高中数学第三章 函数概念与性质3.3 幂函数精品课时练习

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3.3 幂函数
【知识点梳理】
知识点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
知识点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．
知识点二、幂函数的图象及性质
1．作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

知识点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2．作幂函数图象的步骤如下：
（1）先作出第一象限内的图象；
（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．
3．幂函数解析式的确定
（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4．幂函数值大小的比较
（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
【题型归纳目录】
题型一：幂函数的概念
题型二：求函数解析式
题型三：定义域问题
题型四：值域问题
题型五：幂函数的图象
题型六：定点问题
题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题
题型八：比较大小
题型九：幂函数性质的综合运用
【典型例题】
题型一：幂函数的概念
例1．（2022·全国·高一课时练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
故选：B
【方法技巧与总结】
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．
例2．（2022·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.
故选：C.
例3．（2022·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】形如（为常数且）为幂函数，
所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.
故选：C.
例4．（2022·河北·高一阶段练习）下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A；
的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B;
是偶函数，所以排除C；
，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.
故选：D.
题型二：求函数解析式
例5．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．
【答案】
【解析】设幂函数，
∵幂函数的图象经过点，
∴，∴，
∴这个幂函数的解析式为．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
例6．（2022·广东·江门市广雅中学高一期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则_________．
【答案】1
【解析】因为为幂函数，所以，解得或，
当时为偶函数，函数图象关于轴对称，符合题意；
当时为奇函数，函数图象关于原点对称，不符合题意；
即；
故答案为：
例7．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．
【解析】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，
又∵，∴或1．
因为函数是偶函数，将分别代入，
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
的解析式为．
例8．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.
【答案】
【解析】是幂函数，
，解得或，
若，则，在上不单调递减，不满足条件；
若，则，在上单调递增，满足条件；
即.
故答案为：
例9．（2022·湖北黄石·高一期末）幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．
【答案】
【解析】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，
又函数在上单调递减，则，
所以实数m的值为-3.
故答案为：-3
例10．（2022·全国·高一课时练习）若函数是幂函数，满足，则_________．
【答案】
【解析】函数是幂函数，设，
又，所以，即，所以，得
所以，则.
故答案为：.
例11．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．
【答案】4
【解析】由于是幂函数，所以，解得或.
当时，，图象关于轴对称，符合题意.
当时，，图象关于原点对称，不符合题意.
所以的值为，
∴. ，.
故答案为：4.
例12．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图象经过点，则（　　）
A． B．3 C．9 D．8
【答案】B
【解析】由题意知，所以，即，
所以，所以，所以.
故选：B
例13．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则（    ）
A．2 B．16 C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，解得，
所以，故,
故选：D
例14．（2022·上海市控江中学高一期中）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;
【答案】或1
【解析】因为函数为幂函数，则，
即，解得或.
故答案为：或1.
例15．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．
【答案】2
【解析】因为函数是幂函数，
则有，解得或，
当时，函数在上单调递增，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，符合题意.
所以的值为
故答案为：
例16．（2022·全国·高一专题练习）幂函数的图象恒过点_________，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是____________．
【答案】         
【解析】由幂函数的性质知：在第一象限恒过，
设幂函数，则，即，故.
故答案为：，.
题型三：定义域问题
例17．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为．
故选：B．
【方法技巧与总结】
使表达式有意义．
例18．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）幂函数的定义域为______;
【答案】
【解析】由根式的性质知：，
所以函数定义域为.
故答案为：
例19．（2022·河南·濮阳一高高一阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为______．
【答案】
【解析】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．
故答案为：
例20．（2022·上海·高一单元测试）若有意义，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】若有意义，
则，
解得
所以实数的取值范围是，
故答案为：
例21．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
则有，解得且，因此的定义域是．
故选：B.
题型四：值域问题
例22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（    ）
A．［－1,0] B． C．［0,2] D．
【答案】B
【解析】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．
故选：B．
解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，
所以．因为，所以．因为，
所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为．
故选：B．
【方法技巧与总结】
利用单调性求解．
例23．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
【解析】(1)因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
(2)由（1）知，，
所以，
令，则，
，
所以，，
根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；
所以，

所以函数在的值域为.
例24．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
【解析】（1）依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或
（2）若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；
若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
（3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
例25．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）令，则，
则，
故．
（2）由（1）可得．
因为函数和函数均在上单调递增，
所以在上单调递增．
故．
对任意，，不等式恒成立，
即对任意，不等式恒成立，
则解得或．
故的取值范围是．
例26．（2022·全国·高一专题练习）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．

