数学九年级上册1.1 一元二次方程优秀课时训练

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第1章 一元二次方程 单元综合检测
一、单选题
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【解析】解：A、当时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；
C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（　　）
A． B．1 C．1或 D．或0
【答案】A
【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入解析式，求出的值即可．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴，，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．
3．用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化二次项系数为1，把常数项3右移，然后等式两边同时加上一次项系数−的一半的平方，再整理即可．
【解析】解：由原方程得，−x=-3，
配方得：−x+=-3+，即．
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号右边；（2）把二次项系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，
4．解方程）最适当的方法是（　　）
A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
【答案】D
【分析】方程的两边都有因式，分析可知分解因式法最为合适．
【解析】解：
可化为：

故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程时选择适当的方法是解题的关键．
5．我县近几年的初中毕业生出现持续增长趋势，2020年的初三毕业生大约15000人，2022年的初三毕业生大约16500人.若设这两年的平均增长率为，则应满足的方程是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）n，根据已知可以得出方程．
【解析】根据题意得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
6．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】由题意可得且，然后解不等式即可．
【解析】∵有意义，
∴，
∵关于的方程有两个实数根，
∴且，
∴且，
综上所述，且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零以及二次根式有意义这些隐含条件．
7．有人患了流感后，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【解析】设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程,
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8．设一元二次方程的两根为，，则的值为（    ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．3
【答案】D
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得，，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：根据根与系数的关系得，，



，
故选：D．
【点睛】本题考查利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，若，是一元二次方程的两根，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
9．若，则（　　）
A． B．4 C．或4 D．或3
【答案】B
【分析】运用换元法解方程即可．
【解析】解：设，则原方程转化为，
整理，得，
解得（舍去）．
则．
故选：B．
【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，注意的非负性是解题的关键．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（    ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．
【解析】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②正确；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③错误；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．

二、填空题
11．方程的根是_____．
【答案】

【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程．
【解析】解：由原方程，得．
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12．若是关于的一元二次方程，则的值为___________.
【答案】3
【分析】根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值．
【解析】解：由题意可知，且，
解得：，且，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0．
13．三角形两边的长为3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是______．
【答案】9
【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系看是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可．
【解析】解：，
∴，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系定理，能组成三角形，不能组成三角形，
当第三边的长是2时，周长，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查对三角形的三边关系定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出第三边的长是解此题的关键．
14．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步，”意思是：一个矩形的面积为平方步，宽比长少步，问宽和长各多少步？如果设矩形的长为步，由题意，可列方程为______．
【答案】
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的宽为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵矩形的长为步，且宽比长少12步，
∴矩形的宽为步．
依题意，得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是___．
【答案】且
【分析】根据关于x的一元二次方程有两个实数根得到且，求解即可得到实数k的取值范围．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，正确计算是解题的关键．
16．设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将所求式子变形为，再整体代入求解即可．
【解析】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握方程的两根之和与两根之积与方程各系数之间的关系是解题的关键．
17．若（为实数），则的最小值为__________．
【答案】
【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．
【解析】解：
=
=
=
∵为实数，
∴
∴的最小值为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值．
18．折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积=_____．

【答案】
【分析】设，，根据折叠的性质表示出各边，利用勾股定理列出方程，解之即可得到AE，利用三角形面积公式计算即可．
【解析】解：由折叠可得图象，

∵ABCD是正方形，EC，FC平分，
∴．
设，，
由折叠性质可得：，
∵，，
∴．
由折叠性质可得，，在同一水平上，
∴，
∴，且，，
∴，
在中，，
，，，
∴，
解出（舍去），，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，一元二次方程，解题的关键是熟练运用折叠的性质得到相应边的关系．

三、解答题
19．将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)；
(2)．
【答案】(1)二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2
(2)二次项系数为，一次项系数为1，常数项为

【分析】（1）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可；
（2）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．
【解析】（1）解：∵化为一般形式为，
∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；
（2）∵化为一般形式为 ，
∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
20．按要求解方程：
(1)直接开平方法：；
(2)配方法：；
(3)公式法：；
(4)因式分解法：；
【答案】(1)

(2)

(3)

(4)


【分析】(1)先把方程两边开方得到，然后解两个一次方程即可；
(2)利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
(3)先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
(4)先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【解析】（1），
，
即或，
所以；
（2），
，
，
，
，
解得；
（3），
，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4），
，
，
或，
∴．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解此题的关键．
21．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】使用直接开平方法、因式分解法求出方程的解．
【解析】（1）解：
①，②，
解得：；
（2）解：

