
所以时函数与的交点横坐标，时函数与的交点横坐标，
由于函数与互为反函数，其图象关于直线对称，
所以两图象与直线的交点也关于对称，如图所示，
又由，解得，所以，可得.
故答案为：.

例5．（2022·安徽·高一阶段练习）若正实数是方程的根，则___________．
【答案】
【解析】由题可得：，即，
令，则在上单调递增，
，
∵正实数是方程的根，
∴，即．
例6．（2022·全国·高一单元测试）已知实数满足，函数有两个零点，则关于函数的零点的下列关系式一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】方程即为，
令，
，
，，.
根据零点存在性定理得出在上函数各有一个零点，所以.
故选：D.
变式2．（2022·北京市八一中学高一阶段练习）已知，若是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（    ）
A．1 B．2021 C． D．4016
【答案】B
【解析】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点，
所以，，即，，
设函数与的交点为，则，，
设函数与的交点为，则，，
因为函数与函数互为反函数，
所以其图象关于对称，
所以点关于对称，即，所以由得，
即.

故选：B.
变式3．（2022·四川达州·高一期末）已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为 （    ）
A． B． C．4 D．3
【答案】C
【解析】因为2是函数（为常数）的零点，
所以，得，所以，
因为，所以，得，
故选：C
变式4．（2022·湖北·高一阶段练习）若实数，满足，，则（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】由可得，所以是方程的解，
即是与图象交点的横坐标，
由可得，所以是方程的解，
即是与图象交点的横坐标，
在平面直角坐标系中分别作出，，的图象如图所示，
因为与互为反函数，图象关于直线对称，
而的图象也关于直线对称，
所以两个交点，关于直线对称，
所以，可得，
故选：D

题型三：零点存在性定理的应用
例7．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数的零点所在区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
又，
所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，
故选：C
例8．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，显然单调递增，
又因为，，
由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，
所以的根所在区间为.
故选：B
例9．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为与在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
又，，，
即，所以的零点位于内；
故选：C
变式5．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末）在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，函数，
可得，所以，
结合零点的存在定理，可得函数的一个零点所在的区间为.
故选：B.
【方法技巧与总结】
解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．
题型四：根据零点所在区间求参数范围
例10．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知为幂函数，（，且）的图象过点．，若的零点所在区间为，那么（    ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】为幂函数，，，
的图象过点，
，，，
故在上单调递增，
由于（1），（2），故在区间上存在唯一零点，
的零点所在区间为，，那么，
故选：C．
例11．（2022·海南·高一期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增，
由零点存在性定理知，即，解得
所以实数的取值范围是
故选：B
例12．（2022·全国·高一课时练习）若函数有三个零点0，1，，且(1，2)，则a的取值范围是（    ）
A．(-2，0) B．(1，2) C．(2，3) D．(-3，-2)
【答案】D
【解析】因为函数有三个零点0，1，，所以，
解得，
所以，所以，又(1，2)，所以，解得，
故选：D.
变式6．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数f(x)定义域是，
因函数，在上都是单调递增的，而，
当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，无零点，
于是得当时，函数在上连续且单调，
因函数在区间上有零点，则由零点存在定理有：，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
变式7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的零点在区间上，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，都在为增函数
故函数在为增函数，
又，，
即，
则函数的零点在区间上，
即2
故选：B
变式8．（2022·江苏·高一单元测试）若函数在区间中恰好有一个零点，则的值可能是（    ）
A．-2 B．0 C．1 D．3
【答案】A
【解析】当时，函数在上单调递增， 又，故在区间上恰有一个零点，满足题意，故A正确；
当时，函数在上单调递增， 又，故在区间上没有零点，故B不正确；
当时，函数在上单调递增， 又，故在区间上没有零点，故C不正确；
当时，函数，所以在上单调递减，在上单调递增，又，故在区间上没有零点，不满足题意，故D正确；
故选：A.
变式9．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据已知画出函数图象：
不妨设，
（a）（b）（c），
，
，
解得，，
．
故选：B

