高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀课时练习

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4．5．3 函数模型的应用
【知识点梳理】
知识点一、几种常见的函数模型
1、一次函数模型：（，为常数，）
2、二次函数模型：（为常数，）
3、指数函数模型：（为常数，，且）
4、对数函数模型：（为常数，，且）
5、幂函数模型：（为常数，）
6、分段函数模型：
知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤
1、解应用题的基本思想

2、解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．
上述四步可概括为以下流程：
实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．
知识点三、解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它．
其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系．
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率．
【题型归纳目录】
题型一：一次函数与二次函数模型的应用
题型二：分段函数模型的应用
题型三：指数或对数函数模型的应用
题型四：拟合函数模型的应用问题
题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型
【典型例题】
题型一：一次函数与二次函数模型的应用
例1．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业，这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产，两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资成正比，且当投资2万元时，利润为1万元；产品的利润与投资的算术平方根成正比，且当投资4万元时，利润为4万元．
(1)分别求出，两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入到，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【解析】（1）设投资为万元，
则产品的利润，产品的利润，
由题意得，，，解得，，
所以产品的利润，产品的利润．
（2）设企业利润为，分配给产品的投资为万元，则分配给产品的投资为万元，
所以，
故当，即时，企业利润取得最大值，
所以这10万元资金中有6万元投资给产品，4万元投资给产品，可使企业获得最大利润，且最大利润为7万元．
例2．（2022·贵州贵阳·高一阶段练习）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若提价后定价为x（单位：元），销售总收入y（单位：万元）
(1)提价后如何定价才能使销售总收入最大？销售总收入最大值是多少？（精确到0.1）
(2)如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
【解析】（1）由题意可得

当（元）时，（万元）.
即定价为每本元可使销售总收入最大，销售总收入最大值约为万元.
（2）由题意可得


所以，当每本杂志的定价不低于元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元.
例3．（2022·湖北·孝感鲁迅高级中学有限公司高一阶段练习）某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入（万元）满足：，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题．
(1)写出利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）；
(2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大，最大利润为多少?
【解析】（1）由题意可得：，
，

