数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用一课一练

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1.4 空间向量的应用(精练)
【题组一 求平面的法向量】
1．(2021·福建)如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量．
【答案】(1)； (2).
【解析】易知，，，.
(1)，，
设面的法向量为，则 ，
即，取 ，则 ，
所以平面的一个法向量为；
(2) ，，
设面的法向量为，则 ，
即，取 ，则 ，
所以平面的一个法向量为
2．(2021·全国高二课时练习)已知，，.
(1)求平面的一个法向量；
(2)证明:向量与平面平行.
【答案】(1)平面的一个法向量为(答案不唯一)；(2)证明见解析.
【解析】(1)因为，，，
所以，，
设为平面的一个法向量，
则有，所以，不妨令，
则，
所以平面ABC的一个法向量为；
(2)若存在实数，，使，
即，
则，解得，
所以，即向量与平面平行.
3．(2021·浙江)如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.

(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量.
【答案】(1)(0，0，1)；(2)，0，0 ；(3)(2，-1，1).
【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.
(3)在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).
设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴
得方程组
令，则，，∴=(2，-1，1).
所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.
【题组二 利用空间向量证空间位置】
1．(2021·青海)若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵平面，∴平面的一个法向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为0.
对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C.
2．(2021·浙江高二单元测试)若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为平面，所以两个平面的法向量应该平行，只有D项符合.故选：D.
3．(2021·上海)(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AC
【解析】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，,且，所以，选项正确；
对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是且
，所以或，选项错误；
对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且
，所以，选项C正确；
对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，
所以，选项D错误.
故选：AC
4．(2021·莆田第十五中学高二期末)如图所示，垂直于正方形所在的平面，，与平面所成角是，是的中点，是的中点.求证：平面.

【答案】证明见解析
【解析】证明：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由与平面所成的角为，得，则，
则，，，，，，
，，.
设平面PFB的法向量为，则，即.
令，则，，故平面的一个法向量为.
，，
又平面PFB，则平面PFB.

5．(2021·西藏)如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面．

【答案】证明见解析
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设面的法向量为，则，即，令，则，所以；
设面的法向量为，则，即，令，则，所以；
因为，所以
所以平面平面．


6．(2021·全国高二课时练习)如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR．

【答案】证明见解析
【解析】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，

设，又，，
∴，，，，，，
∴，，，，
设是面的一个法向量，则，令，，
设是面的一个法向量，则，令，，
∴面、面的法向量共线，故平面平面PQR，得证.
7．(2021·安徽)如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面．

【答案】证明见解析
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，
所以，，所以，，
因为，平面．
所以平面．

8．(2021·湖南)如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．

【答案】证明见解析
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则可得，
，，
平面，平面.

【题组三 利用空间向量求空间角】
1．(2021·浙江)如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则
.
，
，所以,
由于，所以平面.
(2)，
，
设平面的法向量为，则
，令，则，所以.
设直线与平面所成角为，则
.

2．(2021·湖南高三其他模拟)如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面.

(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)取的中点，连接、，因为与是全等的等边三角形，所以，，因为，面，所以面，因为面，所以


（2） 因为平面平面，平面平面，，所以平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，，设面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则
3．(2021·浙江高二期末)在等腰梯形中，，，，E为中点，将沿着折起，点C变成点P，此时．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)证明：取BE中点记为H,连结PH、CH，

是CD中点, ，
，
且，
四边形ABED是平行四边形，
，
是边长为2等边三角形，
由题意可知，，
是边长为2的等边三角形，
是中线，PH是中线，
，，
又，
平面PCH，
，
；
(2)解：由(1)可求得 ，
，
，
，
又，
平面，
以为原点，HB，HC，HP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，

，
，
设平面BCP的法向量为 ，
，即，令, 则，
平面BCP的法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
4．(2021·浙江高二期末)如图，在四棱锥中，平面，，，底面为直角梯形，，，．

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1) 证明见解析; (2)
【解析】(1)连接相交于点，连接.
,可得与相似，则
又,则，所以
又平面，平面，所以平面；

(2)由平面，.
以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系,如图.
由，，
则,,
则,
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为

5．(2021·北京高三其他模拟)如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于.

(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)若，求二面角余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以.
(Ⅱ)取AD的中点N，连接BN,EN.
在等腰中，EN⊥AN.
因为平面ADE⊥平面ABCD，交线为AD，
又EN⊥AD，所以EN⊥平面ABCD.
所以EN⊥BN.
由题意易得AN⊥BN.
如图，建立空间直角坐标系N- xyz，
则N(0,0,0) ,A(2,0,0) , , , .
因为EF = CD，所以.
设平面BCF的法向量为 ，，
则即
令，则，于是.
又平面ABCD的法向量为，
所以
由题知二面角A - BC- F为锐角，
所以二面角A - BC- F的余弦值为.

