初中1.1 一元二次方程优秀课后练习题
展开第1章 一元二次方程(B卷)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
评卷人
得分
一、单选题
1.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.已知x=a是一元二次方程的解,则代数式的值为( )
A.3 B.6 C.﹣3 D.﹣6
3.若关于x的方程有实数根,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.若关于x的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<1 B.k<1且k¹0 C.k¹1 D.k>1
5.用配方法解方程,经过配方可转化为( )
A. B. C. D.
6.已知,,下列结论正确的个数为( )
①若是完全平方式,则;
②B-A的最小值是2;
③若n是的一个根,则;
④若,则
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.已知:关于的一元二次方程,设方程的两个实数根分别为,(其中),若是关于的函数,且,若,则( )
A. B. C. D.
8.若、是一元二次方程的两个实数根,则的值为( ).
A.2 B. C.2022 D.
9.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共共握66次手.若设这次会议到会的人数为x人,依题意可列方程( )
A.x(x﹣1)=66 B.=66
C.x(1+x)=66 D.x(x﹣1)=66
10.对于二次三项式(m为常数),下列结论正确的个数有( )
①当时,若,则
②无论x取任何实数,等式都恒成立,则
③若,,则
④满足的整数解共有8个
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
评卷人
得分
二、填空题
11.关于x的方程(k-1)x2-x+6=0是一元二次方程,则k满足的条件是 .
12.若关于x的一元二次方程(a是常数)有实根,那么a的取值范围是 .
13.一元二次方程-4x-3=0配方可化为 .
14.已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m=0可以用直接开平方法求解,则m的取值范围是 .
15.已知方程(x﹣1)(x+2)=2(x+2)的根是x1,x2,则x1+x2的值是 .
16.由于受疫情影响,某市高铁站客流量已连续两周下降,由每周50万人次下降至每周32万人次,设平均下降率为x,则根据题意列方程为 .
17.已知关于x的一元二次方程(a,b,c为常数,且),此方程的解为,.则关于x的一元二次方程的解为 .
18.已知关于x的方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数,a≠0)的两根分别为﹣2,1,那么关于x的方程a(x+c﹣2)2+b=0的两根分别为 .
评卷人
得分
三、解答题
19.解方程:
(1)
(2)
20.已知关于的一元二次方程.
(1)如果该方程有两个相等的实数根,求m的值;
(2)如果该方程有一个根小于0,求m的取值范围.
21.关于的一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围;
(2)如果,是方程的两个解,令,求的最大值.
22.为进一步促进义务教育均衡发展,某市加大了基础教育经费的投入,已知2018年该市投入基础教育经费5000万元,2020年投入基础教育经费7200万元.
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率;
(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算.该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台,调配给农村学校.若购买一台电脑需3500元,购买一台实物投影需2000元,则最多可购买电脑多少台?
23.已知关于x的方程.
(1)求证:无论m为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根分别为,且分别是一个菱形的两条对角线长,已知菱形的面积为6,求m的值.
24.阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.例如:将式子x2+3x+2分解因式.
分析:这个式子的常数项2=1×2,一次项系数3=1+2.
所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2.
解:x2+3x+2=(x+1)(x+2).请仿照上面的方法,解答下列问题
(1)分解因式:x2+5x-24=________________________;
(2)若x2+px+6可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是____________;
(3)利用上面因式分解方法解方程:x2-4x-21=0.
25.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8,BC=20,AD=18,点Q为BC中点,动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动,设动点P的运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,四边形PBQD是平行四边形,请说明理由?
(2)在AD边上是否存在一点R,使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出t的值:若不存在,请说明理由.
(3)在线段PD上有一点M,且PM=10,当点P从点A向右运动_________秒时,四边形BCMP的周长最小,其最小值为_________.
26.阅读理解:
材料1:对于一个关于x的二次三项式(),除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令(),然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围:
解:令
,
,
即;
材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:
若关于x的一元二次方程()有两个不相等的实数根、(),
则关于x的一元二次不等式()的解集为:或,
则关于x的一元二次不等式()的解集为:;
请根据上述材料,解答下列问题:
(1)若关于x的二次三项式(a为常数)的最小值为-6,则_____.
(2)求出代数式的取值范围.
类比应用:
(3)猜想:若中,,斜边(a为常数,),则_____时,最大,请证明你的猜想.
参考答案:
1.C
【分析】根据一元二次方程的定义,只含有一个未知数,并且最高次项的次数是2次,并且是整式方程,即可判断.