（2）当时，单调递减，
（万元），
当时，函数，
当时，有最大值为（万元），
综上：当工厂生产4百台产品时，可使赢利最大为3.6万元.
变式1．（2022·宁夏六盘山高级中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.
(1)若该厂某日的销货量是30件，求该厂当日的获利是多少元？
(2)若该厂日获利不少于1300元，求该厂日产量的取值范围.
【解析】（1）当时，，，
所以该厂当日的获利是(元)；
（2）设该厂日获利为，则由题意得
，
由，得，
所以，即，
解得，
所以当日产量在20到45件之间（含20件和45件）时，日获利不少于1300元.
变式2．（2022·重庆·西南大学附中高一阶段练习）2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，整理得，
解得，
因为且，所以，故，
所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为125人.
（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，
上式两边同除以得，整理得；
由条件②由技术人员年人均投入不减少，得，解得；
假设存在这样的实数, 使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立, 所以，
又因为，当时，取得最大值，所以，
所以，即，
即存在这样的满足条件，其范围为.
【方法技巧与总结】
1、一次函数模型的应用
利用一次函数求最值，常转化为求解不等式（或）．解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
2、二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．
题型二：分段函数模型的应用
例4．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.
(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式;
(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.
【解析】（1）10 000台=10千台,则，根据题意得：，解得，
当时，，
当时，
，
综上所述.
（2）当时，
当时， 取得最大值；
当时，
，
当且仅当时，
因为，
故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.
例5．（2022·甘肃·高台县第一中学高一期中）某公司为使产品能在市场有更大的份额占比，制定了一个激励销售人员的奖励方案，当销售利润不超过10万元时按销售利润的15%进行奖励，当销售利润超过10万元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为A万元，则超出部分按进行奖励．记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果某业务员要得到7.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【解析】（1）由题意知当时，，
当时，，
所以；
（2）由题意，则，
所以，解得，
所以该业务员的销售利润为18万元时，才可获得7.5万元奖金．
例6．（2022·山东省实验中学高一阶段练习）济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为.
(1)求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【解析】（1）由题设，当时，令，
又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，
∴，解得.
∴，
故时，，
所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为人.
（2）由（1）知：，
∵时，当且仅当等号成立，
∴上，
而上，单调递减，则，
综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.
变式3．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.
(1)若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？
(2)若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？
【解析】（1）设用电量为度，对应电费为元，
由题意得：当时，；
当时，，
即，
当时，，
所以该月电费为56元；
（2）因为时，，
所以该户用电量超过了100度，
令，解得：，
故其用电量为125度.
变式4．（2022·福建省宁德第一中学高一阶段练习）为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品，经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入波动成本万元，已知在年产量不足万件时，，在年产量不小于万件时，，每件产品售价元，通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润年销售收入固定成本波动成本．）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【解析】（1）当时，，
当时，，
故年利润关于的函数关系式为．
（2） 由（1）知，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
故当年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为万元．
变式5．（2022·浙江·高一阶段练习）丽水市某工厂生产甲产品的年固定成本为200万元，若甲产品的年产量为万件，则需另投入成本万元）．已知甲产品年产量不超过100万件时，；甲产品年产量大于100万件时，．因设备限制，甲产品年产量不超过200万件．现已知甲产品的售价为50元/件，且年内生产的甲产品能全部销售完．设该厂生产甲产品的年利润为（万元）．
(1)写出关于的函数解析式；
(2)当年产量为多少时，该厂生产甲产品所获的利润最大？
【解析】（1）当时，，
当时，，
故.
（2）①当时，，
当时，.
②当时，
．
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以．
答：当年产量为72万件时，该厂所获利润最大，最大利润为1096
变式6．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式．
(1)写出利润（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）
(2)当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
【解析】（1）当时，，
当时，，
故．
（2）当时，，
故当时，取得最大值，且最大值为128，
当时，
，
当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立，此时取得最大值，且最大值为136，
由于，
所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元．
【方法技巧与总结】
1、分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2、分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
题型三：指数或对数函数模型的应用
例7．（2022·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为，水葫芦覆盖面积（单位：），与时间（单位：月）的关系有两个函数模型且与可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式
(2)今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到的最小月份. 参考数据：，
【解析】（1）依题意函数过点和，
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
（2）若选择模型，即，当时，
若选择模型，即，当时，
因为，所以更合适，
令，则，两边取对数可得，
则，
所以水葫芦覆盖面积达到的最小月份是月份.
例8．（2022·福建·莆田第五中学高一阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．