题型五：根据零点的个数求参数范围
例13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，与有2个交点，
当时，递增且值域为；
当时，在上递减，上递增且值域为；
所以的图像如下：

由图知：时，有2个零点.
故选：A
例14．（2022·山西长治·高一期末）若函数有两个零点，则整数a的值共有（    ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．17个
【答案】A
【解析】因为方程在R上有且仅有一解，
所以要使函数在R有两个零点,
只需在R上有且仅有一个解,同时该解不能为.
因为在R上值域为(0,+∞），因此要满足即有解,只需a>0.
又因为在R上单调递增,因此当a>0时, 在R上有且仅有一个解.
因为且a>0,所以整数a可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中当a=3或a=9时, .
因此满足条件的a为1,2,4,5,6,7,8共7个.
故选：A
例15．（2022·浙江·高一阶段练习）已知函数，若存在互不相等的实数，满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出函数的图象如图，

若存在互不相等的实数，满足，
不妨设，如图示，则，
由于 ，令，则，
故 ，则，即，
故答案为：
变式10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】作出函数的图像和直线，如图所示:

由图可知，当时，函数的图像和直线有三个交点，所以．
故答案为：或.
变式11．（2022·湖北·黄石一中高一期中）已知函数若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依据基本初等函数的图形变换，可画出的图像如图，

方程有且仅有三个不等实根，即函数与图像有三个交点，易得，
故选：B.
变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
函数有零点，
与有交点，
，
即，
故选：C
变式13．（2022·北京大兴·高一期末）若函数恰有个零点，则的取值范围是 （    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为时至多有一个零点，单调函数至多一个零点，
而函数恰有个零点，
所以需满足有1个零点，有1个零点，
所以，
解得，
故选：D
变式14．（2022·全国·高一单元测试）已知函数有唯一的零点，则实数a的值为（    ）
A．1 B．－1 C．0 D．－2
【答案】B
【解析】函数定义域为R，函数，即函数为偶函数，
当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
则当时，，因函数有唯一的零点，于是得，解得，
所以实数a的值为.
故选：B
【方法技巧与总结】
体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．
题型六：一次函数零点分布求参数范围
例16．（2022·全国·高一专题练习）函数的零点为，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，即．
故选：B.
例17．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，+）
【答案】D
【解析】因为函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1）单调，
所以函数在区间（0，1）上至多有一个零点，
因为f（x0）=0，且x0∈（0，1），
所以，
解得，
所以实数a的取值范围是（3，+），
故选：D
例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在区间上存在零点，则（    ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】∵在区间上单调且存在零点，
∴，
∴或．
故选：C
变式15．（2022·全国·高一课时练习）若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时不成立
取
则 解得
故答案选B
变式16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数为一次函数，
要使其在区间上存在零点，
要保证其两端点分别在轴的两侧，
所以
即，
解得或，
故选项.
变式17．（2022·全国·高一单元测试）已知且在内存在零点，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故即.
而且在内存在零点，
故即，解得，
故选：A.
题型七：二次函数零点分布求参数范围
例19．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据“局部奇函数”定义知：有解，
即方程有解，
则有解；
设，则（当且仅当时取等号），
方程等价于在时有解，在时有解；
在上单调递增，，，
即实数的取值范围为.
故选：B.
例20．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
令，由已知可得，解得，
故选：A.
例21．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）已知关于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[，3] B．（2，3] C．（2，] D．
【答案】D
【解析】由题意可知，a≥0，则不等式（4x﹣3）2≤4ax2可变形为（4x﹣3）2﹣4ax2≤0，
即，
①当a＝4时，不等式为﹣24x+9≤0，解得x≥，不符合题意；
②当a≠4时，不等式为关于x的一元二次不等式，
若，即a＝0时，不等式的解集为{}，不符合题意；
若，即0＜a＜4时，不等式的解集为，又，
所以如果恰有三个整数，只能是1，2，3，
故，解得；
若，即a＞4时，不等式的解集为或，
不会恰好有三个整数解，不符合题意．
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：D．
变式18．（2022·四川成都·高一开学考试）若关于x的方程有两个不相等的实根、，且满足，则实数t的取值范围是（    ）
A．（2，5） B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，且，
所以只需满足且即可，
即且，解得，
故选:B.
变式19．（2022·山东·招远市第二中学高一阶段练习）已知实数，关于x的方程有两个实根，，且，则实数a，b，，的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，
令，，则，
所以，为与x轴交点横坐标，且，
将向下移动1个单位得到，且与x轴交点横坐标且，