解得：；
（3）解：整理得：
，
，
解得：；
（4）∵
∴原方程是一元二次方程，
，

，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择是解题的关键．
22．已知关于的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)正整数为1，2

【分析】（1）求出即可证出结论；
（2）利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定a的值.
【解析】（1）解：证明：
∵


∴方程有两个不相等的实数根；
（2），
，．
∵ 方程的根均为整数，
∴为整数，
∴或，
∴正整数为1，2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式：当时，方程由两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
23．已知，是方程的两根，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）根据题意可得：，，然后将原式化为，再整体代入计算即可；
（2）根据，整体代入计算后开平方根求得的值，将原式化为，再整体代入计算即可；
（3）将原式化为，再整体代入计算即可；
（4）由（2）知的值，再开算术平方根即可．
【解析】（1）解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴，
∴的值为；
（2）∵
∴，
∴，
∴，
∴的值为；
（3）∵


，
∴的值为；
（4）由（2）知：
，
∴的值为．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
24．为落实“书香中国”的发展战略，某图书馆2022年藏书量为10万册，计划到2024年藏书量达到14.4万册．求图书馆藏书量的年平均增长率．
【答案】图书馆藏书量的年平均增长率为
【分析】设图书馆藏书量的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【解析】解：设图书馆藏书量的年平均增长率为，根据题意得，

解得：（舍去）
答：图书馆藏书量的年平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
25．一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
【答案】这个两位数为36或63.
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和=45，把相关数值代入求得整数解即可．
【解析】设个位数字为，则十位数字为.

得，
∴这个两位数为36或63.
【点睛】考查一元二次方程的应用，用到的知识点为：两位数=10×十位数字+个位数字，解题的关键是能够表示这个两位数．
26．2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

【答案】5
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．
【解析】解：设这个最小数为．
根据题意，得．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．
27．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】50元
【分析】设该品牌头盔的实际售价为元，则此时销量为个，根据利润单个利润数量列出方程求解即可．
【解析】解：设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
∴，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键．
28．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：
①，
∵，
∴．
因此，代数式有最小值﹣2；
②，
∵，
∴．
因此，代数式有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式的最小值为______；
(2)求代数式的最大值．
【答案】(1)﹣3
(2)当a＝﹣3，b＝2时，代数式的最大值是3

【分析】（1）通过配方可求出完全平方形式，根据平方式的非负性可得结果；
（2）把配方成完全平方的形式可得结果．
【解析】（1）解：﹣4x+1＝＝，
∵，
∴，
∴当x＝2时，这个代数式﹣4x+1的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3；
（2）
＝﹣﹣6a﹣9﹣+4b﹣4+3
＝﹣﹣+3，
∵≥0，≥0，
∴﹣，﹣，
∴＝﹣﹣+3，
∴当a＝﹣3，b＝2时，代数式的最大值是3．
【点睛】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．
29．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．

(1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米；
(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
【答案】(1)1米；
(2)①；②．

【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可；
（2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可．
【解析】（1）解：设小道进出口的宽度为米，
依题意得．
整理，得．
解得，，．
（不合题意，舍去），
；
答：小道进出口的宽度应为1米；
（2）解：①剩余的种植花草区域的面积为：


②由，得：
，
解得：（舍去）．
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根．
30．知识再现：已知，如图1，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，且，延长CB至G使，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明．

(1)知识探究：如图1中，作，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并进行证明．
(2)知识运用：如图2，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，，，求DF的长．
(3)知识拓展：已知，于点D，且，，求CD的长．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)8
(3)
【分析】（1）证明，，利用面积相等即可证明；
（2）作交EF与点M，连接EF，证明，，设，则，，利用计算即可；
（3）方法1、作交AB于点E，设，则，进一步求出，利用，解得．方法2、把图3放到图1中进行计算，证明，，
设，利用，求出．
【解析】（1）解：，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
在和中，

∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
在和中，

∴，
∴，
∴，即，
∴，
（2）解：作交EF与点M，连接EF，如图，

设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∵，ABCD为正方形，E为BC中点，
∴，  
在和中，

∴，
∴，
设，则，，
∵，即，解之得：，
∴，
（3）方法1、解：由题意可知：
作交AB于点E，如图，

设，则，
∵，，
∴，
∵，解之得（舍去），，
∴
方法2、解：对比图1和图3可以发现当，，，，
由（1）可知：，
在和中，

∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
设，
则，，
∵，即，解之得
∴
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点．