人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线测试题

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3.3 抛物线(精练)【题组一 抛物线的定义及应用】1．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考)定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，则M到y轴距离的最小值为(    )A． B． C．2 D．【答案】C【解析】抛物线的焦点为F，则抛物线的准线，设在准线上的垂足分别为,连接,如图所示.
所求的距离
因为抛物线的通径为,所以定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动时可以经过焦点,此时三点共线，，，
则点M到y轴的最短距离为2，故选：.2．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考)过抛物线C：(p＞0)的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，且满足，则直线l的倾斜角为(    )A．45° B．60°和120° C．30°和150° D．45°和135°【答案】B【解析】当点在轴上方时，设抛物线准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'，直线l交准线于C，如图所示：则|AA'|＝|AF|，|BB'|＝|BF|，|AF|＝3|BF|，所以|AN|＝2|BF|，|AB|＝4|BF|，cos∠NAB＝，∠NAB＝，此时则直线l的斜率为，倾斜角为，当点在轴下方时，由对称性可得直线l的斜率为，倾斜角为，故选：B3．(2021·全国高二课时练习)抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(    )A．2 B．3 C．5 D．7【答案】D【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.由，得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，∴   |FA|＋|FB|＝7，故选：D. 4．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(理))为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为(     )A． B． C． D．【答案】A【解析】因为抛物线，所以 ，由抛物线的定义得：，解得，则，所以的面积为，故选：A5．(2021·安徽省岳西县店前中学高二期末(文))已知抛物线的焦点为是C上一点，，则(    )A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】由抛物线可得，准线方程，，是上一点，，．，解得．故选：B．【题组二 抛物线的标准方程】1．(2021·全国高二课时练习)若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.【答案】或【解析】当时，准线的方程为，故，所以，此时抛物线的方程为；当时，准线的方程为，故，所以，此时抛物线的方程为.所以所求抛物线的方程为或.故答案为：或.2．(2021·上海市长征中学)已知抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________．【答案】【解析】因为抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，所以，解得，所以该抛物线的准线方程为，故答案为：3．(2021·广东高二期末)已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为________________________.【答案】【解析】设准线与轴的交点为，准线为，焦点为，由抛物线的定义知，又，所以为等边三角形，且，所以,则，又因为，因此，故抛物线的方程为；故答案为：.4．(2021·全国高二课时练习)已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(    )A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝12y【答案】A【解析】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.故选：A.5．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，，抛物线的方程为，，由可得，所以 所以，，所以，，，，所以，， ，，所以，因为，所以，所以，所以抛物线的方程为．故选：A.【题组三 直线与抛物线的位置关系】1．(2021·北京清华附中高二期末)“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的(    )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件.故选：A2．(多选)(2021·全国高二课时练习)与直线仅有一个公共点的曲线是A． B．C． D．【答案】AC【解析】A．圆心到直线的距离，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；B．因为，所以，所以，所以直线与椭圆有两个交点，不符；C．因为的渐近线方程为，所以平行于渐近线且不与渐近线重合，所以与双曲线仅有一个公共点，符合；D．因为，所以，所以，所以直线与抛物线有两个交点，不符.故选：AC.3．(多选)(2021·全国高二专题练习)若原点到直线的距离不大于1，则直线与下列曲线一定有公共点的是(    )A． B． C． D．【答案】AC【解析】原点到直线的距离小于或等于1，故直线一定经过圆面 内的点，如图所示：故与直线一定有公共点的曲线的是，故选：．.       ..       .4．(2021·全国高二课时练习)已知F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B，C.(1)若ABC为直角三角形，求半径R的值；(2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明.【答案】(1)R＝p；(2)直线AB与抛物线E相切，证明见解析.【解析】(1)由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称，再由ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线，xB，代入抛物线的方程可得yB＝p，所以圆的半径R＝p；(2)直线AB与抛物线E相切.由(1)知A(，0)，|AF|＝p，B(，p)，C(，﹣p)，则直线AB：y＝x，联立，整理得x2﹣py0，∴＝p2﹣p2＝0，∴直线AB与抛物线相切.5．(2021·浙江高二单元测试)已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中． (I)求焦点的坐标；(Ⅱ)试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)相切，证明见解析.【解析】(Ⅰ)由抛物线C：，可得：，，可得焦点的坐标为；(Ⅱ)直线与抛物线C相切，证明如下：由点及点，可得，又，可得，可得，同时由抛物线C：，，，所以过的切线的斜率为：，所以直线与抛物线C相切.【题组四 弦长】 1．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝__.