高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第1课时学案

8.6.3 平面与平面垂直

第1课时 平面与平面垂直的判定

1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．

2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．

3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化。

1.教学重点：面面垂直的判定定理；

2.教学难点：求简单二面角平面角的大小，用定理证明垂直关系。

1．二面角的概念

(1)定义：从一条直线出发的            所组成的图形．

(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的       ，②两个半平面叫做        ．

(3)画法：

(4)记法：二面角        或            或           或         .

(5)二面角的平面角：若有①O     l；②OA      α，OB     β；

③OA     l，OB     l，则二面角α­l­β的平面角是       .

(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.

2．平面与平面垂直

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)画法：

(3)记作：α⊥β.

(4)判定定理：

一、探索新知

问题：    在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？

1..二面角的概念

(1) 半平面的定义

平面内的一条        把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．

(2) 二面角的定义

从一条       出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

这条       叫做二面角的棱，每个            叫做二面角的面．

(3) 二面角的画法和记法：

面1－棱－面2      点1－棱－点2  

二面角    二面角

思考：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，你认为应该怎么刻画二面角的大小？

（4）  二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于       的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

如图，，则∠AOB成为二面角的平面角. 它的大小与点O的选取无关.

二面角的平面角必须满足：

①角的顶点在棱上

②角的两边分别在两个面内

③角的边都要垂直于二面角的棱

观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构这些二面角的面、棱、平面角及其度数。

2. 平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是     二面角，就说这两个平面互相垂直.

记作：              

图形表示：

观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？

3.平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面过另一个平面的             ，那么这两个平面垂直。

图形：

符号语言：                           

简记：线面垂直，则面面垂直。

例1.   如图，在正方体中，求证：平面。

例2.如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，   求证：平面PAC⊥平面PBC.

1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　　　 B．可能重合

C．相交且垂直   D．相交不垂直

2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)

A．互为余角   B．相等

C．其和为周角   D．互为补角

3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.

其中正确的两个命题是(　　)

A．①②   B．③④

C．②④   D．①③

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于        ．

5．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.

这节课你的收获是什么？

参考答案：

观察：三个

2.

观察：用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。

例1.证明：是正方体。

例2.

达标检测

1.【答案】C　

【解析】由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.

2.【答案】D　

【解析】画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.

3.【答案】D　

【解析】∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．

4.【答案】45°

【解析】根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A­BC­A1的平面角. 又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°.

5.【证明】　因为BCC1B1是菱形，

所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，

所以B1C⊥平面A1BC1，

又B1C⊂平面AB1C，

所以平面AB1C⊥平面A1BC1.