高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时学案及答案

【新教材】 8.6.2 直线与平面垂直

（人教A版）

第1课时 直线与平面垂直的判定

1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.

2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．

1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系；

2．数学运算：求直线与平面所成角；

3．直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

重点：①直线和平面垂直的判定定理及其应用；②求直线与平面所成角.

难点：直线与平面垂直的判定定理的应用，找垂直关系.

一、    预习导入

阅读课本149-152页，填写。

1.直线与平面垂直的概念

如果直线l与平面α内的任意一条直线都________,就说直线l与平面α互相垂直,记作________ ,直线l叫做平面α的________,平面α叫做直线l的________,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做________.

2.直线与平面垂直的判定定理

3.直线与平面所成的角

(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面________,这条直线叫做这个平面的________,斜线和平面的交点A叫做________,过斜线上________的一点向平面引垂线PO,过垂足O和________的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________,叫做这条直线和这个平面所成的角.

(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是________;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是________的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.

1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是(　 　)

A.①③ B.②  C.②④ D.①②④

2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为(　 　)

A.a∥b                  B.a⊥b

C.a,b相交不垂直      D.a,b异面不垂直

3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　 　)

A.平面OAB B.平面OAC

C.平面OBC D.平面ABC

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为　　　　. 

题型一  线面垂直的概念与定理的理解

例1 下列说法中正确的个数是(　　)

①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;

②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;

③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;

④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;

⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.

 A.1 B.2    C.3   D.4

跟踪训练一

1、下列命题中,正确命题的序号是　　　　. 

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;

②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;

③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;

④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;

⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α.

题型二  直线与平面垂直的判定

例2 在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证: PH⊥平面ABC.　

跟踪训练二

1、 如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.

(1)求证:SD⊥平面ABC;

(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.

题型三  直线与平面所成角

例3 在正方体中，求直线与平面所成的角？

跟踪训练三

1、已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为　　　　. 

1.设l,m是两条不同的直线, α是一个平面,则下列命题正确的是(　　)

A.若l⊥α,l∥m,则m⊥α   B.若l∥α,m⊂α,则l∥m

C.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α   D.若l∥α,m∥α,则l∥m

2.已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,垂足H,则H为△ABC的( 　)

A.重心   B.垂心   C.外心   D.内心

3.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是_________.

4.如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为　　　　. 

5．如图，在四棱锥中，平面，，，且，是的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面.

答案

小试牛刀

1. A.

2．B.

3．C.

4. 

自主探究

例1 【答案】B

【解析】由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.

跟踪训练一

1、【答案】④⑤⑥.

【解析】根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故④正确;⑤,⑥显然正确.

例2 【答案】证明见解析

【解析】如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,

所以AH⊥BC,

又AP⊥BC,AH∩AP=A,

所以BC⊥平面AHP,

又PH⊂平面AHP,

所以PH⊥BC.

同理可证PH⊥AB,

又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.

跟踪训练二

1、 【答案】证明见解析

【解析】 :(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,

在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC,且DE⊥AB.

在△SAB中,因为SA=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.

因为SD⊂平面SDE,所以AB⊥SD.

在△SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.

因为SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.

(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点,

所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.

而BD⊂平面ABC,所以SD⊥BD.

因为SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,

所以BD⊥平面SAC.

例3 【答案】30°（或）

【解析】 连接，交于点O，再连接，

因为是在正方体中，所以平面，

所以是直线与平面所成的角．

设正方体的边长为1，

所以在△A1BO中，，，

所以，所以直线与平面所成的角的大小等于30°．

跟踪训练三

1、【答案】.

【解析】 因为S-ABC为正三棱锥,所以点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O,连接SO,AO,则∠SAO为SA与底面ABC所成的角,设正三棱锥的棱长为a,在Rt△SOA中,AO=·asin 60°=a,SA=a,所以cos∠SAO==.

当堂检测 

1-2. AB

3. 4.

4. 45°.

5．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）因为平面，平面，

所以，因为，，

所以平面，又平面，

所以.

（2）由，，

可得，

因为是的中点，所以.

由（1）知，且，

所以平面.

又平面，所以.

因为平面，平面，

所以.

又，，

，平面，所以平面，

又平面，所以.

又，所以平面.