高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列复习练习题

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4.2.1等差数列 (时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列是等差数列，若，，则公差（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用等差数列的下标和性质即可求解.【详解】∵，∴．∵，∴，∴公差．故选：D2.若a1－a4－a8－a12＋a15＝，则sin(a2＋a14)的值（    ）A．0 B．1 C．－1 D．不存在【答案】A【分析】根据等差数列的性质求得，再结合等差数列的性质和三角函数求值.【详解】a1＋a15＝2a8，a4＋a8＋a12＝3a8，∴－a8＝，即a8＝－，∴sin(a2＋a14)＝sin(2a8)＝sin(－π)＝0.故选：A 3.已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用递推公式再推出一个递推公式，两个递推公式相减，结合函数单调性的性质进行求解即可.【详解】当时，，因此有，得：，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由可得：，因为数列单调递增，所以有，即，解得：，故选：C4.已知等差数列满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列的性质可得，进而可得到答案.【详解】根据等差数列的性质，得，因为，所以，所以，故选：C． 5.设数列、都是等差数列，若，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设等差数列的公差为，根据数列是等差数列可求得，由此可得出，进而可求得所求代数式的值.【详解】设等差数列的公差为，即，由于数列也为等差数列，则，可得，即，可得，即，解得，所以，数列为常数列，对任意的，，因此，.故选：A. 6.设正项数列满足，则这项中所有为整数的项的和为A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意， 且 为奇数，则则这项中所有为整数的项的和为 故选C7.已知是公差不为零的等差数列，且，则（    ）A． B． C．9 D．5【答案】B【分析】根据等差数列下标和性质可得，然后利用下标和性质将转化为的若干倍，则结果可求.【详解】因为，所以，又因为公差，所以，所以，所以，所以，故选：B.8.已知数列满足，且，则当取得最大值时，（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先证明数列是等差数列，结合求出的通项公式，可得，利用配方法可得答案.【详解】因为所以所以数列是等差数列，又所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以所以因为，，且，所以当时，取最大值2.故选：B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列是公差为的等差数列，若存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是（    ）A．符合题意的数列有无数多个B．符合题意的实数有无数多个C．符合题意的数列仅有一个D．符合题意的实数仅有一个【答案】AD【分析】设从数列抽出的无限多项按原来的先后次序构成数列，分别在，，时探究数列是否为等差数列，由此判断各选项的对错.【详解】设抽出的无限多项按原来的先后次序构成等差数列，①若：此时只需为任意非零常数列即可；②若：则中只存在有限负数项，即存在，当时，，则当时，中均为正项，而另一方面，由上可知中公差，因此存在，当时，中均为负项，取，可知此时矛盾，故舍去；③若：同②可知需舍去.综上，符合题意的数列为任意非零常数列，，故选：AD.10.设d为等差数列的公差，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由求得公差d的范围，由通项公式写出各项（用d表示），根据判断各选项正误.【详解】由得：，则，A正确；，B正确；，C正确；，即，D错误.故选：ABC11.在无穷等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（    ）A． B．C． D．中的第503项是中的第2020项【答案】AC【分析】根据等差数列的通项公式可判断C；由已知求得，，由此可判断A、B；对于D：设数列中的第项是数列中的第项，从而有，由此可判断.【详解】解：∵，，∴，故C正确；数列中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，∴，，故A正确，B错误；对于D，设数列中的第项是数列中的第项，则，∴当时，，即数列中的第503项是中的第2011项，故D错误.故选：AC. 12.在等差数列中，，.记，则数列A． B．有最大项 C．无最大项 D．无最小项【答案】ABD【分析】根据题意求出等差数列通项公式，将数列前几项写出来，通过分析判定即可.【详解】解：设等差数列公差为，，所以，所以；所以所以，A正确；由，所以比较可得有最大项，B正确；又且越大越大，故数列无最小项，D正确故选：ABD  三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知数列，若数列与数列都是公差不为0的等差数列，则数列的公差是___________.【答案】【分析】设等差数列的公差为且，等差数列的公差为且，进而根据累加法得，，进而整理得，故，即.【详解】解：设等差数列的公差为，且，则，∴，∴，∵为等差数列，∴，(且为公差)∴，∴，∵，∴.故答案为：.14.已知数列满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用数列递推式，可得数列是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求的最小值．【详解】解：，数列是以10为首项，1为公差的等差数列在上单调递减，在上单调递增时，取得最小值为故答案为：15.将这2021个整数中能被2整除余1且被3整除余2的数按从小到大的顺序构成一个数列，则该数列的项数为______.