【教培专用】五年级上册秋季数学奥数培优讲义-第06讲 燕尾模型 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、燕尾模型（五上）

燕尾模型存在于任意的三角形中，能利用燕尾的基本结论，解决四边形或多边形的相关部分图形的面积比例关系。

一、 基本燕尾模型

1、如图，，，三角形ABE的面积是24，求三角形BEC的面积．

【答案】
56

【解析】
，所以．

2、根据图中的比例关系填空．

，；

，；

，；

，．

【答案】
COD，ACO；CEO，BCO；BOD，AOC；AOE，BOC

【解析】
，；

，；

，；

，．

3、求下面图形的面积．

【答案】
18；12，6，6

【解析】
左图：，所以．

右图：，所以．

又因为，所以．

4、如图，△ABC的面积等于28平方厘米．其中，，求阴影三角形的面积．

【答案】
12平方厘米

【解析】
连接CF，设面积为1份，如图所示标份数，可得（平方厘米）．

5、如图，△ABC中，，，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？

【答案】
 

【解析】
连接CE，如图所示标份数．可知阴影的面积占三角形ABC面积的．

6、如图，△ABC中，，，求四边形CEFD的面积是三角形ABC的几分之几？

【答案】
 

【解析】
连接CF，如图所示标份数．可知四边形CEFD占三角形ABC的．

7、如图，△ABC中，，．又知道四边形CDFE的面积比△ABF大10，求△AEF的面积．

【答案】
5

【解析】
如图所示标份数．则△AEF的面积是．

二、 复杂燕尾模型

8、如图，D为BC边中点，E、F是AC边的两个三等分点，那么三角形ABC被分别的六部分中，如果三角形ABC的面积是1，则六部分的面积分别是多少？

【答案】
 

【解析】
如图，连接CP、CQ，设，，则根据燕尾模型特性，，，，其中，所以．又，所以，且．所以联立后解得，，，，同理，，．

9、如右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？

【答案】
336

【解析】
连接、．根据燕尾定理，，，所以；再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．根据题意，有，可得(平方厘米)．

10、如图，三角形ABC的面积为1，D，E，F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积．

【答案】
 

【解析】
给中间三角形的3个顶点标上字母，如图1所示：

由于D、E、F分别是3条边上的三等分点，而△ABC的面积为1，所以△ABE、△BCF、△CAD的面积都是，这3个三角形的面积之和就等于大△ABC的面积，它们的重叠部分是3个小三角形：△AME、△BNF、△CPD．因此阴影△MNP的面积就等于这3个小三角形的面积之和．

假设，由于D是BC上的三等分点，可知（如图2所示）．

由燕尾模型可得，所以；而，所以（如图3所示）．

整个△ABC的面积是，则，即．

类似地，小△BNF和小△AME的面积都是，那么阴影部分的面积就是．

11、如图，D、E分别为AB、BC边上的三等分点，已知三角形ABC面积为72，则三角形CDE面积是多少？

【答案】
 

【解析】
连接BG,设1份，根据燕尾定理

,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以．

三、 综合应用

12、如图，正方形ABCD的边长是6，E、F分别是DC和AD边的中点，阴影部分的面积是多少？

【答案】
24

【解析】
设AE和CF的交点为O，连接OD，连接AC．设△AFO的面积为1，标出份数．可看出三角形AOC的面积是三角形ACD的，则三角形AOC的面积是正方形ABCD的．所以阴影部分的面积是正方形ABCD的，面积是．

13、如图，在四边形ABCD中，，，四边形AEOf的面积是12，BCDE的是平行四边形．那么四边形ABCD的面积是多少？

【答案】
56

【解析】
连接BD和AO，利用燕尾模型中的比例关系，可以标出△ABD中每一块的份数．因为BCDE是平行四边形，可知△BCD的面积也是7份．，四边形ABCD的面积是56．

14、如图，正方形中、、、为各边中点，、、、、、、、为各边三等分点，已知正方形的边长是6，那么阴影部分的面积是多少？

【答案】
21.6

【解析】
如左图所示，依次连接，则正方形的面积是大正方形面积的．阴影部分还包含4个三角形，这4个三角形形状大小一样，只要求出三角形的面积即可．

三角形标份数如右图所示．则三角形的面积占三角形面积的，即占大正方形面积的．

所以阴影部分的面积占大正方形面积的，所以面积是．

1、已知三角形ABC中，三角形ABF的面积是60，三角形AFC的面积是20，三角形BFC的面积是56，求三角形BDF和三角形CDF的面积．

【答案】
42，14

【解析】
，所以△BDF的面积是△BFC的，△CDF的面积是△BFC的，面积分别是42和14．

2、在三角形ABC中，，，阴影部分面积占△ABC的几分之几？

【答案】
 

【解析】
如图所示，标份数．

3、在三角形ABC中，，，阴影部分面积占△ABC的几分之几？

【答案】
 

【解析】
如图所示标份数即可．

4、在三角形ABC中，，，四边形ADFE的面积是三角形ABC的几分之几？

【答案】
 

【解析】
如图所示标份数即可．

1、如图，三角形ABC中已知2个三角形的面积，，那么，三角形AOD的面积是__________．

【答案】
6

【解析】
，所以．

2、如图，三角形ABC中已知2个三角形的面积，，那么三角形AOD的面积是___________．

【答案】
6

【解析】
，所以．

3、如图，三角形ABC中，已知，，已知△AOE的面积是1，那么△COD的面积是__________．

【答案】
4

【解析】
标数如图所示．所以那么△COD的面积是4．

4、如图，三角形ABC的面积是30，，，那么三角形AEF的面积是_________．

【答案】
3

【解析】
如图所示标份数．所以三角形AEF的面积是3．

5、在ABC中，，F是AD的中点，ABC的面积是12，则阴影部分的面积是__________．

【答案】
7

【解析】
如图所示标份数，所以阴影部分的面积是7．

6、在△ABC中，，，OB的长度是OE的__________倍．

【答案】
2

【解析】
标份数如图所示．所以，即OB的长度是OE的2倍．

7、如图，△ABC的面积是30．已知，．那么四边形CDOE的面积是__________．

【答案】
8

【解析】
如图所示标份数．所以四边形CDOE的面积是8．

8、如图，已知正方形ABCD的边长是6．E点是BC上靠近B点的三等分点，F点是CD的中点．阴影部分的面积是__________．

【答案】
22.5

【解析】
连接BD、OC．在△BCD中根据燕尾模型，标份数如图所示．又因为△BCD的面积是正方形ABCD面积的一半，所以△BOD的面积是正方形面积的，阴影部分的面积是正方形面积的，即．

9、如图，F是AC的中点，D、E是BC上的三等分点．阴影部分的面积是11，那么△ABC的面积是_________．

【答案】
60

【解析】
标数如下图所示．从左图可以得出四边形DCGF的面积占三角形ABC面积的，从右图得出四边形CEHF的面积占三角形ABC面积的．所以阴影部分的面积占三角形ABC面积的，所以△ABC的面积是．

10、如图，O点是AD的中点，．已知△ABC的面积是24，那么阴影部分的面积是多少？

【答案】
6

【解析】
连接OC，标份数如图所示．所以阴影部分面积占△ABC面积的，即．