【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第06讲 计数综合二 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、计数综合提高上（六上）

一、 枚举法

1、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连一起，那么一共有多少种情况？

【答案】
20

【解析】
连中的3枪必须捆在一起作为一个整体，但另外命中的一枪又必须和它们隔开．因此本题既有捆绑，又有插入．连中的3枪捆在一起，插入剩下没中的空里，然后再插入另外命中的一枪．因为另外命中的一枪又必须和它们隔开，所以共4个空可以插，共种情况．

2、（2015年北大附入学）一个三位数，若它的中间数字恰好是首尾数字的平均值，则称它是“好数”．那么好数总共有__________个．

【答案】
45

【解析】
枚举法．十位为1至9时，好数分别有2、4、6、8、9、7、5、3、1个，共45个．

3、（龙校五年级秋季）如图ABCDEFGH是一个正八边形，从它的8个顶点中任意选出4个顶点组成四边形，共可以得到几个梯形？

【答案】
24

【解析】
上、下底有以下三类：AB-HC、AB-GD、AC-HD．这三类各有8个，共24个．

二、 加乘法原理

4、一种电子表在6时24分30秒的显示为6:24:30，那么从6时到7时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？

【答案】
1260

【解析】
第1位只能为6，第2、4位只能为0-5，故有个．

5、纳达尔和费德勒进行网球比赛，谁先得6分就赢得此局，最后费德勒在第一局6:4获胜．已知在过程中费德勒从未落后过，那么比赛过程一共有多少种不同的可能？

【答案】
42

【解析】
如下图，点标数法．问题等价于从左下角到右上角，每次向右或向上移动一个点，且经过的点均在虚线（含）以下，共42种．

6、小王左口袋里有10张黑卡片，分别写着1到10，右口袋里有10张红卡片，也分别写着1到10．他从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算两张卡片上数的乘积，如果乘积恰好是6的倍数，那么共有多少种不同的取法（注：此题中6不能倒过来当9用，9也不能倒过来当6用）

【答案】
35

【解析】
若黑（红）卡号与6互质，即1、5、7号，则红（黑）卡只能为6，共种；若黑（红）卡为偶数，即2、4、6、8、10号，则红（黑）卡必为3的倍数，即3、6、9，共种．其中，都取6的被重复计算，故有种．

7、（2011迎春杯高年级组复赛）6支足球队，每两队间至多比赛一场．如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有_________种．

【答案】
70

【解析】
把六个球队看做六个点，这之间进行连线．则可能形成一个六边形或者两个三角形．如果形成一个六边形，则有种；如果形成两个三角形，则有种．
所以共有种．

8、各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有多少个？

【答案】
575

【解析】
设为99的倍数，且满足各位至多为5．两位截断求和应为99的倍数，即．由于，故，进而．，故b、d、f有种可能，a、c、e有种可能．因此，共有个．

三、 排列组合

9、（2011迎春杯四年级初赛）美国篮球职业联赛（NBA）总决赛在洛杉矶湖人队和波士顿凯尔特人队之间进行，比赛采用7场4胜制，即先获得4场胜利的球队将得到总冠军，比赛分为主场和客场，由于洛杉矶湖人队常规赛战绩较好，所以第1，第2，第6，第7场均在洛杉矶进行，第3—5场在波士顿进行，最终湖人队在自己的主场获得了总冠军，那么比赛过程中在胜负结果共有__________种可能．

【答案】
30

【解析】
湖人队取得最终胜利，也就是说在7场中任意选择4场获胜，有种可能；湖人队在客场取得最终胜利，也就是说在5场中任意选择4场获胜，有种可能；所以答案为．

10、在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？

【答案】
2520种

【解析】
把两排人划分成4小列之后，只要依次挑出每列的2个人，矮的站在前面，高的站在后面就可以．第一步，确定第1列的排法．先从8个人中挑出2个，有种方法．其中矮的站第一排，高的站在第二排，前后顺序已经固定，不需要再进行排列．第二步，确定第2列的排法．现在从剩6个人中挑出2个，前矮后高即可，有种方法．同理，再分别安排第3列和第4列，这两步分别有和种方法．综合四个步骤，得到所有的排列方法有种．

11、十一目标精讲班的第六讲讲义总共有11页，其中有3页印错了，恰好有2页的页码是连续的，那么印错的页码共有____________种可能性．

【答案】
72

【解析】
用插空法，11页中有8页是正确的，所以有9个空，错的3页要插在2个空中（其中一个空插1页，另一个插2页），所以有种可能性．

四、 传球法

12、将若干个0与1排成一行(如00101，11111，10100等)叫做“龙”，龙中数字0和1的总个数叫做龙的长度．没有两个1相连的龙叫做“青龙”(如00101，10100)．那么长度为10的青龙共有多少个？

【答案】
 

【解析】
传球法．末位是0或1且长度为1-10的青龙个数如下表所示：

因此，长度为10的青龙共有个．

13、（2014年金帆六秋）有六种颜色对右图中的A、B、C、D、E五个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，有___________种不同的染色方法．