所以.
故选：C
变式20．（2022·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意在内有解，，
时，，时，，所以．
故选：A．
变式21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】①当时，由，得，符合题意．
②当时，
由，得，此时，解得，符合题意；
由，得，此时设的两根分别为，，且，
若，则，，即，，符合题意，
若，则，，即，，符合题意．
综上，，即实数的取值范围为．
故选：B
变式22．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】令，
因为，
所以函数图象与轴有两个交点，
因为函数在上存在零点，且函数图象连续，
所以，或，
所以，或，
解得或
故选：B
变式23．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一阶段练习）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；
当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.
故选：D.
变式24．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（    ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7
【答案】A
【解析】因为元二次方程有两个实数根，，
且，令，
则由题意可得，即
解得，又，可得.
故选：A.
题型八：指对幂函数零点分布求参数范围
例22．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知函数的零点位于区间（）内，则（    ）
A．1 B．2
C． D．4
【答案】D
【解析】∵在定义域上单调递增，，，
∴，，且是唯一的，
所以整数，
∴.
故选：D．
例23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点位于区间内，则整数（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，，，
所以函数的零点位于区间内，故.
故选：B.
例24．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，，，，
所以问题可转化为直线与，，
的图象的交点问题，函数图象如下．

由图知．
故选：A．
变式25．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】作出函数的图象如图，

令，则当，方程有个不同的实数解，
则方程化为，
使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
令
所以,
解得:，
所以实数的取值范围为
故答案为
变式26．（2022·全国·高一专题练习）设依次表示函数的零点，则的大小关系为______．
【答案】
【解析】函数的零点，
即为方程的解，
在坐标系中分别画出函数与的图象，
如图所示，结合图象，可得.
故答案为：.

题型九： 函数与方程的综合应用
例25．（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作函数与的图像如下：

方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，即，且，
则，即，则
即，则；
当得或，则；；
故，；
则函数，在上为减函数，在上为增函数；
故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.
即函数取值范围是.
故选：D.
例26．（2022·浙江·温州市第八高级中学高一期中）设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（    ）
A． B． C．10 D．9
【答案】D
【解析】作函数的大致图象，如图所示：

当时，对称轴为，所以，
关于的方程有四个实根，
则，由，得或，则，
又，所以，
所以，所以，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
例27．（2022·安徽·高一阶段练习）已知函数且时，，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出图象如图所示

设，由图象可知：时有四个交点，可得
即，解得；
∵关于对称，∴；
又，则，∴，
∴，
∵，∴，
即∴的取值范围为.
故选：D.
变式27．（2022·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出函数的图象，如图，

不妨设，
则，得，
由图可知，，，
故.
故选：C
变式28．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（　　）
A．    B．  
C． D．[﹣5，﹣4]
【答案】B
【解析】作出函数f（x）的图象如图：设t＝f（x），