(1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；
(2)现在公司准备投入亿元资金同时生产两种芯片，求分别对两种芯片投入多少资金时，该公司可以获得最大净利润，并求出最大净利润．（净利润芯片的毛收入芯片的毛收入研发耗费资金）
【解析】（1）生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，可设，
每投入千万元，公司获得毛收入千万元，，
生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：；
由图象可知：，解得：，
生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：.
（2）设对芯片投入的资金为千万元，则对芯片投入的资金为千万元，
设净利润为千万元，则，
令，则，
则当，即时，，
当对芯片投入亿元，对芯片投入亿元时，该公司可以获得最大的净利润，最大净利润为千万元.
例9．（2022·全国·高一课时练习）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．经过研究发现，在25℃室温下，设茶水温度从85℃开始，经过x分钟后的温度为y℃，则满足（，，）．
(1)求实数k的值；
(2)经过测试知，求在25℃室温下，刚泡好的85℃的茶水大约需要放置多长时间才能产生最佳饮用口感（结果精确到1分钟）．（参考数据：，，）
【解析】（1）依题意，当时，，所以，解得，
所以实数k的值是60．
（2）由（1）知，当时，，
当时，，即，
两边取对数，得，
所以．
所以刚泡好的85℃的茶水大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感．
变式7．（2022·全国·高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．
(1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．
（参考数据：）
【解析】（1）由题意，，，，
∴，
∴该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒．
（2）∵，，∴．
∵，∴，
即．
∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒．
变式8．（2022·云南玉溪·高一期末）某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的.
(1)若某下属企业年产值100万元，核定可得9万元奖金.试分析函数模型（为常数）是否为符合集团的奖励原则，并说明原因；
(2)设，若函数模型符合奖励原则，试求的取值范围.参考数据：.
【解析】(1)对于函数模型（为常数），
当时，，代入模型解得，
所以，
奖励原则为：①在区间上递增；②恒成立，
当时，模型是增函数，符合奖励原则①；
当时，；
，所以，模型不符合奖励原则②，
故该函数模型不符合奖励原则.
(2)对于函数模型，可得，
因为，故函数在递增，则在递增，符合奖励原则①；
由奖励原则②得，即，解得；
又由奖励原则②得，即在恒成立，
即，，
设，则抛物线开口向下，对称轴为，
所以当时，，由得，
综上，.
所以的取值范围是.
【方法技巧与总结】
1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式．
2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．
题型四：拟合函数模型的应用问题
例10．（2022·全国·高一专题练习）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）
【解析】（1）因为函数中，随的增长而增长的速度越来越快，
而函数，随的增长而增长的速度越来越慢，
故由题意应选；
则有，解得，
∴；
（2）设经过年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍，
则，即，
∴，
∴，
故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．
例11．（2022·广东珠海·高一期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.

1
4
9
16

1



(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；
(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？
【解析】(1)①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得
解得

此时，当时，，
当时，，
与表格中的和相差较大，
所以不适合作为与的函数模型.
②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得
解得

此时，当时，，
当时，，
刚好与表格中的和相符合，
所以更适合作为与的函数模型.
(2)由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为，

令，则
经计算，当时，取最大值（万元），
即，时（每亩约38棵），利润最大.
例12．（2022·全国·高一课时练习）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表：
上市时间x（天）
2
6
20
市场价y（元）
102
78
120
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①，②，③，④；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
(3)利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1）由题表知，随着时间x的增大，y的值随的增大，先减小后增大，而所给的函数，和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选择．
（2）把，，分别代入，得
解得，，
∴，．
∴当时，y有最小值，且．
故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．
（3）令，
因为存在，使得不等式成立，
则．
又在上单调递减，在上单调递增，
∴ 当时，取得最小值，且最小值为，
∴．
变式9．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

1
2
3
4
5
6
…
y(万个)
…
10
…
50
…
150
…
若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．(参考数据：，)
【解析】（1）若选，将，和，代入可得，，解得，故，将代入，；
若选，将，和，代入可得，，解得，
故，将代入可得，；
所以选择函数更合适，解析式为．
（2）设至少需要个单位时间，
则，即，两边同时取对数可得，，
则，
，
的最小值为11，
故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．
变式10．（2022·全国·高一专题练习）某商人计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别是，，已知投资额为0时，收益为0.
(1)求a，b的值;
(2)若该商人投入万元经营这两种商品，试建立该商人所获收益的函数模型；
(3)如果该商人准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收益的最大值.
【解析】（1）由题可知：
（2）由（1）可知：，
设投入商品投入万元，投入商品万元
则收益为：
（3）由题可知：
令，则
所以
所以当，即时，（万元）
所以投入A商品4万元，B商品1万元，最大收益12万元
变式11．（2022·福建厦门·高一期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：














根据表格中的数据画出散点图如下：

为了描述从第小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到百万个．
【解析】（1）依题意，所选函数必须满足三个条件：
（ⅰ）定义域包含；
（ⅱ）增函数；
（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．
因为函数的定义域为，时无意义；
函数随着自变量的增加，函数值的增长速度变大．
函数可以同时符合上述条件，所以应该选择函数．
（2）依题意知，解得，所以．
令，解得．
所以，至少再经过小时，细菌数量达到百万个．
变式12．（2022·福建南平·高一期末）在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆．
(1)根据以上数据，试从（，且），，（，且），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；
(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，年底该地区传统能源汽车保有量为辆，预计到年底传统能源汽车保有量将下降．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：，）
【解析】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是
（，且），
由题意得，解得，所以.
（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，
依题意得，，解得，
设从年底起经过年后的传统能源汽车保有量为辆，
则有，
设从年底起经过年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有

化简得，所以，
解得，
故从年底起经过年后，即年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.
变式13．（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，
②，③供选择.