（2）求函数的值域．
【解析】（1）由于，
则，，，
所以过点，
故的图象，如图所示，函数的定义域为；

（2）由题可知，
设，则，
当时取等号，故的值域为．
例27．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
【解析】（1）为幂函数，
∴，解得或，
又在区间内的函数图象是上升的，
，
∴k＝2；
（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，
∴，即，
，∴a＝0，b＝1．
例28．（2022·全国·高一专题练习）函数，其中，则其值域为___________.
【答案】【解析】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
例29．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
故答案为：
例30．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
题型五：幂函数的图象
例31．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．
故选：C
【方法技巧与总结】
先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．
例32．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（    ）

A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
【答案】D
【解析】由题图知：，，，
所以，，依次可以是，，3．
故选：D
例33．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，即，定义域为，且，
即为奇函数，又由幂函数的性质可知在上单调递减，
所以在上单调递减，故符合题意的只有C；
故选：C
例34．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（    ）

A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且
【答案】C
【解析】函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，
故选：C.
例35．（2022·全国·高一课时练习）已知，则函数的图像不可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.
故选：A
例36．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ）

A．p为奇数，且 B．p为奇数，且
C．p为偶数，且 D．p为偶数，且
【答案】D
【解析】因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，
且在上单调递减，
则有，
所以．
故选：D．
题型六：定点问题
例37．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（    ）
A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
【答案】D
【解析】对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；
对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；
对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；
对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．
故选：D．
【方法技巧与总结】
所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点
例38．（多选题）（2022·全国·高一专题练习）已知幕函数的图象经过点，则（    ）
A．函数是偶函数
B．函数是增函数
C．函数的图象一定经过点
D．函数的最小值为0
【答案】BD
【解析】依题意，
所以，
由于的定义域是，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，A选项错误.
在上递增，所以B选项正确.
，所以C选项错误.
，所以D选项正确.
故选：BD
例39．（2022·全国·高一专题练习）任意两个幂函数图象的交点个数是（    ）
A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个
C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个
【答案】A
【解析】因为所有幂函数的图象都过，
所以最少有个交点，
如图所示：

当函数为和时，它们有个交点，
故选：．
例40．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（    ）
A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）
B．若函数f（x）＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增
C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限
D．幂函数的图象不可能是直线
【答案】C
【解析】幂函数y＝x－1的图象不过点（0，0），它在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，于是A，B都不正确．
幂函数y＝x的图象是直线，D不正确．
当x>0时，f（x）＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，C正确
故选：C．
题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题
例41．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】幂函数在上是减函数，
，解得，
，或．
当时，为偶函数满足条件，
当时，为奇函数不满足条件，
则不等式等价为，即，
在R上为增函数，
，解得：.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．
例42．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．
当m＝－1时，；当m＝2时，．
因为函数对任意的，，且，满足，
所以函数在上单调递增，
所以，
又，
所以函数是奇函数，且为增函数，
因为，
所以，
所以，即．
故答案为：＜.
题型八：比较大小
例43．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，，．
【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以．
（2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以．
（3），，，因为幂函数在上单调递增，所以．
【方法技巧与总结】
（1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断．
（2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的．
（3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．
例44．（2022·全国·高一专题练习）求出函数的单调区间，并比较与的大小．
【解析】==，因此将幂函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数的图象，由此可知，在上是增函数，在上是减函数．

在上找出点关于直线的对称点．
由，
．


例45．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，试比较，，的大小．
【解析】，，
设函数，由函数在上单调递增.
又，所以
题型九：幂函数性质的综合运用
例46．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（    ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【解析】设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
【方法技巧与总结】
以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．
例47．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
故选：ABD．
例48．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为R上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
【答案】ABD
【解析】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；
对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；
对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．
故选：ABD．
例49．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则其单调增区间为_____.
【答案】【解析】，函数的定义域为，
令，则当单调递减，在单调递增，
，在定义域内单调递增，
在在单调递增，
故答案为：
例50．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间为 __．
【答案】
【解析】由，得或，
令，该函数在上单调递减，而y＝是定义域内的增函数，
∴函数的单调递减区间为．
故答案为：．
例51．（2022·全国·高一专题练习）写出一个具有性质①②③的函数______．
①定义域为；②在单调递增；③．
【答案】（答案不唯一）
【解析】的定义域为，在区间递增，
且，
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
例52．（2022·全国·高一课前预习）已知函数．
(1)若为偶函数，且在是增函数，求的解析式：
(2)若在上减函数，求的取值范围．
【解析】(1) 在上增函数，，解得
又,，
由为偶函数知，；
(2)若在上减函数，则，
解得或，
即的取值范围是{或且}．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，在区间上为减函数，不符合题意
故选：B
2．（2022·全国·高一课时练习）“函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若函数在上单调递减，则，
若函数为偶函数，则，解得，
因为Ý，
因此，函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像过点，则（    ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】设，依题意，所以，
所以，所以；
故选：B
4．（2022·全国·高一课时练习）“当时，幂函数为减函数”是“或2”的（    ）条件
A．既不充分也不必要 B．必要不充分
C．充分不必要 D．充要
【答案】C
【解析】当时，幂函数为减函数，
所以有，
所以幂函数为减函数”是“或2”的充分不必要条件，
故选：C
5．（2022·全国·高一课时练习）函数部分图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，故BD不正确；
当时，，且为增函数，所以为减函数，故A不正确，
故选：C.
6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是减函数，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数是减函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：A.
7．（2022·安徽·高一阶段练习）已知幂函数在上是增函数，则实数的值为（    ）
A．1或 B．3 C． D．或3
【答案】B
【解析】∵函数是幂函数，则，∴或.当时在上是增函数，符合题意；当时在上是减函数，不合题意.
故选：B.
8．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.