【题组四 利用空间向量求空间距离】
1．(2021·山东)如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，AB＝1，AA1＝2．

(1)求点B到平面B1C1E的距离；
(2)求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，B1(1，0，2)，C1(1，1，2)，E(0，0，1)，
∴(0，1，0)，(﹣1，0，﹣1)，(0，0，2)，
设平面B1C1E的法向量(u，v，w)，
则，取u＝1，得(1，0，﹣1)，
∴点B到平面B1C1E的距离为：
d．
(2)∵C1(1，1，2)，E(0，0，1)，C(1，1，0)，
∴(0，0，2)，(﹣1，﹣1，1)，
设平面CC1E的法向量(x，y，z)，
则，取x＝1，得(1，﹣1，0)，
设二面角B1﹣EC1﹣C的平面角为θ，
则cosθ，
∴sinθ，
∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值为．

2．(2021·云南民族大学附属中学)如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：因为平面，平面，
所以.
在中，，，，
所以.
所以.
因为，，平面，
所以平面.
(2)由(1)知，，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系.

则，，，.
，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，
所以.
又因为，
故点到平面的距离
.
3．(2021·上海市控江中学)如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.

(1)求异面直线PA1与BC所成的角的余弦值；
(2)求点B1到平面PAC的距离.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)根据题意可得平面, C是弧AB的中点,则
则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图

则，， ，，
， ，
，
(2)， ， ， ， ，
设平面的法向量，则，取，得，
点到平面的距离为：．
4．(2021·四川凉山彝族自治州)如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，．

(1)若中点为，证明：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)证明：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

因为，，的长度分别为1，2，2，且，
则，，，，，
又是的中点，所以，
所以，由已知可得平面的一个法向量为，
则，
所以，又平面，
所以平面；
(2)解：设平面的法向量为，
因为，，
则有，即，
令，则，，故，
又，
所以点到平面的距离．
5．(2021·吉林吉林市)如图，在三棱柱中，侧棱底面是中点，是中点，是与的交点，点在线段上.

(1)求证：平面
(2)若二面角的余弦值是，求点到平面的距离
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明:连结，设，连结.

，
又面，面，面.
四边形是平行四边形，，
又面，面，面.
面，面，
面面.
∵由面，∴平面.
(2)以A为原点，所在直线分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

设
所以
设平面的一个法向量
则，不妨设，解得.
显然平面的一个法向量.
由二面角的余弦值是，
则，
又，解得

又
即点到平面的距离为.
【题组五 求参数】
1．(2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学)已知正四棱柱中，，．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，．
【解析】(1)因为四棱柱是正四棱柱，
所以平面，，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
(2)如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，，
因为平面，所以是平面的法向量，
设平面的法向量，
则，即，令，则，，
故，
因为二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为.
(3)设为线段上一点，，，
因为，，，
所以，
则，，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
若平面平面，则，即，解得，
故当时，平面平面.
2．(2021·正阳县高级中学)如图，三棱柱中，，，．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，点在线段上，设，若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)如图，取的中点，连接，，，
∵，∴；
而，∴为等边三角形，∴．
又∵，，∴，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴，
∵为中点，∴，即为等腰三角形．
(2)设，则，
∵，故，∴，
又，，∴，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，．
设，则，，
设平面的法向量为，则由，，
得，取，
易知平面的法向量为，
则，解得(舍去)．

3．(2021·四川成都市·石室中学)如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，.

(1)证明：平面；
(2)已知，点是棱上的点，满足，若二面角的余弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)连接交于点，
因为底面四边形是正方形，所以，
由，且，所以平面，
又由平面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面.
(2)由已知及(1)可知，，，
以为原点，以分别作为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，且点是棱上的点，满足，
可得，，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，即，
取，可得，即，
又由平面，可得平面的一个法向量为，
所以，解得.

4．(2021·江苏南京市·高三二模)如图，已知斜三棱柱，，，的中点为.且面，.

(1)求证：；
(2)在线段上找一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)作交于点，分别以，，所在直线为，，轴建系

，，，，
所以，，
，所以
(2)设，
，

设面的一个法向量为
有
∴
∴
∴
因为
若直线与平面所成角的正弦值为.
，即，解得.
所以当时，直线与平面所成角的正弦值为.
5．(2021·江苏南通市)《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.

(1)若P为的中点，求证：平面.
(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析.
【解析】(1)证明：取的中点H，连接PH，HC.
在堑堵中，四边形为平行四边形，
所以且.
在中，P，H分别为，的中点，
所以且.
因为N为BC的中点，所以，
从而且，
所以四边形PHCN为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.

(2)以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.
易知平面ABC的一个法向量为.
假设满足条件的点P存在，令，
则，.
设平面PMN的一个法向量是，
则即
令，得，，
所以.
由题意得，解得，故点P不在线段上.