(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）
【解析】（1）第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一，当时，匀速增长；
对于模型二，当时，先慢后快增长；
对于模型三，当时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.
第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，
解得，即.
第四步：验证模型是否合适
当时，，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为.
（2）由，得，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
【方法技巧与总结】
在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．
题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型
例13．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本单位：元与上市时间（单位：天）的数据如下表：
时间
50
120
150
种植成本
2600
500
2600
由表知，体现与数据关系的最佳函数模型是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，
也不是单调函数；而A，C，D对应的函数，在时，均为单调函数，
这与表格提供的数据不吻合，所以，选取B，
故选：B．
例14．（2022·全国·高一课时练习）若三个变量，，随着变量x的变化情况如下表.
x
1
3
5
7
9
11

5
25
45
65
85
105

5
29
245
2189
19685
177149

5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.6
则关于x分别呈函数模型：，，变化的变量依次是（    ）A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【解析】由题表可知，随着x的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数型函数的变化；相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化.
故选:B.
例15．（2022·全国·高一课时练习）在一次数学实验中，采集到如下一组数据：

－2
－1
0
1
2
3

0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则，的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中，为待定系数）（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题表中的数据描点如图所示．

∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A不成立；
∵C是偶函数，∴的函数值应该相等，∴C不成立；
∵时，无意义，∴D不成立；
对于B，当时，，当时，，经验证它与各数据比较接近.
故选：B.
变式14．（2022·全国·高一单元测试）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 （单位：百万个）与培养时间 （单位：时）的关系如下表，为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下四种模型供选择，则最符合实际的函数模型为（    ）

2
3
4
5
6
8

3.5
3.8
4
4.16
4.3
4.5
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据条件画出散点图，

依题意，所选函数必须满足三个条件：①定义域包含；②是增函数；③随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．
因为函数的定义域为，当时无意义，故排除B；
函数随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除C；
在上随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除D．
函数可以同时符合上述条件.
故选：A．
变式15．（2022·四川自贡·高一期末）今有一组实验数据如下：
x
2
3
4
5
6
y
1.5
2.01
2.98
5.02
8.98
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据表格中的数据，作出散点图，如图所示，
根据散点图可知，随着的增大，的值增大，并且增长速度越来越快，
结合选项：函数增长速度越来越缓慢，不符合题意；
函数增长速度越来越快，符合题意；
函数，增长速度不变，不符合题意；
而函数，当时，可得；当时，可得，
此时与真实数据误差较大，
所以最接近的一个函数是.
故选：B.

变式16．（2022·全国·高一单元测试）若三个变量、、，随着变量的变化情况如下表.


















