2021学年4.2 等差数列课后作业题

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4.2.2
等差数列前n项和



【知识目录】




1、 求和公式基础
2、 Sn与an的关系
3、 前n项和性质与技巧
4、 等差数列与裂项求和
5、 前n项和中阻止与范围
6、 等差数列奇偶项和与奇偶各自等差类型
7、 等差求和应用题。
8、 高中数学联赛


典例分类精讲




Ø 一、求和公式基础
等差数列前n项和公式由三个，注意适用范围。
1.俗称梯形面积公式:，上底加下底，乘高除以二
2.计算型公式：
3.等差中项型：

【典型例题】
【例1】已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
利用等差数列性质即可获解
【详解】
所以又
所以所以.所以公差故选: D
【例2】已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】
由题意可得，则，而，再将代入化简可得答案
【详解】
设公差不为0的等差数列满足，则，整理可得．
则．故选：B．
【例3】（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可知数列1，4，7，…，，为等差数列，然后利用等差数列的求和公式求解即可
【详解】
易知数列1，4，7，…，，为等差数列，且首项为1，公差为3，项数为，
所以原式，
故选：C．
【例4】已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则n＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】
由Sn－Sn－3＝54(n>3)，结合等差数列的性质可得an－1＝18(n≥2)，再由Sn＝100结合等差数列求和公式可得＝100，从而可求出的值
【详解】
∵等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，∴an＋an－1＋an－2＝54(n>3)，又{an}为等差数列，
∴3an－1＝54(n≥2)，∴an－1＝18(n≥2)，又a2＝2，Sn＝100，∴Sn＝＝＝100.
∴n＝10，故选：D．
【例5】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝60，则a5＝（ ）
A．16 B．20
C．24 D．26
【答案】A
【分析】
设等差数列{an}的公差为d，结合等差数列通项公式和求和公式，代入所给条件，解方程即可得解.
【详解】
设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a2＋a3＝a4＋a5，∴3a1＋3d＝2a1＋7d，
∴a1＝4d.又∵S5＝5a1＋10d＝30d＝60，∴d＝2，∴a1＝8.∴a5＝a1＋4d＝16.故选：A
【例6】在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【分析】
利用等差数列的通项公式和前项和公式对变形可解得结果.
【详解】
由得，
将代入得，
因为，所以，得.
故选：B
【例7】一个边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于，公差等于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由等差数列的通项公式与求和公式求解即可
【详解】
由题意可知：，，，则，即，
解得或（舍），所以，故选：A

【对点实战】
1.已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】
由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程组求公差即可.
【详解】
由题设，，解得.故选：A
2.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】
由，可得，然后对化简可得结果
【详解】
因为等差数列中，，
所以，
则.
故选：B.
3.等差数列中，，前项和为，若，则（ ）
A．1010 B．2020 C．1011 D．2021
【答案】B
【分析】.
根据已知条件求得，由此求得.
【详解】
依题意，即，即，
所以.
故选：B
4.已知等差数列的前项和为，，若，且，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．16
【答案】B
【分析】
由等差数列性质求出，由等差数列前项可求得．
【详解】
因为是等差数列，
所以，解得：，
所以，解得：．故选：B
5.已知数列为等差数列，且，，则数列的前5项和是（ ）
A．15 B．20 C．25 D．35
【答案】C
【分析】
利用等差数列求和公式计算即可.公式为
【详解】
数列的前5项和为
故选：C
6．已知一个等差数列的前项和是310，首项为4，公差为6，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】
利用等差数列的前n项和公式得到关于n的方程，求解即得.
【详解】
，则．
故选：C.
7.三角形数构成数列则这个数列的第项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意得到 ，结合，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
可得 ，
所以.
故选：B.



Ø 二、Sn与an的关系
前n项和与通项公式关系：。
1. 要检验第一项是否成立。
2. 一个结论：若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然。其中a=0.5d。
3. 利用结论，可判定那些形式的前n项和时等差数列

【典型例题】
【例1】正项等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等差数列等差中项的性质和已知条件求出，再根据等差数列的前项和公式并将等差中项代入求出.
【详解】
由是等差数列，得，又，
所以，解得或，又因为的项为正项，所以.
所以.故选：D.
【例2】设是数列的前项和，若，则（ ）．
A．4043 B．4042 C．4041 D．2021
【答案】A
【分析】
法一：由可得；
法二：由数列公式，先求通项，再代入求出.
【详解】
法一：；
法二：，当时，，
当时，.
当时，也适合上式，，则.
故选：A.
【例3】已知数列{an}的通项公式为an=2n2-5n+2，则数列{an}的最小值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】
把an=2n2-5n+2等号右边配方，利用函数配方求最值得方法求得结果.
【详解】
解:∵an=2n2-5n+2=2，
∴当n=1时，an最小，最小为a1=-1.
故选：A