由图象知当t＞3时，t＝f（x）有3个根；
当1＜t≤3时，t＝f（x）有4个根；
当t＝1时，t＝f（x）有5个根；
当0＜t＜1时，t＝f（x）有6个根；
当t＝0时，t＝f（x）有3个根，
当t＜0时，t＝f（x）有0个根，
方程f2（x）+bf（x）+4＝0等价为t2+bt+4＝0，
∵当t＝0时，方程不成立，∴若方程f2（x）+bf（x）+4＝0有8个不同的实数根，则
①等价为t2+bt+4＝0有两个根，满足1＜t1≤3，1＜t2≤3，
②或者t2+bt+4＝0有两个根，满足t1＝1，t2＞3，
由①等价为t2+bt+4＝0有两个根，满足1＜t1≤3，1＜t2≤3，
设h（x）＝t2+bt+4，
则满足，即，得﹣≤b＜﹣4，
由②t2+bt+4＝0有两个根，满足t1＝1，t2＞3，则1+b+4＝0，则b＝﹣5，
此时由t2﹣5t+4＝0得t＝1或t＝4，满足t2＞3，综上所述，﹣≤b＜﹣4或b＝﹣5，
故选：B．
变式29．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的图像如图所示：

则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根;
则解得：.
故选：D.
变式30．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（    ）
A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点
【答案】D
【解析】因为对任意的实数恒成立，令，得．
若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．
构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.
若，则，此时在上至少有1012个零点．
综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；
可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；
对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.
[解法二] 构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.
故选：D．
变式31．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，
则或．
函数的图象如图所示，

因为关于的方程有个不同的实数根，
所以或，解得，
所以实数的取值范围为．
故选：A
变式32．（2022·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，对，都有
设，则
所以
又
所以
则
因为函数恰有4个不同的零点，即方程有4个不同的实数根，
记，则方程必有两个不同的实数根为，且和都有两个不同实数根，
由图可知，当时，有，且，此时和都有两个不同实数根，满足题意.
所以，实数的取值范围为.
故选：D

变式33．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知函数，若有四个不等实根，且，求的取值范围（    ）
A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）
C．[－，－3) D．[－，－3]
【答案】C
【解析】作出函数和的图象如下图所示：

由于二次函数的图象关于直线对称，所以，，
由，得，即，
所以，，可得，
由图象知，当时，直线与函数的图象有四个交点，
所以，，即，即，
，得，
由于函数在区间上为减函数，
.
故选：C.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·辽宁·金石高级中学高一阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（    ）
A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或1
【答案】B
【解析】设方程的两个实根分别为，则.
由方程的这两个实数根的平方和比两个根的积大21得：，
，
解得：或，
又方程有两个实数根，
，得，.
故选：B
2．（2022·全国·高一单元测试）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，因为，，
由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为
故选：C
3．（2022·全国·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（    ）
A．0， B．0， C．0，2 D．2，
【答案】A
【解析】因为函数的零点为2，所以，
∵，，∴，∴．
令，得或．
故选：A.
4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的零点为，不等式的最小整数解为k，则k＝（    ）
A．8 B．7 C．5 D．6
【答案】A
【解析】方法一：
∵函数为R上的增函数，，，
∴函数的零点满足，
∴，
∴的最小整数解k＝8.
方法二：已知函数的零点即为函数的图象与的图象交点的横坐标，
通过图象可看出函数的零点所在的区间为(1,2)，

∴，
∴的最小整数解k＝8.
故选：A.
5．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A中，函数的对称轴为轴，故是偶函数，
令得，所以的零点为．不符合题意；
对于B中，函数的定义域为，不关于原点对称，
故不是偶函数，不符合题意；
对于C中，函数的定义域为，不关于原点对称，
故不是偶函数，不符合题意．
对于D中，函数，可得，所以函数为偶函数，
令，此时方程无解，所以函数无零点，不符合题意.
故选：D.
6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若且，则（    ）
A． B． C． D．随值变化
【答案】B
【解析】函数的图象如下图所示：

由图可知，函数的图象关于直线对称，
又，且，
则．
故选：B
7．（2022·全国·高一单元测试）已知，分别是方程，的根，则（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，
因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以，得，
故选：B
8．（2022·河南洛阳·高一期末（文））已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意令，即，
同理可得，，
则函数的零点转化为、、与的交点的横坐标，
在平面直角坐标系上画出函数图象如下：

