苏科版九年级上册1.1 一元二次方程教学设计及反思

一元二次方程复习教案

【教学目标】

1.了解一元二次方程及其相关概念，会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；

2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题，认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目中等量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

【重点难点】

重点：了解一元二次方程及其相关概念，会用四种基本方法解简单的一元二次方程，掌握构造一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤；

难点：灵活运用一元二次方程解决有关问题.

【教学设计】

一、问题情境

我们教室地面的面积是63平方米，它的宽比长少2米，求教室地面的长与宽？

解：设教室地面的宽为x米，据题意可得：

二、考点复习

【活动一】

1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（      ）

A.    B.   C.. D.

2、方程化成一般式后的一次项系数是_________，常数项是_________.

考点一：一元二次方程定义及相关概念

只含有_________个未知数，并且未知数的最高次数是_________的_________方程叫一元二次方程．

一元二次方程的一般形式___________________________.

判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：（1）化简后；（2）一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）二次项的系数不等于0；（5）整式方程．

练一练：1、下列是一元二次方程的是（     ）

A．    B．

C．   D．

2、一元二次方程化成一般形式为__________________,其中二次项的系数为___________，一次项系数为_______，常数项为_______.

【活动二】

1、选择合适的方法解下列方程：

（1）        （2）

（3）     （4）

考点二：一元二次方程的解法技巧

一元二次方程的常见解法有四种，一般来说拿到一个一元二次方程，首先看能否运用_________法或_________法来解，如果不能则考虑运用_________法或_________法。

配方法多用于一元二次方程的二次项系数为1，一次项的系数是偶数的方程．公式法普遍适用于任何一个一元二次方程，只要将这个方程化为一般形式.但是用公式法求解的运算量比前几种都要大，所以一般不优先考虑这种方法.如果用以上方法都不易求解时，可考虑用__________________法求解．

方程（1）用直接开平方法：可化成（）∴

方程（2）用配方法：二次项的系数为1，一次项的系数为偶数

方程（3）用因式分解法：可化成∴A=0或B=0

方程（4）用公式法：公式法来源与配方法，对一元二次方程的一般形式进行配方得出公式引出下面的求根公式以及根与系数的关系.

做一做：选择合适的方法解下列一元二次方程:

（1）；    （2）；

 （3）；    （4）

【活动三】

1、已知关于x的方程

（1）求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

（2）若，是方程的两个根，且，求k的值。

考点三：根的判别式、根与系数的关系

（1）方程根的情况决定于一元二次方程的判别式。

若＞0，方程有两个不相等的实数根；

若＝0，方程有两个相等的实数根；

若＜0，方程没有实数根；

（2）一元二次方程根与系数的关系

说一说：不解方程，说出下列方程两根之和与两根之积

（1），______，______.

（2），______，______.

（3），______，______.

（4），______，______（m为常数）.

练一练：已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3=0．

（1）若此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）若此方程的两根互为倒数，求m的值．

三、典例分析

例1：已知关于x的方程

（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程?

解：

（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程?

解：     

例2：若，求的值.

    解：

     或（舍）

例3：已知直角三角形的两边长是方程的两根，求直角三角形的第三边长.

解：

，

当第三边为斜边时，应为

   当第三边为直角边时，应为

例4：已知关于x的方程有两个不相等的实数根

（1）求k的取值范围

（2）若两个不相等的实数根、，满足，求实数k的值.

解：（1） 方程有两个不相等的实数根

（2）由题意得：，

=0，=-12（舍）

四、拓展延伸

先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：求代数式的最小值. 

解：

∵

∴

∴的最小值是4

变式：求代数式-的最值

应用：某居民小区要在一块一边靠墙（墙足够长）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成.如图，设BC=x（米），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

五、中考链接：

1、(临沂)一元二次方程配方后可化为 (    )

A．    B．    C．   D．

2、(桂林)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 (     )

A．   B．     C．2或3    D．或

3、(河南)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是 (　　)

A．     B．    C．   D．

4、(2018·泰安)一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是 (　　)

A．无实数根                  B．有一个正根，一个负根

C．有两个正根，且都小于3    D．有两个正根，且有一根大于3

5、(安徽)若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为 (　　)

A．－1　　　　 B．1      C．－2或2   D．－3或1

六、课堂小结

通过本节课的复习，你对一元二次方程的内容有了哪些新的了解？（从知识结构、技能掌握、思想归纳、经验积累等方面归纳）

七、随堂检测

1．如果方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）

A．±3         B．3        C．﹣3      D．都不对

2．若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（　　）

A．6         B．﹣6  C．18      D．﹣18

3．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=_______．

4．选择适当的方法解下列方程：

（1）；   （2）；   （3）；

（4）；  （5）.

5．关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根,且x12+x22=8,求m的值．

八、布置作业

【板书设计】