2









则关于分别呈函数模型：、、变化的变量依次是（   ）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】B
【解析】由表可知，随着的增大而迅速的增大，是指数函数型的变化，
随着的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型的变化，
相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化.
故选：B.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·全国·高一单元测试）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】由题意日销量x件时，利润是，
，，．
故选：B．
2．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃ （结果保留整数，参考数据：）（    ）
A．9 B．8 C．7 D．5
【答案】C
【解析】由题意可知
所以
所以
故选：C
3．（2022·四川泸州·高一期末）在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律.指数增长率与、近似满足，其中为病毒基本再生数，为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（    ）（参考数据：）
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
【答案】B
【解析】由，，可得，
所以，
则，
设题中所求病例增加至倍所需天数为天，
所以，，即，
所以，所以累计感染病例数增加至的4倍，至少需要天；
故选：B．
4．（2022·全国·高一课时练习）考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间，则“______”为（参考数据：）（    ）
A．4011 B．3438 C．2865 D．2292
【答案】A
【解析】由题可得，两边同取以2为底的对数，得，
所以，则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.
故选：A.
5．（2022·全国·高一课时练习）火箭在发射时会产生巨大的噪音，假设所有声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足，若火箭发射时的声强级约为，人交谈时的声强级约为，则火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，得．
因为火箭发射时的声强级约为，人交谈时的声强级约为，
所以火箭发射时的声强约为，人交谈时的声强约为，
所以火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为．
故选：A.
6．（2022·全国·高一单元测试）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元）、种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金，（单位：万元）满足，．设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），每年两个大棚的总收入为（单位：万元），则总收入的最大值为（    ）
A．282万元 B．228万元 C．283万元 D．229万元
【答案】A
【解析】由题意可知甲大棚的投入资金为x（单位：万元），乙大棚的投入资金为200-x（单位：万元），
所以，
由可得，
令，则，
，
所以当，即时总收人最大，最大收入为282万元．
故选：A．
7．（2022·全国·高一课时练习）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设两段长分别为，，其中，两个正三角形的面积之和为，
则这两个正三角形的边长分别为，，
面积之和为，
由二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，
所以．
故选：D.
8．（2022·全国·高一单元测试）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越千山万水来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数（单位：），其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的（    ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
【答案】B
【解析】设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，由题意可得，两式相减可得，所以，即，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．
故选：B．
二、多选题
9．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）如图，建立平面直角坐标系轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，它的横坐标为.则下列结论正确的是（    ）

A．炮的最大射程为10千米
B．炮的最大射程为20千米
C．当飞行物的横坐标超过6时，炮弹可以击中飞行物
D．当飞行物的横坐标不超过6时，炮弹可以击中飞行物
【答案】AD
【解析】在中，令，可得，显然，
因此，当且仅当，即时等号成立，
即炮的最大射程为10千米，A正确，B错误；
依题意，炮弹击中飞行物，即直线与炮弹轨迹有公共点，而，，
于是得关于的方程，即有正根，
当，即时，方程两根之和为正，两根之积为正，
因此当时，关于的方程有正根，
即当不超过6千米时，炮弹可以击中目标，C错误，D正确.
故选：AD
10．（2022·全国·高一课时练习）（多选）三个变量，，随变量变化的数据如下表：

0
5
10
15
20
25
30

5
130
505
1130
2005
3130
4505

5
90
1620
29160
524880
9447840
170061120

5
30
55
80
105
130
155
则下列说法合理的是（    ）A．关于呈指数增长 B．关于呈指数增长
C．关于呈直线上升 D．的增长速度最快
【答案】BCD
【解析】随增大而增大，增加量依次是125，375，625，875，…，增长的速度越来越慢，呈对数增长，故A错误；随增大而增大，增加量依次是85，1530，27540，495720，…，增长的速度越来越快，呈指数增长，且增长速度最快，故B，D正确；随增大而增大，增加量依次是25，25，25，…，呈均匀增加状态，呈直线上升，故C正确.
故选：BCD.
11．（2022·山东德州·高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位）与时间（单位：月）的关系为，下列说法正确的是（    ）