【详解】解: A.分母中有未知数,它不是整式方程,它不是一元二次方程,故此项不符合题意;
B.选项化简,得x-1=0,不含有2次项,它不是一元二次方程,故此项不符合题意;
C.只含有一个未知数,并且最高次项的次数是2次,并且是整式方程,它是一元二次方程,故此选项符合题意;
D.选项当时,不含有2次项,它不是一元二次方程,故此项不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题考查了一元二次方程,对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键.
2.B
【分析】把x=a代入一元二次方程,得a2-2a-3=0,再变形,得a2-2a=3,然后方程两边同乘以2,即可求解.
【详解】解:把x=a代入一元二次方程,得
a2-2a-3=0,
∴a2-2a=3,
∴2a2-4a=6,
故选:B.
【点睛】本题考查一元二次方程的解,代数式求值,熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键.
3.A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出关于的一元一次不等式,解之即可得出实数的取值范围.
【详解】解:∵关于的一元二次方程有实数根,
∴,
解得:.
故选:A.
【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当时,方程有实数根”是解题的关键.
4.B
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(-6)2-4×k×9>0,然后求出两不等式的公共部分即可.
【详解】解:根据题意得k≠0且Δ=(-6)2-4×k×9>0,
解得k<1且k≠0.
故选:B.
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.
5.B
【分析】先把常数项移到方程的右边,再两边都加上一次项系数一半的平方,再配方即可.
【详解】解:
移项得:
两边都加4得:
故选:B.
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程,掌握“配方法的步骤”是解题的关键.
6.B
【分析】①利用完全平方式求解;②利用整式的加减运算和配方法求解;③利用求根公式和完全平方公式求解;④利用完全平方公式求解.
【详解】解:①∵A=x2+6x+n2是完全平方式,
∴n=±3,故结论正确;
②∵B-A
=2x2+4x+2n2+3-(x2+6x+n2)
=x2-2x+n2+3
=(x-1)2+n2+2,
而(x-1)2+n2≥0,
∴B-A≥2,
∴B-A的最小值是2,故结论正确;
③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3,
把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0,
得3n2+10n+3n2+3=0,即6n2+10n+3=0,
解得
当时,
当时,
故结论错误;
④∵(2022-A+A-2019)2
=(2022-2019)2
=(2022-A)2+(A-2019)2+2(2022-A)(A-2019)
=(2022-A)2+(A-2019)2+2×2
=9,
∴(2022-A)2+(A-2019)2=5;故结论错误;
故选B.
【点睛】本题考查了解一元二次方程,配方方法的应用,完全平方公式,正确的计算是解题的关键.
7.D
【分析】利用一元二方程的求根公式求出两根,即可得出结论.
【详解】解:是关于的一元二次方程,
,
由求根公式,得,
∴或,
∵,,
∴,,
∴,
解得,
∴,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系,公式法解一元二次方程,熟记一元二次方程的求根公式是解本题的关键.
8.D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可以得解.
【详解】解:根据一元二次方程根与系数的关系可以得到:,
故选D.
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解题关键.
9.A
【分析】利用参会人员共握手次数=参会人数×(参会人数﹣1)÷2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
【详解】解:依题意得:.
故选:A.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
10.A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可;②提取公因式x后根据恒成立找关系即可;
③两个方程相加后因式分解即可解题;④去括号后因式分解判断即可.
【详解】①当时,若,则
∴或者,故①错误;
②等式化简后为
∵无论x取任何实数,等式都恒成立,
∴,即
∴,故②正确;
③若,,则两个方程相加得:,
∴
∴ ,故③错误;
④整理得:
∴
∵整数解
∴,,,
∴,, ,, ,,,,,
∴ 整数解共9对,故④错误;
综上所述,结论正确的有②;
故选:A.
【点睛】本题综合考查因式分解的应用,熟练的配方是解题的关键,题目还考查了因式分解法解一元二次方程.
11.k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义,即可求解.
【详解】解:∵关于x的方程(k-1)x2-x+6=0是一元二次方程,
∴,
解得:k≠1.
故答案为:k≠1
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义,熟练掌握只含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键.
12.且
【分析】根据一元二次方程的定义可得,根据一元二次方程根的判别式大于等于0即可求解.
【详解】解:∵关于x的一元二次方程(a是常数)有实根,
∴且,
解得且.
故答案为:且.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,一元二次方程根的判别式,掌握以上知识是解题的关键.注意掌握一元二次方程有两个实数根,即可得Δ=b2−4ac≥0.
13.(x-2)2=7
【分析】移项后,两边都加上一次项系数一半的平方即可.
【详解】解:∵x2-4x-3=0,
∴x2-4x=3,
则x2-4x+4=3+4,即(x-2)2=7,
故答案为:(x-2)2=7.
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法,熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键.
14.m≤0
【分析】根据直接开平方法进行求解即可.