由图可得，，，即.
故选：D
二、多选题
9．（2022·全国·高一专题练习）关于函数，下列描述正确的有（    ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，
由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；
，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，
与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．
故选：ABD．

10．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数不存在零点的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】A选项中，令，解得，故和1是函数的零点；
B选项中，令，则，因为，所以该方程无解，所以函数无零点；
C选项中，令，解得，故-1和1是函数的零点；
D选项中，令，方程无解，故函数无零点．
故选：BD．
11．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（    ）
A．函数在区间上有且只有1个零点
B．函数在区间上一定没有零点
C．函数在区间上可能有零点
D．函数在区间上至少有1个零点
【答案】CD
【解析】因为函数的图像在R上连续，且，，
所以，所以函数在区间上至少有1个零点，
故选项A错误，选项D正确；
函数在区间上可能有零点，也可能无零点，
故选项B错误，选项C正确．
故选：CD.
12．（2022·全国·高一单元测试）函数有两个零点，且，下列说法错误的有（    ）
A．且 B．且 C．且 D．
【答案】AC
【解析】令，则，
∴函数的零点就是函数的图象与直线交点的横坐标．
在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与直线，
如图所示，数形结合可得且.
所以A，C错误；B正确；
又的对称轴为，所以，故D正确．
故选：AC．

三、填空题
13．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为 ______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由于函数，
若在上单调递增，则，故，
由于，整理得，解得或，
故满足的条件的取值范围为，
故的值可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
14．（2022·甘肃·庆阳第六中学高一阶段练习）已知函数的零点是和，则________.
【答案】
【解析】因为函数的零点是和，
所以，解得，
所以，
故答案为：.
15．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习）若二次函数有且只有一个零点，则实数的值为_________．
【答案】【解析】因为二次函数有且只有一个零点，
所以，解得：.
故答案为：
16．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.
【答案】【解析】函数在区间上有零点，即在有方程根，
当时，，
若，，在区间上没有零点，
若，，在区间上有零点，故满足题意；
当，即或时，在区间上有零点，
即在有方程根，根据韦达定理可知，两根互为倒数，
应有，即，解得，
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·上海市杨思高级中学高一阶段练习）用反证法证明：对任意的，关于的方程与至少有一个方程有实根.
【解析】假设对任意的，关于的方程与两个方程都没有实根，则有，且．
解得且，这样的不存在，故矛盾.
因此假设不正确，原命题得证．
18．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的零点；
(2)探索是否存在实数 ，使得函数 为奇函数？若存在，求出实数 的值并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)函数 的零点为1
(2)存在；；证明见解析
【分析】
⑴根据零点的定义求零点即可；
⑵根据奇函数定义域包含零，那么的性质求，再结合奇函数的定义去证明即可.
（1）当 时， ,
令 得，所以，解得 ，
所以函数 的零点为1.
（2）假设存在实数，使得函数为奇函数，
因为的定义域为，关于原点对称，
则，所以 ，此时 ，
又因为 ，所以此时为奇函数，满足题意．
故存在实数，使得函数为奇函数．
19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，且．
(1)求证：函数有两个不同的零点；
(2)设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围．
【解析】（1）∵，∴．
∴．
对于方程，，
∴恒成立．
又，∴函数有两个不同的零点．
（2）由，是函数的两个不同的零点，得，是方程的两个根．
∴，．
∴．
∴的取值范围是．
20．（2022·全国·高一课时练习）当时，若关于x的二次方程有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.
【解析】令，

则由题意知其图象与x轴有2个交点，故当时，判别式大于0且对称轴在到1之间，
则，即，得.    
故实数m的取值范围是.
21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【解析】（1）设，则
∴
∵为偶函数
∴
综上，有
（2）由（1）作出的图像如图：

因为函数在区间上具有单调性，
由图可得或，解得或；
故实数的取值范围是或.
（3）由（1）作出的图像如图：

由图像可知：
当时，有两个零点；
当时，有四个零点；
当时，有六个零点；
当时，有三个零点；
当时，没有零点.