高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式一课一练

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2.3  直线的交点坐标与距离公式(精练)【题组一 交点】1．(2021·山东)若(－1，－2)为直线2x＋3y＋a＝0与直线bx－y－1＝0的交点，则ab的值为         【答案】8【解析】由题意得，解得，所以ab＝8.2．(2021·全国高二课时练习)已知与两点间的距离是17，求a的值            ．【答案】±8【解析】因为与两点间的距离是17，所以，解得：a＝±8．3．(2021·全国高二(文))已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为           【答案】【解析】直线方程变形得：.由得，∴直线恒过点，，，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为.故选：C.4．(2021·全国高二课时练习)已知，直线与线段交于点，且，则实数的值为              【答案】2【解析】设，则.∴.∵，∴∴5．(2021·全国高二课时练习)若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第三象限，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】由得所以两直线的交点坐标为.又此交点在第三象限，所以解得m＜，所以实数m的取值范围是.故答案为：6．(2021广东)已知点A(－3，4)，B(2，)在x轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．【答案】【解析】设点P(x，0)，则有|PA|＝＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－，即所求点P为.故答案为：7．(2021·广西)在直线5x＋4y＝8＋m和直线3x＋2y＝6中，当m＞4时，两直线交点在第________象限．【答案】二【解析】由题意得,解得 ,因为m＞4,所以,所以两直线交点在第二象限.故答案为：二8．(2021·云南)斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．【答案】2x＋y－4＝0【解析】设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，所以k＝＝－2，解得λ＝5∴所求直线方程为2x＋y－4＝0．9．(2021·北京交通大学附属中学高二期末)已知直线与直线垂直，那么与的交点坐标是______________.【答案】【解析】解：根据两条直线垂直的充要条件得：，解得，所以，与直线联立方程解方程得：，.所以与的交点坐标是.故答案为：10．(2021·全国高二课时练习)求下列两点间的距离：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)8；(2)3；(3)2；(4)．【解析】(1)|AB|＝6+2＝8；(2)|CD|＝﹣1+4＝3；(3)|PQ|2；(4)|MN|．11．(2021·全国高二课时练习)求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：(1)，；(2)，．【答案】(1)交点坐标为，图形见解析；(2)交点坐标为，图形见解析.【解析】(1)联立，解得，交点为，如下图所示：
 (2)联立，解得，交点为，如下图所示：
 12．(2021·全国高二课时练习)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，；(2)重合；(3)平行【解析】(1)联立，解得x，y，其交点为．(2)l1：2x﹣6y+4＝0化为与直线l2重合；(3)l1：(1)x+y＝3，化为y＝(1)x+3；l2：x+(1)y＝2化为y＝(1)x，∴两条直线的斜率相等而在y轴上的截距不等．∴l1//l2．【题组二 三种距离】1．(2021·上海浦东新区·华师大二附中高二开学考试)点P(-1，-1)到直线的距离为(    )A．0 B．1 C． D．2【答案】B【解析】由点到直线的距离公式可得，，故选：B2．(2021·全国高二专题练习)两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，又l2：9x＋12y－10＝0，所以，由平行线间的距离公式得，两条平行线间的距离d＝＝.故选：C.3．(2021·浙江湖州市·高二期末)点到直线的距离是(    )A． B． C．1 D．【答案】A【解析】点到直线的距离为，故选：A4．(2021·浙江)点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，则|AB|等于(    )A．10 B．5C．8 D．6【答案】A【解析】由题意得A(6，0)，B(0，8)，所以|AB|＝.故选：A5．(2021·江西)若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为(    )A．3 B．C．5 D．【答案】D【解析】由题意得＝2，即b－a＝2.所以|AB|＝.故选：D6．(2021·全国高二专题练习)直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由解得，所以，由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，所以点到直线的最大距离为，故选：C．7．(2021·浙江高二单元测试)在直线上求一点P，使它到原点的距离与到直线的距离相等．【答案】或【解析】设点P的坐标为，则，解之得．∴点P的坐标为或．8．(2021·全国高二课时练习)求下列点到直线的距离：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)；(2)0；(3)【解析】(1)；(2)；(3)；9．(2021·山东泰安市)已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的(1)求直线的方程；(2)若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或．【解析】(1)直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角为，斜率为，又直线过点，∴直线的方程为，即；(2)设直线的方程为，则点到直线的距离，解得或∴直线的方程为或10．(2020·上海华师大二附中高二月考)已知直线与.(1)若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离；(2)若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)因为、两点分别在直线、上运动，所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线，设其方程为，、与y轴的交点分别为、，两点的中点为，且中点在直线，所以，所以，的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为. (2)过点且与x轴垂直的直线方程为，与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意，所以设的斜率为，直线方程为，由直线与 即，交点为为，由直线与 即，交点为所以两交点之间的距离为，解得，或，所求直线方程为，或，即或.