数学苏科版第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程教学设计及反思

这是一份数学苏科版第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程教学设计及反思，共5页。


教学目标：
1. 理解一元二次方程的概念及一般形式。
2. 会利用概念的意义判断一个方程是否为一元二次方程。
3. 能确定未知数取值范围，能够列出简单的方程解决实际问题，从而体现建立方程模型
刻画实际生活的这一思想。

二. 重点、难点：
重点：一元二次方程的有关概念。
难点：对一元二次方程的理解及实际生活中的应用。

课堂教学：
（一）知识要点：
知识点1：整式方程的概念。
等式的左边和右边都是整式，这样的方程称整式方程，以前学过的一元一次方程及
本章的一元二次方程都属于整式方程。

知识点2：一元二次方程
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。如x2－2＝0，x2＋165x
－1652＝0，它属于整式方程。
说明：
“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”是指未知数的最高指数是2，
一般的整式方程都用“元”和“次”来定义。
判断一元二次方程，先看形式是否为整式，然后化简后再判断是“一元”、“二
次”，如，。
3. 举例说明：下列哪些是一元二次方程？
（1）x2－5x＝0 （2）9x2＋6＝2x（2x＋1） （3）4x2＝ x＋5 （4）3x2＝7y
（5） （6）x（5x－2）＝ x（x＋1）＋4x2

知识点3：一元二次方程的一般形式
任何一个一元二次方程都可化为ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，且a≠0）
说明：
1. 不能说可化为ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方 程。
2. ax2＋bx＋c＝0的方程。a≠0是一元二次方程，反之已知一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0就隐含a≠0这个条件。
一元二次方程的各项系数很重要，三项的排列必须从左到右降幂排列，依次为二 次项的系数a，一次项的系数b，和常数项c，等式的右边必须是0。
4. 举例说明：说出3x（x－1）＝2（x＋2）＋8的 a，b，c。
a＝ ；b＝ ；c
＝

知识点4：一元二次方程的分类。
三项都不缺的，如：x2－2x－3＝0 ，其中a＝1；b＝－2；c＝－3
缺二项的，如：3x2＝0，其中a＝3；b＝0；c＝0
缺一项的，如：－2x2－x＝0，其中a＝－2；b＝－1；c＝0
如：2x2－1＝0，其中a＝2；b＝0；c＝－1
说明：通过分类更好地理解一般形式，从而确定a，b，c，为将来的学习打下基础。

【典型例题】
例1. 已知方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，求m的值。
解：由，
∴m＝2

例2. 把下列方程中是一元二次方程的序号填在横线上： 。
（1）x2＝9；（2）；（3）x(x＋5)＝x2－2x ；（4）5x2＝0；（5）
（6）； （7）
答：（1），（4），（5），（6），（7）

例3. 判定方程 m2 (x2＋m)＋2x＝x(x＋2m)－1是不是关于x的一元二次方程。
解：经过整理，得m2 x2＋m3＋2x＝x2＋2mx－1 (m2－1)x2＋2(1－m) x＋(m3＋1)＝0
当m≠1，且m≠－1时，有m2－1≠0，所以原方程是一元二次方程。
当m＝1，或m＝－1时，有m2－1＝0，所以原方程不是一元二次方程。

例4. 关于x的方程(m＋1)x2－(m－1)x＝2m，若是一元二次方程，求m的值。
解：由m＋1≠0，得m≠－1。

例5. 将下列关于x的一元二次方程化为一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系
数及常数项。
（1）6x2＝3x＋2；（2）x2－a(3x－2a＋b)－b2＝0
解：（1）移项，得：6x2－3x－2＝0，∴a＝6；b＝－3；c＝－2
（2）x2－3ax＋(2a2－ab－b2) ＝0，∴a＝1；b＝－3a；c＝2a2－ab－b2

例6. 在线段AB上，若点C在AB上且AB：AC＝AC：CB，设AC＝x，AB＝m，则关于x的
一元二次方程为
解：m：x＝ x：(m－x) ∴x2＋mx－m2＝0
说明：点C是线段AB的黄金分割点，x≈0.618m。

例7. 已知关于x的方程；
（1）当m为何值时，原方程是一元二次方程？
（2）当m为何值时，原方程是一元一次方程？
解：（1） 解得
∴当时，原方程是一元二次方程。
（2）