【例4】已知数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．100 B．200 C．400 D．800
【答案】B
【分析】
根据题意得，依次计算，，……，进而利用等差数列求和公式计算即可.
【详解】
解：因为，
所以，，，，，
，，，，，
易知成等差数列，首项为，公差为4，共10项.
所以.故选：B
【例5】已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将，相减得出，再由的关系得出通项公式.
【详解】
当时，
当时，①②
由①②得，即
（经验证时也成立）故故选：D
【对点实战】
1.已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．7 B．13 C．28 D．36
【答案】B
【分析】
根据之间的关系，可得，简单计算可得结果.
【详解】
由题可知：
则
故选：B.
2.各项均为正数的数列且则其前项和为=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由递推公式可得，再由各项为正，即可得到为等差数列，从而求出前项和；
【详解】
解：因为，所以
因为的各项均为正数，
所以，或，
当时，则，因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以；
当，因为，所以，解得，故舍去；
故选：A
3.已知数列是公差不为0的等差数列，且，则数列的前2021项和为（ ）
A． B． C．2021 D．4042
【答案】D
【分析】
由，变形为，根据数列是公差不为0的等差数列得到求解.
【详解】
数列是公差不为0的等差数列，且，∴，
∴，∴数列的前2021项和为：
．故选：D．

Ø 三、前n项和性质与技巧
1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为d/2.
2.Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
3.设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则＝.

【典型例题】
【例1】设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20 B．10
C．40 D．30
【答案】D
【分析】
根据等差数列的性质可知，，构成等差数列，从而得到，进一步求出的值．
【详解】
解：由是等差数列，得，，构成等差数列，所以，
所以，解得．故选：D．
【例2】设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．
【答案】A
【分析】
利用等差数列的求和公式计算即可.
【详解】
＝＝＝1.故选：A.
【例3】．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
运用等差数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】
设等差数列{an}的公差为d，∵，显然，∴，
【例4】已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12 B．14
C．16 D．18
【答案】B
【分析】
根据条件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差数列求和公式即可得解.
【详解】
由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.又因为，
所以n＝14.故选：B
【例5】在和之间插入10个数，使之成为等差数列，则插入的10个数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
已知首项与尾项，根据等差数列前项和公式即可算出.
【详解】
解：由题可知,该数列一共有项，且,
，共6组,
减去这一组,
故插入的数之和.
故选D
【例6】记等差数列与的前n项和分别为与，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列前n项和与通项之间的关系，将数列的项之比化为前n项和之比，代入等式计算即可得出答案.
【详解】
根据等差数列的性质，
，选项C正确.
故选：C.
【例7】已知数列是等差数列，公差，前项和为，则的值（ ）
A．等于4 B．不确定，与有关 C．等于 D．等于2
【答案】D
【分析】
根据等差数列的求和公式计算即可求解.
【详解】
由数列是等差数列，得；，
所以
．故选：D
【例8】等差数列､前项和分别为与，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】
由已知结合等差数列和的性质即可求解．
【详解】
因数列､都为等差数列，且，
故设，，
因此，，
由等差中项得，.故选：A.

【对点实战】
1.已知等差数列的前n项为，，，则的值为（ ）
A．2 B．0 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
利用等差数列前n项和的性质：，，成等差数列，列式计算即可.
【详解】
因为，，成等差数列，故有，
解得.故选：A.
2.设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．0.5
【答案】C
【分析】
利用等差数列的求和公式结合等差数列的性质化简求解即可
【详解】
解：因为在等差数列中，，
所以，故选：C
3.已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】
根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，由题中条件，即可得出结果.
【详解】
因为数列为等差数列，
由，可得，，则.
故选：B.
4.在公差不为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，则正整数k为（ ）
A．2 017 B．2 018
C．2 019 D．2 020
【答案】C
【分析】
结合二次函数的对称性质可得＝，解方程即可求出结果.
【详解】
因为公差不为零的等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性质及S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，可得＝，解得k＝2 019.故选：C.
5.等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设出的值，利用等差数列的通项公式求得，进而利用等差下标性质可知代入前15项的和的公式中求得，进而推断出为常数．
【详解】
解：设（常数），，即．．故选：．
6.记等差数列与的前项和分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得，，即可求解.
【详解】
因为，，可得，
所以，故选：C.


Ø 四、等差数列与裂项求和
等差数列及其前n项和是常规型裂项相消基础

1、裂项相消的基本原理：，
2.常见的几个裂项相消：(1)；（2） ； （3）；（4）
3.公式Sn＝an2＋bn取倒数时候，也复合上边模型。
4.