【题组三 对称问题】1．(2021·黑龙江)点关于直线的对称的点坐标为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】设点关于直线的对称的点为，根据对称性的性质有：，所以点关于直线的对称的点坐标为.故选：B2．(2021·吉林)已知点与点关于直线对称，则点的坐标为A． B． C． D．【答案】D【解析】设,则，选D.3．(2021·哈尔滨)点关于直线对称的点´的坐标是A． B． C． D．【答案】C【解析】设点，则线段的中点为，又点在直线上，所以 因为直线，，所以 .联立，解得，.故选C.4．(2021·全国高二课时练习)如果关于直线的对称点为，则直线的方程是(　　)A．     B．   C．  D．【答案】A【解析】因为已知点关于直线的对称点为，故直线为线段的中垂线， 求得的中点坐标为，的斜率为，故直线的斜率为， 故直线的方程为，即.故选：A.5．(2021·包头市)与直线关于坐标原点对称的直线方程为(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即.故选：D.6．(2021·北京市平谷区)直线y＝4x﹣5关于点P(2，1)对称的直线方程是(    )A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9【答案】C【解析】设直线上的点关于点的对称点的坐标为，所以，，所以，，将其代入直线中，得到，化简得，故选：C．7．(2021·浙江高二期末)若直线与直线关于点(2，3)对称，则直线恒过定点的坐标为___________，直线与的距离的最大值是___________.【答案】        【解析】直线恒过定点，直线与直线关于点(2，3)对称，故点关于点(2，3)对称的点为一定在直线上，故直线恒过定点；根据对称性知两条直线平行，当其垂直直线AB时，距离最大，为.故答案为：；.8．(2020·重庆复旦中学高二月考)根据条件求直线方程．(1)已知直线，求其关于对称的直线的直线方程；(2)求直线关于直线对称的直线的方程．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)设所求直线，在直线上取一点，则关于点的对称点在直线上，代入得：，所求直线方程为．(2)由，解得，的交点，是直线的点，它关于直线的对称点为，则，解得，所以，则都在直线上，所以所在直线为，故直线的方程为．9．(2020·全国高三专题练习)已知点，直线：.(1)求直线关于点对称的直线方程；(2)求直线与两坐标轴围成的三角形的重心坐标.【答案】(1)；(2).【解析】(1)设为所求直线上一点，其关于点对称的点为在直线上，则，所以，又，所以，整理得，即所求直线方程为：；(2)记直线与轴交点为，与轴交点为，由，令得，即；令得，即，又原点为，记中点为，则，连接，则三角形的重心点在线段上， 且满足，设，则，所以，即.   【题组四 交点和距离在几何中的运用】1．(2021·全国高二专题练习)已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是(    )A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．斜三角形【答案】C【解析】因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.又AC＝＝a，|BC|＝＝a，所以△ABC为直角三角形．故选：C2．(2021·广东河源)已知点，，点在轴上，则的最小值为(    )A．6 B． C． D．【答案】B【解析】点，，点在轴上，点关系轴的对称点为，.故选：B.3．(2021·全国高二课时练习)以A(–1，1)、B(2，–1)、C(1，4)为顶点的三角形是(    )A．锐角三角形 B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形【答案】C【解析】，，，故，所以为直角三角形且以为直角顶点.故选C.4．(2021·福建)已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(    )A．  B． C．  D． 【答案】D【解析】∵三条直线不能围成一个三角形，
∴(1)若2x－3y＋1＝0与mx－y－1＝0平行，此时，
若4x＋3y＋5＝0与mx－y－1＝0平行，此时；
(2)三点共线时也不能围成一个三角形
2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0交点是代入mx－y－1＝0，则.故选：D.5．(2021·全国高二(文))若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】点关于直线对称的点为,如图则,所以 当且仅当三点共线时取得等号.故选：C6．(2021·全国高二专题练习)多选已知直线，，则(    )A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限【答案】BD【解析】，当，即，即直线恒过点，故A不正确；若，则有 ，解得：，故B正确；若，则有，得，故C不正确；若直线不经过第三象限，则当时，， ，解得：，当时，直线，也不过第三象限，综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.故选：BD7．(2021·全国高二专题练习)(多选)等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是(    )A． B． C． D．【答案】AC【解析】设，根据题意可得即解得或所以或.故选：AC．8．(2021·全国高二单元测试)直线和不能构成三角形，则的值为____________.【答案】4，或【解析】①当直线平行于时，.②当直线平行于时，.③当直线平行于时，，无解.④当三条直线经过同一个点时，把直线与的交点的坐标代入的方程，得，解得或.综上，满足条件的的值为4，或.故答案为：4，或.9．(2021·上海高二专题练习)如图，射线，所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于.(1)若，，求的值；(2)若，的面积是，求的值；(3)已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围.【答案】(1)；(2)或2；(3)【解析】(1)，， 若，则，的方程为，即，则点到直线的距离为，；(2)直线OA的方程为,到直线的距离为,
,
的面积为,
或2；
(3)设,,,,,,
设直线OA的倾斜角为,则，,
根据题意得，解得， 代入，
化简得动点T轨迹方程为.
,
当且仅当时,取得最小值.
的取值范围是.10．(2021·上海高二专题练习)一束光从从光源射出，经轴反射后(反射点为)，射到线段上处.(1)若，，求光从出发，到达点时所走过的路程；(2)若，求反射光的斜率的取值范围；(3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程.【答案】(1) (2)(3)【解析】(1)关于轴的对称点，，则此时 所以光所走过的路程即 (2)对于线段，令其端点 则， 所以反射光斜率的取值范围是 (3)若反射光与直线垂直，光所走过的路程最短，则由 ①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离，所以路程；②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中所以 综上：.