2020-2021学年4.2 等差数列复习练习题

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4.2.2等差数列前n项和 (时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，S，是数列的前n项和，则S2020=（    ）A．2019 B．4040 C．2020 D．4038【答案】B【分析】由等差数列的性质可得，则可得答案.【详解】等差数列中, 故选：B2.设等差数列的前项和为，若，则必定有（    ）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】A【分析】根据已知条件，结合等差数列前项和公式，即可容易判断.【详解】依题意，有，则故选：.3.已知数列的前项和，，则（    ）A．20 B．17 C．18 D．19【答案】C【分析】根据题中条件，由，即可得出结果．【详解】因为数列的前项和，所以．故选：C．4.已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（    ）A．4或5 B．5或6 C．4 D．5【答案】A【分析】由，可得，从而得，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列的公差为（），因为，所以，化简得，所以，对称轴为，因为，，所以当或时，取最大值，故选：A5.设是等差数列，从中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分取连续3项，隔一项，…，隔4项时，列举求解.【详解】当取连续3项时，有共8个，其倒序仍然是等差数列，因此共有16个，当取隔一项时，有共6个，其倒序仍然是等差数列，因此共有12个，…当取隔4项时，有共2个，其倒序仍然是等差数列，因此共有4个，综上：这样不同的等差数列最多有个.故选：A6.如果有穷数列满足，那么称该数列为“对称数列”．设是项数为的“对称数列”，其中是首项为50，公差为-4的等差数列，记的各项之和为，则的最大值为（    ）A．622 B．624 C．626 D．628【答案】C【分析】由等差数列的求和公式求得，根据题设数列的新定义，得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，是首项为50，公差为-4的等差数列，可得，所以，当时，取到最大值，且最大值为626．故选:C．7.已知数列的前n项和为，，，则（    ）A．414 B．406 C．403 D．393【答案】B【分析】利用两式相减得，再利用两式相减可得，由此可得，进一步可得答案.【详解】由，两式相减得，即.再由，两式相减得，由，得，故为以14为首项，8为公差的等差数列，故，故.故选：B 8、有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2021个数字为（    ）A．5979 B．5980 C．5981 D．以上都不对【答案】C【分析】首先分析出第次报数的个数，得到第次报完数后总共报数的个数，计算出是第次报数中会报到第2020个数字，再计算当第次报数时，3人总的报数次数，再推算出此时报数的最后一个数，再推出报出的第2021个数字.【详解】由题可得第次报数的个数为，则第次报完数后总共报数的个数为，再代入正整数，使的最小值为37，得，而第37次报时，3人总共报数为次，当第次报完数3人总的报数个数为，即报出的第2035个数字为，故报出的第2021个数字为.故选：C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（    ）A． B．数列是等比数列C． D．【答案】BD【分析】利用等差数列前项和公式列方程，由此求得，进而求得.由此对选项逐一分析从而确定正确选项.【详解】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，首项，则，解得，∴.∵，∴，∴数列是等比数列，B选项正确；∵，∴，A选项错误；，∴，C选项错误；，，∴，D选项正确.故选：BD. 10.设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（    ）A． B． C． D．时，n的最小值为13【答案】ACD【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案.【详解】由题意，，而，可以判断是递减数列，又，所以，C正确，而，D正确；又，所以，B错误；而，A正确.故选：ACD. 11.已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】首先利用等差数列前项和公式，求出与之间的关系，进而可求出，然后根据已知求解即可.【详解】由题意，可得，∵和均为等差数列，∴，同理，，∴，若为整数，则只需，，，.故选：AC. 12.已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（　　）A．数列{an}是公差为2的等差数列B．满足Sn＜100的n的最大值是9C．Sn除以4的余数只能为0或1D．2Sn＝nan【答案】ABC【分析】令，由题干条件可得，可得，可求得，，依次分析即可判断【详解】由题意，nan+1﹣（n+1）an＝1，故令，则则即故，数列{an}是公差为2的等差数列，A正确；，满足Sn＜100的n的最大值是9，B正确；当时，除以4余1；当时，除以4余0；当时，除以4余1；当时，除以4余0，C正确；，D错误.故选：ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为        【答案】11【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，所以.