苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程课堂检测

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第1练 一元二次方程及其解法
课后培优练级练

培优第一阶——基础过关练
1．关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则k的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得k＜4，
又k≠0，
∴k＜4且k≠0，
故选：C．
2．若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（       ）
A．36 B． C．9 D．
【答案】C
【解析】解：∵方程有两个相等的实数根
∴
解得
故选：C．
3．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（       ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D．
【答案】D
【解析】解：根据一元二次方程的求根公式可得：，，
∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴，
∴,,
∴则，，
故选：D．
4．关于的一元二次方程（为常数）的根的情况是（        ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】解：方程的判别式为，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．一元二次方程的根的情况（       ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【解析】解：由题意可知：，
∴，
∴方程由两个不相等的实数根，
故选：B．
6．下列方程中，属于一元二次方程的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A、是二元一次方程，故该选项错误，不符合题意；B、是分式方程，故该选项错误，不符合题意；C、由得，是一元一次方程，故该选项错误，不符合题意；D、由得，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意．故选D．
7．关于方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是（　　）
A．m＝1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＜2
【答案】B
【解析】解：根据题意得：m﹣1≠0
解得m≠1．
故选：B．
8．若关于x的方程x2+3x﹣k＝0有一个解是1，则k的值是____．
【答案】4
【解析】解：依题意，当x＝1时，原方程为1+3﹣k＝0，
解得k＝4．
故答案为：4．
9．把一元二次方程化为一般形式为______．
【答案】
【解析】解：，
即
即
故答案为：
10．一元二次方程的根是_________．
【答案】或
【解析】解：由题意可知：或，
∴或，
故答案为：或．
11．若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是__________．
【答案】x2﹣x＝0（答案不唯一）
【解析】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，则符合条件的一个一元二次方程可以是：x（x﹣1）＝0，
整理得：x2﹣x＝0．
故答案为：x2﹣x＝0（答案不唯一）．
12．解方程：
(1)x2＝9；
(2)4x2﹣25＝0
【答案】(1)x1＝3，x2＝﹣3；(2)x1＝，x2＝
【分析】(1)解：∵x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
(2)解：∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
则x2，
∴x1，x2．
13．解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；(2)，
【分析】(1)解：，
∴，
∴或，
∴，．
(2)，
∴，
∴或，
∴，．
14．解下列方程．
(1)x2＋2x＝0；
(2)2x2－3x－1＝0．
【答案】(1)x1＝－2，x2＝0；(2)x1＝，x2＝
【分析】(1)原方程左边因式分解，
得：，
即有：x1＝－2，x2＝0；
(2)∵，
∴，
∴，．
15．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)x1＝，x2＝2；(2)：x1＝﹣3，x2＝2
【分析】(1)解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2，
（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2+2x）（x﹣2）＝0，
x﹣2+2x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝2；
(2)解：（x﹣1）（x+2）＝4，
整理，得x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
x+3＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2．
培优第二阶——拓展培优练
1．一元二次方程化成一般式后的值为（       ）
A．3，－10，－4 B．3，－12，－2
C．8，－10，－2 D．8，－12，4
【答案】A
【解析】解：，
去括号，得，
移项合并同类项，得，
则化成一般式后的值为，
故选：A．
2．若a是一元二次方程x2﹣3x＋1＝0的一个根，则代数式2a的值为（       ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5
【答案】B
【解析】解：∵a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴a2﹣3a+1＝0，
∵a≠0，
∴a﹣30，即a3，
∴2a＝2﹣（a）＝2﹣3＝﹣1．
故选：B．
3．已知m为方程的根，那么的值为（       ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【解析】∵m为的根据，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
4．关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】关于x的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
故选：D．
5．方程的两个根为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】解：
∴，
∴或，
解得：，．
故选：A．
6．下列一元二次方程无实数根的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；C．，方程没有实数根，符合题意；D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意；故选： C．
7．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方得（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝5
【答案】B
【解析】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：B．
8．一元二次方程的根为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】解：