【答案】
1560

【解析】
依照的顺序染色．若、同色，共种；若、不同色，共种．综上，共1560种染发法．

1、（2011年十一学校初试）如图所示的正方形区域中再放置一个色块，使之与原有的三色块形成轴对称图形，共有________种方法．

【答案】
5

【解析】
 

经试验，可放在图中的①至⑤处，共5种．

2、在由1和2组成的六位数中（例如112111、111111等），恰好有3个1连在一起的六位数有多少个？

【答案】
12

【解析】
利用对称性，只需考虑1-3位为1或2-4位为1即可．若1-3位为1，则第4位为2，共种；若2-4位为1，则第1、5位为2，共2种．因此，共个．

3、现在我们规定一种记日期的方式，把“2012年05月12日”写作“120512”，即只需写出后面六位数，那么在2013年有多少天按这种计数方式写出的六位数六个数字互不相同？

【答案】
30

【解析】
千位只能为0，进而十位只能为2，共天．

4、皇马和巴萨两队进行足球比赛，最后皇马5：3获胜．已知在过程中皇马从未落后过，那么进球过程一共有多少种不同的可能？

【答案】
28

【解析】
问题等价于下图从左下点走至右上点的最短路径问题，每次向右或向上移动一格，且不能再虚线上方．根据点标数法易得共28种可能．

5、小高有12个黑球，分别写着1到12，还有10个红球，分别写着1到10．他从两种球里各取一个，然后计算两球上数的乘积，如果乘积恰好是10的倍数，那么共有多少种不同的取法？（注：此题中6不能倒过来当9用，9也不能倒过来当6用）

【答案】
30

【解析】
若黑球为10，则红球任意，共10种；若黑球为2、4、6、8、12，则红球为5的倍数，即5、10，共种；若黑球为5，则红球为偶数，共5种；若黑球为1、3、7、9、11，则红球只能为10，共5种．综上，共种．

6、（人大附）用数字1，2组成一个八位数，其中至少有连续4位都是数字1的有多少个？

【答案】
48

【解析】
把4个1看成一个整体，进行插入，另外4个数字如果都是2，那么有5种插入情况．

如果是3个2，有种情况，有4种插入情况，共种．

如果是2个2，有种情况，有3种插入情况，种．

如果是1个2，有种情况，有2种插入情况种．

如果没有2，就1种情况．

一共是种．

7、（龙校四升五暑期）用五种颜色对下图中的A．B．C．D四个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色．问：有多少种不同的染色方法？

【答案】
260

【解析】
按A、D、B、C顺序染色．若A、D同色，共种；若A、D不同色，共种．综上，共种．

1、8个同学排成一排照相，其中4个人要站在一起，共有________种站法．

【答案】
2880

【解析】
捆绑法，共种．

2、甲、乙队之间进行篮球比赛，比赛采用7局4胜制，等比到第6场就分出了胜负，甲赢得了比赛，那么有________种可能．

【答案】
10

【解析】
第6场甲胜，且前5场甲胜了3场，共种．

3、甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混在一起4个人看也不看就随便各拿了一本，那么至少有一人拿错有________种可能．

【答案】
23

【解析】
在所有拿法中，全拿对的这1种不合要求，因此共种．

4、小明左口袋里有8张红卡片，上面写着1到8，右口袋里有8张黑卡片，上面也写着1到8，如果从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算得到卡片上两数的乘积，那么能被6整除的乘积共有________个．（6不能倒过来当9用）

【答案】
21

【解析】
若红卡为6，则黑卡任意，共8种；若红卡为2、4、8，则黑卡为3的倍数，即3、6，共种；若红卡为3，则黑卡为偶数，共4种；若红卡为1、5、7，则黑卡只能为6，共3种．综上，共种．

5、各位数字均不大于4，且能被99整除的六位数共有________个．

【答案】
100

【解析】
设为99的倍数，且满足各位至多为4．两位截断求和应为99的倍数，即．由于，故，进而．，故每一组均有种可能．因此，共有个．

6、5支足球队，每两队之间至多比赛一场，如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有________种．

【答案】
12

【解析】
比赛只可能是形如a-b-c-d-e-a这种形式．选定一队，与它比赛的两队有种可能．此时另两队还有2种可能，因此共种比赛安排．

7、如下图所示，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？

【答案】
768种

【解析】
按照D，B，E，G，A，C，H，F的步骤进行染色．对D进行染色的时候没有任何的限制，总共有4种选择．对B进行染色的时候由于不能和D同色，所以有3种选择．对E进行染色的时候由于不能和B，D同色，所以有2种选择．对G进行染色的时候由于不能和D，E同色，所以有2种选择．接下来，对C，G，F，H进行染色时的情况相同，都是有2种选择．根据乘法原理，得总共有种不同的染色方法．

8、由数字0、1、2、3可以组成________个没有重复数字的整数（例如3、23等）

【答案】
49

【解析】
一位：4个；两位：个；三位：个；四位：个．综上，共个．

9、将若干个0与2排成一行（如000，00202，222222，20200等）叫做“凤”，凤中数字0和2的总个数叫做凤的长度．没有2个2相连的叫做“黄凤”（如000202，200200）．长为6的黄凤共有________个．

【答案】
21

【解析】
传球法．末位是0或2且长度为1-10的黄凤个数如下表所示：

因此，长度为6的黄凤共有个．

10、（龙校六年级秋季）有A、B、C、D、E、F、G七个人排队．A必须站在B和C的中间（A、B、C不一定相邻），D和E不能相邻，F和G必须相邻．求满足要求的排法数．

【答案】
320

【解析】
将F、G看作一整体．若不考虑D和E不能相邻，共种，其中D、E也相邻的有种．因此满足条件的有种．