故选：A
二、多选题
9．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（    ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】因为幂函数在上是增函数，
所以，解得，所以，
所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以在上单调递增；
故选：ABD
10．（2022·广东茂名·高一期末）若函数是幂函数，则实数k的值可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】∵函数是幂函数，
∴，解得或.
故选：AC.
11．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ）
A．函数为增函数
B．函数为减函数
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【解析】设幂函数为实数，∵其图像经过点，∴，解得，
∴，其定义域为，且在上为增函数，A正确；
时，，选项C正确；
∵函数是上凸函数，
∴对定义域内任意的，都有成立，选项D错误.
故选：AC.
12．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（    ）
A．为偶函数
B．的值域是
C．若，则
D．是上的增函数
【答案】BCD
【解析】因为函数是幂函数，所以设，
又因为的图像经过点，所以有，
即.
A：函数的定义域为全体正实数，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，因此本命题不正确；
B：因为，所以，因此本命题正确；
C：因为，所以，
因为函数是正实数集上的减函数，
所以可得，
，
因此，而，
即，因此本命题正确；
D：，
当时，函数，此时函数单调递增，
由函数单调性的性质可知中：函数是上的增函数，因此本命题正确，
故选：BCD
三、填空题
13．（2022·全国·高一课时练习）已知，若函数在上单调递减，且为偶函数，则______．
【答案】
【解析】由题知：，
所以的值可能为，，．
当时，为偶函数，符合题意．
当时，为奇函数，不符合题意．
当时，，定义域为，则为非奇非偶函数，不符合题意．
综上，．
故答案为：
14．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值为___．
【答案】【解析】幂函数过点，
，解得，
，故.
故答案为：
15．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解为______．
【答案】
【解析】将不等式转化成
（Ⅰ） ，解得 ；
（Ⅱ） ，解得 ；
（Ⅲ） ，此时无解；
综上，不等式的解集为：
故答案为：
16．（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；②；③任取，，且．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，函数为幂函数，满足①；，则函数为偶函数，满足②；③表示函数在上单调递增，由幂函数的性质可知满足③.
故答案为：（答案不唯一）
四、解答题
17．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．
【解析】(1)设，则，则，
∴函数的解析式为．
(2)因为，
∴函数的单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为．
18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，.

(1)求方程的解集；
(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
【解析】（1）由，得且，解得，；
所以方程的解集为
（2）由已知得.
（3）函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.

19．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)是幂函数，且图象过点(3，)．
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)当x<0时，判断f(x)的单调性，并给出证明．
【解析】(1)由题意时，设，则，，所以，
为奇函数，所以，
时，，
所以；
(2)时，，
设的任意的两个负实数，且，
则，
所以，所以时，是增函数．
20．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知幂函数的图像经过点()，函数为奇函数.
(1)求幂函数的解析式及实数a的值；
(2)判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明
【解析】(1)由条件可知，所以，即，
，
因为是奇函数，所以，即，
满足是奇函数，所以成立；
(2)由（1）可知，
在区间上任意取值，且，
，
因为，所以，，
所以，
即，
所以函数在区间上单调递增.
21．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．
(1)求m的值；
(2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1) 或，
又因为函数在上单调递增，
，（舍），
，.
(2)，恒成立，
，恒成立．
令，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
故．
22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数，且在区间上单调递减，
(1)求的解析式及定义域；
(2)设函数，求证：在上单调递减．
【解析】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或，
若时，在上单调递增，不满足题意，
所以，，定义域为；
（2）由（1）知函数，
设，则．
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递减