【典型例题】
【例1】已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出的通项，再利用裂项相消法可求前100项和.
【详解】
因为为等差数列且，，
故，故，
故数列的前100项和为，故选：A.

【例2】等差数列中，，它的前项和 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出，再利用裂项相消法可求.
【详解】
∵等差数列中，，它的前项和，
， 解得，
， ，
．
故选：A．
【例3】已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据，求出，然后利用裂项相消求和法即可求解.
【详解】
解：因为数列的前项和，，
两式作差得到，又当时，，符合上式，
所以，，
所以，
所以.
故选：D.
【例4】已知数列求该数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列的前项公式，结合裂项相消法进行求解即可.
【详解】
因为，
所以该数列的前项和为：
，
故选：C

【对点实战】
1.在数列中，，且，则数列的前10项和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用累加法求出数列的通项公式，进而结合裂项相消法即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
则，
所以，
所以数列的前10项和为，
故选：C.
2.已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据，，求出数列的通项公式，然后利用裂项相消求和法即可求数列的前项和.
【详解】
解：，，又，，，
，数列的前项的和
，故选：C．
3.已知函数的图象过点，且，．记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求得，再由，利用裂项相消法求解.
【详解】
由，可得，解得，则，∴，
∴，，.
故选：D.


Ø 五、前n项和中最值与范围
1.在等差数列{an}中
当a1>0，d0时，Sn有小值；当d0，S130，a70，根据公差d0，S130，a70，a6>|a7|，且公差dS7>S5，有下列四个命题：①d0；③S12S7，∴a7S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d0，②正确.
S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确.{Sn}中最大项为S6，④不正确.
故正确的是①②.故选：B

【例7】设为等差数列的前项和，.若，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
【答案】D
【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，从而由可得和的符号，即可判断的最小值.
【详解】
由得：，整理可得：，
等差数列为递增数列，又，，，
当且时，；当且时，；
有最小值，最小值为.
故选：D.
【例8】设是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前项和最大时，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】
设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到，结合，求得，进而求得答案.
【详解】
设等差数列的公差为，其中 ，
由的和是15，可得，所以，即，
又由前三项的积是105，可得，所以，
联立方程组，解答或，
因为，所以，所以，所以，
由，解得，
即当时，；当时，，
所以当时，数列的前项和最大.
故选：A.

【对点实战】
1.等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数，从而可求得结果
【详解】
∵等差数列中，，
∴，即．又，
∴的前项和的最小值为．故选：B
2.等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用等差数列的前项和公式得出，利用等差数列的通项公式可得，进而求出其通项公式，判断出，即可得出取最大值时的值.
【详解】
由题可知，则，又，则，
则因此，故取最大值时的n值为7故选：A.
3.已知数列中，前项和，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．- 112
【答案】C
【分析】
由，而，从而可求出的最小值
【详解】
解：，
因为，二次项系数为正数，
所以或时，取最小值为，
故选：C
4.已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（ ）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】A
【分析】
利用等差数列的定义及通项公式，判断数列的单调性，进而判断数列前项和的最值.
【详解】
由数列为等差数列，且，得，故数列为递增数列，且，
所以有最小值，无最大值，故选：A.
5.已知为等差数列，为公差，为前n项和，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．和均为的最大值 D．
【答案】C
【分析】
运用等差数列前n项和的性质、等差数列下标的性质进行判断即可.
【详解】
由，
由，故选项B说法正确；
因为，，所以，因此选项A说法正确；
因为，所以等差数列是单调递增数列，因此没有最大值，故选项C说法错误；
由，
因为，所以，因此选项D说法正确.
故选：C
6.已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则k=
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】
先利用公式an求出an，再由第k项满足5＜ak＜8，求出k．
【详解】
解：an ∵n＝1时适合an＝2n﹣10，∴an＝2n﹣10．
∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，∴k＜9，又∵k∈N+，∴k＝8，故选B．
7.设数列为等差数列，其前项和为，已知和是方程的两个根.若对任意都有成立，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】
由韦达定理可求得，，结合对任意都有成立，即是前项和的最大值，则，从而可得数列的通项，即可得出答案.
【详解】
解：∵和是方程的两个根，∴，.
设数列的公差为，
∵对任意都有成立，即是前项和的最大值，∴，
∴，，，，
当时，，当时，，若对任意都有成立，则.
故选：B.
8.设数列的前项和为，若时，，且，则满足()的正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由可得数列是等差数列，由可得，，再结合等差数列的求和公式可求得结果
【详解】
∵时，，
∴数列是等差数列，
又∵，
∴，
则，，
∴，，
∴满足的正整数的值为，
故选：D.