∴当m＝－1或m＝－或m＝±时，原方程是一元一次方程。

例8. 若x2－9＝0，则___________________。
解：由x2－9＝0，∴x＝±3，但x＝3时，分母为零；∴x＝－3
∴原式＝

例9. 若xa＋b－3xa－b＋2是关于x的一元二次方程，试确定a、b的值。
解：
解之得：

例10. （1）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为8万
元。若设该校这两年在实验器材的投资上的平均增长率为x，试列出符合条件的方程。
（2）长方形像框是由一个80cm，宽60cm的长方形木板，挖去一个小长方形得到
的，像框四周宽为xcm，且中间小长方形的面积为大长方形的面积的一半，请写
出符合题意的方程。
解：（1）今年的投资额为2(1＋x)万元，明年的投资额为2(1＋x)2万元
根据题意，得2(1＋x)＋2(1＋x)2＝8
即x2＋3x－2＝0
（2）小长方形的长和宽分别是：80－2x，60－2x
根据题意，得（80－2x）（60－2x）＝×60×80
即x2－70x＋600＝0

例11. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字和十位数字对
调后所得的新数与原数的积是736，若设原数的十位数字为x，请写出符合题意的方程：
解：由题意得方程：[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736


例12. 两个正方形的面积和是89 cm2,它们的周长差是12cm，设较小正方形的边长为x，
试写出符合题意的方程。
解：（3＋x）2＋x 2＝89

例13. 关于x的方程a2x2－2x(2x－1)＝ ax＋1，（1）在什么条件下它是一元二次方程？
（2）在什么条件下，它是一元一次方程？
解：（1）a≠2且a≠－2；（2）a＝－2

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题：
1. 如果(a－1)x2＋ax＋a2－1＝0是关于x的一元二次方程，那么必有（ ）
A. a≠0 B. a≠1 C. a≠－1 D. a＝±－1
2. 某种产品原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本 ，现在的成本是81元，
设平均每次降低成本的百分率为x，则所得方程为（ ）
A. 100(1＋x)2＝81 B. 100(1－x)2＝81
C. 81 (1－x)2＝100 D. 81(1＋x)2＝100
3. 若a－b＋c＝0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
4. 若ax2－5x＋3＝0，是一元二次方程，则不等式3a＋6>0的解集是（ ）
A. a>－2 B. a<－2 C. a>－2且a≠0 D. a<
5. 一元二次方程3x2－2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 3,2,1 B. 3,－2,1 C. 3,－2, －1 D. －3,2,1

二. 填空题：
6. 关于x的一元二次方程(ax－1)(ax－2) ＝x2－2x＋6中，a的取值范围
是
7. 已知关于x的方程mx|m－2|＋2(m＋1)x－3＝0是一元二次方程，则m
＝
8. k为何值时，(k2－9)x2＋(k－5)x－3＝0不是关于x的一元二次方程？
9. 已知，关于x的方程ax2＋bx＝5x2－4是一元二次方程，
则5x2＋2x－1＝

三. 解答题：
10. k为何值时，(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0；（1）是一元一次方程？（2）是一元二次
方程？
11. 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是1，且a、b满足等式。
12. 根据题意列出方程。
（1）长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m，如果梯子底端向右滑
动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，设为xm，求梯子滑动的距离。
（2）已知，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花园的
面积是24m2，求花园的长和宽。
（3）有n支球队参加排球联赛，每队都与其余各队比赛2场，联赛的总场次为132
次，问共有多少支球队参加联赛？
（4）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台，求每
年的增长率x是多少？
【试题答案】
1. B 2. B 3. D 4. C 5. C
6. a≠±1
7. 4 8. k＝±3 9. 1
10. 解：（1）当，即k＝1时，原方程为一元一次方程，
（2）依据题意，有k2－1≠0，∴k≠±1，即k≠±1，原方程为一元二次方程。
11. 由题意得：a ＝2，b＝－3
∵ax2＋bx＋c＝0的一个根是1
∴a＋b＋c＝0 ∴c＝－(a＋b)＝－2＋3＝1
∴，解得：y1＝2，y2＝－2
12. （1）(4－x)2＋(3＋x)2＝52；
（2）设花园的宽为xm，x(19－2x)＝24；
（3）n(n－1)＝132；
（4）14400(1＋x)2＝16900

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