A．浮萍每月的增长率均相等
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍从蔓延到需经过1.5个月
D．若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则
【答案】ABD
【解析】浮萍的面积（单位：与时间（单位：月）的关系为，
由图可得，函数过点，
故，
对于A，，每月的增长率为2，故A正确，
对于B，第5个月时浮萍的面积为，超过了，故B正确，
对于，第2个月时浮萍的面积为，第个月时浮萍的面积为，故错误，
对于，浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，
，，，
，故D正确．
故选：ABD．
12．（2022·全国·高一）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（    ）
A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损 C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多
【答案】AD
【解析】设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：元，
乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：元，
故选：AD.
三、填空题
13．（2022·北京·牛栏山一中高一期中）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级.震级计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，5级地震给人的震感已经比较明显，8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的___________倍.
【答案】1000
【解析】由题意可得：，所以，解得：.
所以8级地震的最大振幅，5级地震的最大振幅.
因为，
所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.
故答案为：1000.
14．（2022·全国·高一单元测试）牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．（参考数据：，）
【答案】188
【解析】设经过个周期后细菌含量超标，
即，即，
所以，
而，因此经过188分钟就不宜再饮用．
故答案为：188.
15．（2022·全国·高一课时练习）某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金（单位：万元）随利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①，②，③，则该符合该商场要求的模型为______（填序号）.
【答案】②
【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象如图所示.观察图象可知，在区间内，函数，的图象都有一部分在直线的上方，只有函数的图象始终在直线和的下方，所以按模型进行奖励符合商场的要求.

故答案为：②
16．（2022·全国·高一课时练习）2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．若不改变信道带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递速率C大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：，）
【答案】2.5
【解析】设提升前最大信息传递速率为，提升后最大信息传递速率为，则由题意可知，，，
所以，
所以最大信息传递速率C会提升到原来的2.5倍．
故答案为：
四、解答题
17．（2022·甘肃·庆阳第六中学高一阶段练习）要挖一个面积为的矩形鱼池，周围两侧额外要留出宽分别为3m，4m的堤堰，求占地总面积最小时鱼池的长和宽.
【解析】设鱼池的长为xm，则鱼池的宽为m，因此占地总面积有：
，当且仅当，即时取等号，
当时，，
所以占地总面积最小时鱼池的长和宽分别为.
18．（2022·湖南·长沙市明德中学高一阶段练习）如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD=2x，梯形ABCD的周长为 y .

(1)求出 y 关于 x 的函数的解析式；
(2)若周长 y 大于9，求上底CD长的取值范围.
【解析】（1）作，分别垂直，交于，，
连结，由圆的性质可知是中点，设，
，
又在直角中，，

，其定义域是；
（2）令，则，且，
，
∵周长y大于9，
∴，
解得：，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴上底CD长的取值范围.
19．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.

(1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值.
【解析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，
由面积均为400平方米，得，
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，
所以，所以，
解得，
又，所以，
所以宽的最大值为16米；
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立，此时米，
所以当草坪为长为米，宽为米的矩形时，整个绿化面积的最小，最小值为平方米.
20．（2022·广东·东莞松山湖未来学校高一阶段练习）全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为的矩形市民休闲广场.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为的草坪，南北边缘都留有的空地栽植花木.
(1)设占用空地的面积为（单位：），矩形休闲广场东西距离为（单位：，），试用表示的函数；
(2)当为多少时，占用空地的面积最少？并求最小值.
【解析】（1）因为广场面积须为，所以矩形广场的南北距离为，
所以.
（2）由（1）知，
当且仅当时，等号成立.
答：当休闲广场东西距离为时，用地最小值为4880m2.
21．（2022·山东·梁山县第一中学高一阶段练习）如图，直角三角形是一个展览厅的俯视图，矩形是中心舞台，已知，．

(1)要使中心舞台的面积大于，求的取值范围．
(2)当的长度为多少时，中心舞台的面积最大？并求出最大的面积．
【解析】（1）在直角三角形中，，所以，
设，依题意可得，
所以，所以，，
又，即，所以，
所以，
所以，解得，所以的取值范围为.
（2）因为，
所以当，即时，中心舞台的面积最大，最大的面积为；
22．（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）某品牌电动汽车在某路段以每小时x千米的速度匀速行驶240千米．该路段限速（单位：千米/时）．充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮胎磨损费为元/千米，道路通行费为0.2元/千米．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当行车速度x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
【解析】（1）．
（2）因为，．
所以，所以行车费最低为（）元．
当，即，时取得．
答：行车速度为千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（）元．