对于，，取数列各项为(，,则，所以n的最大值为11． 14.已知正项数列满足，且，其中为数列的前项和，若实数使得不等式恒成立，则实数的最大值是________.【答案】9【分析】由题意可得数列为等差数列，由可得的表达式，由分离参数可得，设利用其单调性可得的最大值.【详解】解：依题意，数列为等差数列，因为，即，即，因为，即，因为在时单调递增，其最小值为9，所以，故实数的最大值为9. 15.．数列满足，则的80项和为________.【答案】【详解】试题分析：因为当为奇数时，所以，因此，此数列每四项构成首项为，公差为的等差数列，的项和为，故答案为.16.首项为正数的递减等差数列的前项和为，且对任意项序数，总存在正整数，满足，则的最小值为______．【答案】【分析】首先利用前项和公式，将条件变形为，并由条件可知，并且时，由，得，推理得到，计算求得，再代入，利用二次函数求最值.【详解】由题意知，，，则，当时，∴，当时，，，，又，，则，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴或时取最小值为．故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在①；  ②；③. 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.  问题：已知数列的前项和为，，      .（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）12【分析】（1）若选择条件①，利用得数列的递推关系，证得数列是等差数列，求出后可得通项公式；若选择条件②，直接利用得证数列是等差数列，易得通项公式；若选择条件③，已知式变形栣出新数列是等差数列，求出后再由求得通项公式；（2）由等差数列前项和公式求得前项和，利用二次函数性质得最大值．（1）若选择条件①：因为所以，两式相减得，，，即，又，即，所以，，又，，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以 若选择条件②：由，得，即，所以数列是等差数列，公差为，又因为，   所以数列的通项公式为   若选择条件③：由，变形为，在原式中令得，又，所以，所以，所以数列是等差数列，首项为6，公差为-2.所以，所以， 所以当时，，符合上式，所以数列的通项公式为（2）因为，所以当或4时，取最大值为12 ．  18.（12分）已知等差数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）58【分析】（1）由等差数列的性质和基本量运算求得数列的首项和公差，然后可得通项公式；（2）确定数列项的正负，然后分组求和．（1）因为是等差数列，所以，，又，所以，所以，，从而，，（2）由（1）时，，时，，所以. 19.（12分）已知是正项数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，得，当时，，进而得是首项为1，公差为1的等差数列，故；（2）结合（1）得，进而将问题转化为恒成立，再根据数列的函数属性求最值即可得答案.【详解】解：（1）当时，由题得因为是正项数列，所以当时，，因为，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以.（2）因为，所以，根据已知条件得，恒成立，即恒成立设，于是有.因为函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以的最小值为.20.（12分）已知数列中，，且点在直线上.（1）函数 且，求函数的最小值；（2）设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析.【分析】（1）首先求数列的通项公式，代入后求，利用放缩法证明数列的单调性，再求函数的最小值；（2）由条件可知， ，即，利用累加求和变形求得.【详解】（1）点在直线上，即，且数列是以1为首项，1为公差的等差数列，.，，是单调递增的，故的最小值是.（2），，即，，，，，，.21.（12分）已知数列的前和记其中表示不超过的最大整数，如（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前项和（3）求数列的项和.【答案】（1）；（2）=；（3）.【分析】（1）由，可知当时，，再利用，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）得，=，再利用裂项相消法即可求出；（3）由（1）知，结合题意可求出，，，，即可求出数列的项和.（1）解：，①当时，，②由①-②得，当时，，满足上式，数列的通项公式为：.（2）解：由（1）知，=，所以数列{}前项和为：==.（3）解：由（1）知，，由于在上单调递增，且，，，，数列的前500项和为：. 22.（12分）已知数列的前项和为，，且（），数列满足（），，其前11项和为88．（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求的值．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由条件得，进而得，再由可得解；（2）由根据分组求和和列项求和得，再由作差法判断单调性，求得，进而可得解.【详解】（1）由，得．所以数列是以首项为1，公差为的等差数列．因为，即．于是．因为，所以．又因为，所以数列是等差数列．由的前11项和为88得，，得，所以公差．所以．（2）由（1）知，．所以．设，因为，所以单调递增，故．因为，所以．因为对任意正整数，，所以，，即的最大值为，的最小值为3，所以．