【答案】【解析】设过F(1，0)的直线方程为x＝my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线方程，可得y2﹣4my﹣4＝0，由韦达定理，可得y1y2＝﹣4，则，∵由抛物线的定理，可得|FA|＝x1+1＝4，∴x1＝3，，∴，.故答案为：.2．(2021·上海浦东新·高二期中)过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则等于____________．【答案】；【解析】由抛物线可得：，抛物线的准线方程为：，因为过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，由抛物线的定义可得：，，所以弦长，故答案为：.3．(2021·广东石门高级中学高二月考)已知动点到点的距离，与点到直线的距离相等.(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.【答案】(1)；(2)16．【解析】(1)由题意点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，，，所以轨迹方程是；(2)由已知直线方程是，设，由得，所以，．4．(2021·合肥百花中学高二期末(理))已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点P(m，2)到其焦点F的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积．【答案】(1)x2＝8y；(2).【解析】(1)由已知及抛物线定义可得，∴p＝4，∴抛物线C的方程为x2＝8y． (2)由(1)可得F(0，2)，∴l：y＝x+2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将l方程代入C方程整理得y2﹣12y+4＝0，∴y1+y2＝12，∴|AB|＝y1+y2+p＝16，原点O到直线l的距离为，∴OAB的面积．5．(2021·上海市新场中学高二期中)已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离.(1)求曲线的方程；(2)求直线被曲线截得线段长.【答案】(1)；(2)8【解析】(1)一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离，所以该曲线是以点为焦点，以x=-1为准线的抛物线，设其方程为，所以；(2)设直线与曲线交于，联立方程，整理得，，.所以直线被曲线截得线段长为8.6．(2021·浙江湖州·)已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于､两点，与圆交于点，点是线段的中点.(1)求抛物线的准线方程；(2)求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为抛物线，所以准线方程为；(2)设直线，，联立直线与抛物线得，由韦达定理可得，故，∴，将点坐标代入圆方程得，解得(0舍去).根据抛物线的对称性，不妨设，联立，消去得，所以所以，坐标原点到直线的距离，所以 【题组五 综合运用】1．(2021·全国高二课时练习) 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.(1)当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；(2)若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.【答案】(1)证明见解析；(2)m＝6.【解析】(1)证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，不妨取M(5,)，N(5,－)，则，∴，∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．(2)由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，∵AM⊥AN，则，又，∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.2．(2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中)过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，(1)若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；(2)若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；(3)当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)，证明见解析.【解析】(1)因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为；又横坐标为的点到焦点的距离为1，所以，即，故抛物线方程为；(2)若为抛物线的顶点，则；因为，为抛物线上的点，所以直线斜率不为零；可设直线的方程为， 由得，则，，所以，又，则；所以，即，所以，即直线的方程为，因此，过、两点的直线必过定点；(3)因为，，都是抛物线上的点，且与的斜率存在，则，；由可得，所以；由可得，所以；又因为与的倾斜角互补，所以，即，整理得，要求的值，显然；所以，要证明直线的斜率是非零常数，显然直线的斜率存在；由可得，所以，因为，，所以是非零常数，即直线的斜率是非零常数.3．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线C：x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点M的坐标为(2，﹣2)．(1)分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；(2)若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得＝【答案】(1)；(2)存在λ＝2.【解析】(1)，，，，抛物线方程，求导可得，过点的切线方程为，过点的切线方程为，点为两切线的交点，，，过，的直线方程为，化简可得，，．(2)由题意可知，，过点的直线为，设直线与抛物线交于，，，，联立直线与抛物线方程，，由韦达定理可得，，，，同理可得，，，，存在，使得．4．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点．(1)求抛物线E的标准方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB恒过定点．【答案】(1)x2＝4y；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意得，F(0，)，设P(2，y0)，，由点P是E上一点，得4＝2p(2﹣)，∴p2﹣4p+4＝0，解得p＝2，∴抛物线E的方程为x2＝4y；(2)设A()，B()，由题意可知，，得x1x2＝﹣8，可知直线AB的斜率存在．设AB：y＝kx+m，联立，得x2﹣4kx﹣4m＝0，可得x1x2＝﹣4m＝﹣8，即m＝2．∴直线AB恒过定点(0，2)．5．(2021·湖南长沙·长郡中学高二月考)已知拋物线：()的焦点为，为坐标原点，为拋物线上一点，且．(1)求拋物线的方程；(2)设直线：交轴于点，直线过点且与直线平行，动直线过点与拋物线相交于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)拋物线的方程为，设，因为，由拋物线定义，即．所以，又由，得，解得(舍去)，所以抛物线的方程为．(2)证明：直线：，令，得，所以点．因为直线平行于直线：且过点，所以直线：．设点，，直线：，联立消去得，则．由根与系数关系得，，易得直线：，直线：．联立解得，同理可得，所以．因为，所以，即A是的中点，所以．