解得：，
故选：D
9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：根据题意得Δ=(-4)2-4×1×(-2m+5)＞0，
解得m>，
所以实数m的取值范围是m>．
故答案为：m>．
10．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
【答案】20
【解析】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
11．若，则x的值为_______．
【答案】0，，
【解析】解：∵，
∴，
，
，
，
则x的值为0，，
故答案为：0，，
12．若方程的两个根分别是与，则_____．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴方程的两个根互为相反数，
∵方程的两个根分别是与，
∴，
解得，
∴，，
∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是与，
∴，
∴．
故答案为：．
13．解下列方程：
(1)x2+2x﹣8＝0；
(2)（2y+1）2﹣25＝0；
(3)4t2﹣4t﹣3＝0；
(4)2（m+3）＝m2﹣9．
【答案】(1)x1＝﹣4，x2＝2
(2)y1＝2，y2＝﹣3
(3)t1＝，t2＝
(4)m1＝﹣3，m2＝5
【分析】(1)解：x2+2x﹣8＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
则x+4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2；
(2)解：（2y+1）2﹣25＝0；
（2y+1）2＝25，
∴2y+1＝±5，
∴y1＝2，y2＝﹣3；
(3)解：4t2﹣4t﹣3＝0；
4t2﹣4t＝3，
4t2﹣4t+1＝3+1，
（2t﹣1）2＝4，
∴2t﹣1＝±2，
∴t1＝，t2＝；
(4)解：2（m+3）＝m2﹣9
2（m+3）﹣（m+3）（m﹣3）＝0，
（m+3）（2﹣m+3）＝0，
∴m+3＝0或5﹣m＝0，
∴m1＝﹣3，m2＝5．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当时，求方程的实数根．
【答案】(1)；(2)，
【分析】(1)原式化成一元二次方程的一般形式：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
(2)当时，
原方程变为，
即，
解得，．
15．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为（x＋m）2＋n的形式，
例如：x2﹣8x＋17＝x2﹣2•x•4＋42﹣42＋17＝（x﹣4）2＋1
根据以上材料，解答下列问题：
(1)填空：将多项式x2﹣2x＋3变形为（x＋m）2＋n的形式，并判断x2﹣2x＋3与0的大小关系，
∵x2﹣2x＋3＝（x﹣　 　）2＋　 　；所以x2﹣2x＋3　 　0（填“＞”、“＜”、“＝”）；
(2)将多项式x2＋6x﹣9变形为（x＋m）2＋n的形式，并求出多项式的最小值；
(3)求证：x、y取任何实数时，多项式x2＋y2﹣4x＋2y＋6的值总为正数．
【答案】(1)1；2；＞
(2)（x+3）2﹣18，最小值为-18
(3)见解析
【分析】(1)解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+2＞0，
∴x2﹣2x+3＞0，
故答案为：1；2；＞；
(2)解：x2+6x﹣9＝x2+6x+9﹣18＝（x+3）2﹣18，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣9有最小值，最小值为﹣18；
(3)证明：x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1
＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0，
∴x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
16．我们把图1称为基本图形，显然在这个基本图形中能找到6个矩形，将此基本图形不断复制并向上平移，使得相邻两个基本图形的边重合，这样得到图2、图3、……；
                                             
(1)观察图3并完成相应填空：1×（1＋2＋3）＝6；（1＋2）×（1＋2＋3）＝18； ×（1＋2＋3）＝
(2)根据以上的规律猜想，图n中共有 个矩形（用含n的代数式表示）；
(3)在一个由n行n列的矩形组成的图形中，一共有100个矩形，求n的值；
【答案】(1)
(2)
(3)4．
【分析】(1)∵1×（1＋2＋3）＝6；（1＋2）×（1＋2＋3）＝18，
∴图3中矩形有
故答案为：
(2)由（1）可得，图形n中共有矩形：
故答案为：
(3)∵由（1）可知一个n行3列的矩形组成的图形中一共有个矩形，
故一个n行n列的矩形组成的图形中有个矩形，


（舍去）
故答案为：4．
17．某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x2＋10x﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x2＋10x﹣39＝0，所以有x（x＋10）＝39
展示1：阿尔•花拉子米构图法
如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x＋10），宽为x，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．

(1)图2中，补上的空白小正方形的边长为　 　；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x＋　 　）2＝39＋　 　；
(2)展示2：赵爽构图法
如图3，用4个长都是（x＋10），宽都是x的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．图3中，大正方形面积可以表示为（       ）2（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39＋　 　，故可得原方程的一个正的根为　 　．
(3)请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x2＋2x＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．
【答案】(1)5，5，25
(2)2x+10，100，x＝3
(3)见解析
【分析】(1)解：由图2可知，补上的空白小正方形的边长为5；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x+5）2＝39+25；
故答案为：5，5，25；
(2)图3中，大正方形面积可以表示为（2x+10）2（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+100，
则（2x+10）2＝4×39+100，
即（2x+10 ）2＝256，
解得：x1＝3，x2＝﹣13．
故原方程的一个正的根为x＝3．
故答案为：2x+10，100，x＝3；
(3)如图所示：

培优第三阶——中考沙场点兵
1．（2021·江苏宿迁·中考真题）若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a=
【答案】-1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，
∴9+3a-6=0，
解得a=-1．
故答案为：-1
2．（2022·江苏泰州·中考真题）方程有两个相等的实数根，则m的值为__________.
【答案】1
【解析】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-2）2-4m=4-4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
3．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
4．（2022·江苏连云港·中考真题）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【答案】1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
故答案为：1．
5．（2022·江苏宿迁·中考真题）若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】解： 关于的一元二次方程有实数根，
∴， 即
解得： ．
故答案为：．