高中数学4.5 函数的应用（二）课堂教学ppt课件

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4.5.2　用二分法求方程的近似解
第四章　 §4.5 函数的应用(二)
学习目标
1.了解二分法的原理及其适用条件.
2.掌握二分法的实施步骤.
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
导语
同学们，前几天有个同事买了一部手机，为了游戏更有趣，我暂且不能告诉大家是什么牌子的手机，我可以告诉大家这部手机的价位在2 000元～3 000元，如果我给大家6次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊，你的机会只有5次！要解决这个问题，接下来，让我们一起探究解决这个问题的方法吧.
内容索引
二分法的概念

一
问题1　有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的.用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
提示　4次.第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币.再比如：有8个质量不均匀的小球，只有一个比别的都重，找出最重的小球的问题；有一段电路出现故障的问题；检修下水道堵塞的问题；包括刚才让大家猜测手机价格的问题等等这些都可以用上述方法解决，在这个过程中，体现出了“一分为二，逐步逼近”的思想，这就是我们今天要学习的“二分法”.
二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
知识梳理
f(a)f(b)<0
一分为二
逐步
逼近零点
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
注意点：
(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是
√
√
√
根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值.
(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是A.9 B.8 C.7 D.6
√
运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右两侧的函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
反思感悟
已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.
√
用二分法求函数零点的近似解

二
问题2　按上述思路，你能想办法求函数f(x)＝x3－3的近似解吗？
提示　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程，即便是计算机，也可能被累死机.实际上，如果我们一开始给一个精确度的话，只要满足了给出的精确度，我们就可以停止计算，比如，该问题中，我们给出精确度为0.1.由于|1.5－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以原函数的一个正实数零点可取为1.437 5.
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 .2.求区间(a，b)的中点 .3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则 就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈ )，则令b＝c；(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈ )，则令a＝c.
知识梳理
f(a)·f(b)<0
c
(a，c)
c
(c，b)
4.判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.
(1)初始区间的确定要包含函数的变号零点.(2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分.
注意点：
根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为A.0.625 B.0.093 75 C.0.125 D.0.096
(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下：
√
√
√
已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75,0.125)，所以零点在区间(0.093 75,0.125)上，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以0.093 75,0.096,0.125都符合题意.
二分法求函数零点的关注点(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.
反思感悟
用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的近似解，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是______.
设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，∵f(1)f(2)<0，∴f(x)零点所在的区间为(1,2)，∴方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2).
(1,2)
二分法的实际应用

三
问题3　现在你能猜出手机的大概价格了吗？
在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)?
如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；
反思感悟
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测A.4次 B.6次 C.8次 D.30次
√
第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法；第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至少需要检测六次.
课堂小结
1.知识清单： (1)二分法的定义. (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解. (3)二分法在实际生活中的应用.2.方法归纳：化归、逼近.3.常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的.
随堂演练

1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是
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A，B，C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点.
3.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)
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f(－2)f(－1)＝－12<0，所以可以取的初始区间是(－2，－1).
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4.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为A.1.5 B.1.375 C.1.438 D.1.25
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∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0，∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内，又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5<0.05，∴方程的近似根可以是1.438.
课时对点练

1.用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上的唯一零点的近似值时，验证f(2)f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝ ＝3，计算得f(2)f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是A.(2,4) B.(2,3) C.(3,4) D.无法确定
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A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
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能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件.
2.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是
3.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是A.|a－b|<0.1 B.|a－b|<0.001C.|a－b|>0.001 D.|a－b|＝0.001
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据二分法的步骤知当|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算.
4.已知函数y＝f(x)为[0,1]上的连续函数，且f(0)·f(1)<0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为A.2 B.3 C.4 D.5
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5.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值不可以为A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6
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已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，
若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)内，则a可以取A.－1.4 B.－1 C.－0.8 D.－0.6
6.(多选)利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表.
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令f(x)＝2x－x2，则f(－1.6)<0，f(－1.4)<0，f(－1.2)<0，f(－1)<0，f(－0.8)<0，f(－0.6)>0，f(－0.4)>0，f(－0.2)>0，f(0)>0，f(－1.4)f(－1)>0，f(－1)f(－0.6)<0，f(－0.8)f(－0.4)<0，f(－0.6)f(－0.2)>0，故a可能取－1或－0.8
7.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________.
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设函数f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，∴下一个有根区间是(2,3).
(2,3)
8.在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称_____次就可以发现假币.
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将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币.
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9.以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论.设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线.先求值，f(0)＝______，f(1)＝_______，f(2)＝_______，f(3)＝_______.所以f(x)在区间________内存在零点x0.填表：
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因为方程为x3＋3x－5＝0，令f(x)＝x3＋3x－5，所以f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在区间(1,2)内存在零点x0，填表为
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因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取1.187 5.
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方程f(x)＝0在(－1，＋∞)内有根，
当x∈(－1，＋∞)时，函数f(x)为增函数，所以若方程f(x)＝0有根，则最多有一个根.
所以函数f(x)在区间(0,1)上有唯一零点.
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真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，
14.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是_____________________.
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1.5,1.75,1.875,1.812 5
第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5).
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15.用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为A.1.125 B.1.312 5 C.1.437 5 D.1.468 75
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因为f(1.25)f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解.
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16.已知函数f(x)＝ln x＋2x－6.(1)证明f(x)有且只有一个零点；
∴f(x1)>f(x2)，即f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)至多有一个零点.又f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(2)f(3)<0，即f(x)在(2,3)内有一个零点.∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点.
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