【详解】解:∵(x+1)2+m=0,
∴(x+1)2=﹣m,
∵方程(x+1)2+m=0可以用直接开平方法求解,
∴﹣m≥0,
∴m≤0.
故答案为m≤0.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法,熟练掌握直接开平方法是解题的关键.
15.1
【分析】先将已知方程转化为一般式,然后利用根与系数的关系解答.
【详解】解:由方程(x−1)(x+2)=2(x+2),得x2−x−6=0,
∵方程(x−1)(x+2)=2(x+2)的根是x1,x2,
∴x1+x2=1.
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x1+x2=,x1·x2=.
16.
【分析】找到等量关系:每周50万人次连续下降两次至每周32万人次,平均下降率为x,列出方程.
【详解】根据题意列方程:.
故答案为:.
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,列方程和解方程是学生需要掌握的两大技能,本题单纯考的列方程,找到等量关系是解题的关键.
17.或/或
【分析】将和分别代入,可求得,,之间的等量关系,代入一元二次方程即可消去参数,从而解一元二次方程即可.
【详解】解:一元二次方程的解为,,
,解得,
一元二次方程可化为,
,
,
解得,.
一元二次方程的解为或.
故答案为:或.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解一元二次方程,解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得,,之间的等量关系,从而代入求解.
18.3,0
【分析】方法一:根据方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数,a≠0)的两根分别为﹣2,1,代入进行转化,即可得到c的值,再进行代入方程a(x+c﹣2)2+b=0,得到其两根;方法二:将x+c看成一个整体,由方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数,a≠0)的两根分别为﹣2,1,可以得到方程a(x+c﹣2)2+b=0的两根.
【详解】解:方法一:∵方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数,a≠0)的两根分别为﹣2,1,
∴a(﹣2+c)2+b=0或a(1+c)2+b=0,
∴(﹣2+c)2=﹣或(1+c)2=﹣,
∴﹣2+c+1+c=0,
解得,c=0.5,
∴(﹣2+0.5)2=﹣,
∴=,
∵a(x+c﹣2)2+b=0,
∴(x+0.5﹣2)2=,
解得,x1=3,x2=0,
故答案为:3,0.
方法二:∵方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数,a≠0)的两根分别为﹣2,1,
∴方程a(x+c﹣2)2+b=0的两根分别为:﹣2+2=0或1+2=3,
故答案为:3,0.
【点睛】考查含有参数的一元二次方程的解法,学生根据已知条件既可以直接求出参数的值,继而求出另一个含有相同参数的方程的根或者将含参整式看成一个整体,由此得到另一个方程的根.
19.(1)x1=4,x2=0;
(2)x1=5,x2=-1.
【分析】(1)利用直接开平方法解方程;
(2)利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解.
【详解】(1)解:(x-2)2-4=0,
∴(x-2)2=4,
∴x-2=±2,
∴x=2±2,
∴x1=4,x2=0;
(2)解:x2-4x-5=0.
∴(x-5)(x+1)=0,
∴x1=5,x2=-1.
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握因式分解法和直接开平方法是解题的关键.
20.(1)
(2)
【分析】(1)根据题意,利用判别式即可求解.
(2)利用因式分解变形得,可得方程的解,再根据方程有一个根小于0即可求解.
【详解】(1)解:依题意,得:
,
∵方程有两个相等的实数根,
∴,
∴.
(2)解:
解得, ,
∵方程有一个根小于0,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根据根的情况求参数问题,熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.用因式分解法解含在参数的一元二次方程是本题的难点.
21.(1)
(2)18
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0,即可得出关于k的一元一次不等式,解之即可得出k的取值范围;
(2)利用根与系数的关系可得出x1+x2=4,x1•x2=k+2,结合w=x1x22+x12x2+k,由增减性可求w的最大值.
【详解】(1)解:关于的一元二次方程有实数根,
∴,
解得:,
的取值范围为.
(2)解:,是关于的一元二次方程的两个解,
,,
,
时,的最大值为.
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当Δ≥0时,方程有实数根”;(2)利用根与系数的关系结合w=x1x22+x12x2+k,根据增减性可求w的最大值.
22.(1)该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%
(2)2021年最多可购买电脑880台
【分析】(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x,根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
(2)根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额,再根据总价=单价×数量,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,取其中的最大值即可.
【详解】(1)解:设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x,
根据题意得:5000(1+x)2=7200,
解得:x1=0.2=20%,x2=−2.2(舍去).