Ø 六、等差数列的奇偶项和与奇偶各自成等差的数列
等差数列奇数项和与偶数项和有以下关系

1..
2.
3.

【典型例题】
【例1】已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列前项和公式列方程求得与公差，即可求通项公式.
【详解】
设公差为，依题意得
解得 所以 故选：C
【例2】记为数列的前项和，若，，且，则的值为（ ）
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
【答案】B
【分析】
讨论为奇数或偶数时，对应的数列通项，根据奇偶数项分组求和，即可求的值.
【详解】
当为奇数时，，数列是首项为1，公差为2的等差数列；
当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列.
则.
故选：B.
【例3】已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别写出奇偶项的和，做差可解出.
【详解】
，，，.
故选：D．

【例4】一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【分析】
利用等差数列前项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为的形式，然后两式相减，可得到的值.
【详解】
中间项为.因为，，所以.故选C.
【例5】等差数列共有2n+1项，其中，，则n的值为
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【分析】
根据等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质可知，奇数项的和为，同理偶数项的和为，两式相减得.再计算前项的和，即，由此解得的值.
【详解】
由，可得，由，可得，，
又，.故选A.

【对点实战】
1.含项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】
设该等差数列为，其首项为，前项和为，则，，
，．故选：B
2.数列的前n项和为，则（ ）
A．1010 B．－1010 C．2020 D．－2020
【答案】A
【分析】
根据题意，结合并项求和，即可求解.
【详解】
由题意，数列，即，
则
.故选：A.
3.在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】B
【分析】
根据题意奇数项有n+1项，偶数项有n项，于是奇数项和为，偶数项和为，进而发现与，与的等差中项都是，进一步用等差中项替换即可解得.
【详解】
分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为
∴，∴，∴n＝10，
故选:B.

Ø 七、数列求和应用题

【典型例题】
【例1】一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（ ）．


A．10层 B．11层 C．12层 D．13层
【答案】C
【分析】
设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值
【详解】
根据题意，设该数列为，塔群共有n层，
即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，
则．
该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，
则有，
又，则有，
即，解得或（舍去），则．
故选：C．
【例2】《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”.则第4人所得钱数为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱
【答案】C
【分析】
将问题转化为等差数列，结合等差数列的基本量计算来求得正确选项.
【详解】
设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，
则有，，故，
解得，则.故选：C
【例3】九章算术中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则该女子前六日共织（ ）尺布.
A．18 B．21
C．23 D．25
【答案】B
【分析】
根据题意，该女子每日织布的量构成一个首项为公差为d的等差数列{an}，由 可得和d，求出即可．
【详解】
根据题意，该女子每日织布的量构成一个首项为公差为d的等差数列{an}，
由得 ，解得 ，所以．故选：B．

【对点实战】
1.某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】
根据等差数列通项公式，列出方程组，求出的值，进而求出令根据题意令，即可求解.
【详解】
设第n实验室的建设费用为万元，其中，则为等差数列，设公差为d，
则由题意可得，解得，则.
令，即，解得，又，所以，，
所以最多可以建设12个实验室.故选：C.
2.《算法统宗》是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，数列是以为公差的等差数列，然后结合等差数列的求和公式，求得的值，进而求得的值，得到答案.
【详解】
由题意，数列是以为公差的等差数列，
因为，解得，
所以.
故选：C.
3.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数做来言”.题意是把斤绵分给个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分斤绵，则年龄最大的儿子分到的绵是（ ）
A．斤 B．斤 C．斤 D．斤
【答案】A
【分析】
首先根据题意设个儿子按年龄从大到小依次分绵斤，斤，斤，…，斤，从而得到数列为公差为的等差数列，再根据求解即可.
【详解】
设个儿子按年龄从大到小依次分绵斤，斤，斤，…，斤，
则数列为公差为的等差数列.
因为绵的总数为斤，
所以，解得.
故选：A

Ø 八、高中联赛、竞赛与自主招生题选

【例1】等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50 B．的最小值为50
C．的最大值为51 D．的最小值为51
【答案】A
【分析】
首先数列中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设，由此判断出数列为偶数项，利用配凑法和关系式的变换求出的最大值.
【详解】
为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.
【例2】已知等差数列{an}的公差d≠0，且，则{an}的前15项之和S15等于（ ）
A．15 B．16 C．30 D．32
2019年全国高中数学联赛贵州省预赛
【答案】A
【详解】
因为等差数列{an}的公差d≠0，由，
所以，进而，因此.
所以有.
故选：A.