【答案】337【分析】根据题意，设要求数列为，写出的前几项，归纳分析可得是首项为5，公差为6的等差数列，由此分析可得答案．【详解】解：根据题意，设要求数列为，被2整除余1的数为1、3、5、7、，被3整除余2的数为2、5、，则能被2整除余1且被3整除余2的数为5、11、17、，是首项为5，公差为6的等差数列，则，在这2021个整数中，的最大项为2021，即，则该数列有337项，故答案为：337．16.已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是第___________项.【答案】5【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为，公差为的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值．【详解】由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴，所以的最小的一项是第项.故答案为：5.  四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）等差数列中，（1）已知，，求的值；（2）若，，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据等差数列的性质，利用求出；（2）根据等差数列的性质，利用求出【详解】（1），，且，（2），，，，18.（12分）已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*).（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2），n∈N*【分析】（1）由已知条件转化可得－＝，n∈N*，进而结合等差数列的定义即可得出结论；（2）利用等差数列的定义可求出数列的通项公式，进而求出结果.（1）证明　由即－＝，n∈N*，故数列是等差数列.（2）由（1）知＝＋＝，所以，n∈N*. 19.（12分）数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).（1）当a2＝－1时，求λ及a3的值；（2）是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.【答案】（1）λ＝，a3＝（2）不存在，理由见解析【分析】（1）先由a2＝－1，求出λ，在由递推公式求出a3的值；（2）先表示出a1，a2，a3，求解λ，即可判断.（1）∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)及a1＝2，a2＝－1，∴a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝.∴a3＝－a2＋22，∴a3＝.（2）不存在.∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列.  20.（12分）下表给出一个“等差数阵”：47(　)(　)(　)…a1j…712(　)(　)(　)…a2j…(　)(　)(　)(　)(　)…a3j…(　)(　)(　)(　)(　)…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．（1）写出a45的值；（2）写出aij的计算公式，以及2 017这个数在等差数阵中所在的一个位置．【答案】（1）49；（2）aij＝j(2i＋1)＋i；第1行第672列．【分析】（1）由等差数列先求出第一列第四项，再由等差数列即可求得第四行第五项；（2）由（1）寻求规律，第一行的第i项，作为第i行的首项，公差为2j＋1，进而由等差数列的通项公式求得，从而可得出答案.【详解】解：（1）a45表示等差数阵中第4行第5列的数，先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行，同理可得a25＝27.最后看第5列，由题意，a15，a25，a35，a45，…成等差数列，所以a45＝16＋3×(27－16)＝49.（2）该等差数阵的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1)；…第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列，则aij＝4＋3(j－1)＋(i－1)(2j＋1)＝2ij＋i＋j＝j(2i＋1)＋i.要求2 017在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得j(2i＋1)＋i＝2 017，则j＝，则，因为j∈N*，则为偶数，所以为奇数，所以当i＝1时，得j＝672.所以2 017在等差数阵中的一个位置是第1行第672列． 21.（12分）已知等差数列：3，7，11，15，….（1）求的通项公式.（2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？（3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？【答案】（1）；（2）135是数列中的项，是第34项，是数列中的项，是第项；（3）是数列中的项，是第项.【分析】（1）由已知求得等差数列的公差为和首项，根据等差数列的通项公式可求得答案；（2）令，，且，由此可结论；（3）由已知得，，又由可得结论.【详解】解：（1）设数列的公差为.依题意，有，，∴.（2）令，得，∴135是数列中的项，是第34项.∵，且，∴是数列中的项，是第项.（3）∵，是数列中的项，∴，，∴.∵，∴是数列中的项，是第项.   22.（12分）在数列中，.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）由题得，数列是等差数列即得证；（2）由题得，即得数列的通项公式；（3）由题得对任意的恒成立，再求的最小值即得解.【详解】（1）证明：由，得，又，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）由（1）可得，所以.（3）因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以只需对任意的恒成立即可.令，则只满足即可.因为，所以当时，，即…，所以.又，所以.所以实数的取值范围为.