答:该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%;
(2)解:2021年投入基础教育经费为7200×(1+20%)=8640(万元),
设购买电脑m台,则购买实物投影仪(1500−m)台,
根据题意得:3500m+2000(1500−m)≤86400000×5%,
解得:m≤880,
答:2021年最多可购买电脑880台.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额,列出关于x的一元二次方程;(2)根据总价=单价×数量,列出关于m的一元一次不等式.
23.(1)见解析
(2)3
【分析】(1)根据方程的根的判别式,得出△,即可证出方程总有两个不相等的实数根;
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,列出关于的方程,解方程并检验即可得答案.
【详解】(1)证明:△,
△,
总有两个不相等的实数根;
(2)解:∵方程的两根分别为,
∴,
由题意知:
∴
∴或.
∵
∴
∴
∴.
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是掌握:(1)牢记“当△时,方程有两个不相等的实数根”;(2)利用根与系数的关系得出.
24.(1)(x−3)(x+8)
(2)±5,±7
(3)x1=7,x2=−3
【分析】(1)仿照例题的方法,这个式子的常数项−24=−3×8,一次项系数5=−3+8,然后进行分解即可;
(2)仿照例题的方法,这个式子的常数项6=−3×(−2),6=3×2,6=−1×(−6),6=1×6,然后进行计算求出p的所有可能值即可;
(3)仿照例题的方法,这个式子的常数项−21=−7×3,一次项系数−4=−7+3,然后进行分解计算即可.
【详解】(1)解:x2+5x−24
=x2+(−3+8)x+(−3)×8
=(x−3)(x+8)
故答案为:(x−3)(x+8).
(2)解:∵6=−3×(−2),6=3×2,6=−1×(−6),6=1×6,
∴p=−3+(−2)=−5,p=3+2=5,p=−1+(−6)=−7,p=1+6=7,
∴若x2+px+6可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是:±5,±7.
故答案为:±5,±7.
(3)解:x2−4x−21=0,
(x−7)(x+3)=0,
(x−7)=0或(x+3)=0,
∴x1=7,x2=−3.
【点睛】本题考查了因式分解−十字相乘法,理解并掌握x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)是解题的关键.
25.(1)4
(2)存在,
(3);
【分析】(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法,得到,列出一元一次方程求解即可;
(2)利用菱形的判定,由一组邻边相等的平行四边形是菱形,得到,再利用勾股定理建立方程求解即可;
(3)先确定四边形BCMP的周长等于,再利用轴对称的知识和两点之间线段最短的知识确定的最小值即可得到周长最小值,最后求出AP的长即可得到P点运动时间.
【详解】(1)解:连接BP、DQ,
∵BC=20,点Q为BC中点,
∴,
要使四边形PBQD是平行四边形,
则,
∴,
∴,
此时,且,
则四边形PBQD是平行四边形,
∴当t为4时,四边形PBQD是平行四边形.
(2)存在,;
假设R点在图中所示位置,则连接BP、QR,
要使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形,
则有,
在Rt△ABP中,,
∴,(舍去),
此时,符合题意;
∴在AD边上存在一点R,使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形,且.
(3);
如图,连接BP、QM,
因为,
∴且,
∴四边形PBQM是平行四边形,
∴,
∵四边形BCMP的周长
,
∴当的值最小时,四边形BCMP的周长最小,
作Q点关于AD的对称点G,连接CG,
则,四边形ABQE是矩形,
∴AE=BQ=10,AB=EQ=8,
当C、M、G三点共线时(即M点位于图中的F点处),的值最小等于CG,
∴Rt△GQC中,,
此时,四边形BCMP的周长最小值为,
∵E点为QG中点,EF∥QC,
∴,
∴AF=15,
∴AP=15-10=5,
∴.
∴当点P从点A向右运动秒时,四边形BCMP的周长最小,其最小值为.
故答案为:;.
【点睛】本题考查了动点问题,涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理解三角形、“将军饮马”问题、一元一次方程的应用、解一元二次方程等,解题关键是能正确建立方程,以及能确定最短路径.
26.(1)或;(2)或;(3)当时,最大.
【分析】(1)根据材料1:设,化为关于x的一元二次方程用根的判别式,得出y的取值范围,在列出关于a的方程解出即可;
(2)设,化为,再用,然后根据材料2结论,即可求出;
(3)设,,根据一元二次方程,利用根的判别式解答问题即可.
【详解】解:(1)设,
∴,
∴,即 ,
根据题意可知,
∴,解得:或;
(2)设,可化为,
即,
∴ ,即,
令,解得 ,,
∴或;
(3)猜想:当时,最大.
理由:设,,则,
在中,斜边(a为常数,),
∴ ,
∴,
∴,
即,
∴,即 ,
∵,,∴,
当时,有,
∴,
即当时,最大.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式,读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系,运用类比的思想是解题的关键.
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