人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程课后测评

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程课后测评，共18页。
2.2  直线的方程(精练)【题组一   求直线的方程】1．(2021·全国高二专题练习)经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是(    )A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)【答案】C【解析】直线的斜率k=tan30°=，由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋)，故选：C．2(2021·黑龙江)过点，倾斜角为150°的直线方程为(    )A．y－2＝－ (x＋4)                 B．y－(－2)＝－ (x－4)C．y－(－2)＝ (x－4)                 D．y－2＝ (x＋4)【答案】B【解析】由直线的倾斜角为，得到直线的斜率又直线过点则直线的方程为故选：B3．(2021·青铜峡市高级中学高二开学考试(理))经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为(   )A． B． C． D．【答案】A【解析】联立得，所以两直线交点坐标为，所求直线为，整理得.故选：A.4．(2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试(文))过点且斜率为的直线在轴上的截距是(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】因为过点且斜率为，所以，即，化成截距式，所以直线在轴上的截距是，故选：D.5．(2021·全国高二课时练习)下列命题中正确的是(　　)A．经过点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示D．不经过原点的直线都可以用方程表示【答案】C【解析】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项不正确；因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项不正确；故选C.6．(2021·全国高二课时练习)A、B两点的坐标分别为和，则线段AB的垂直平分线方程为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】由题,直线的两点式方程为:,即,设直线的垂线为,中点为,将点代入可得,则,所以,所以线段AB的垂直平分线方程为:,故选:A 7．(2021·广东湛江)写出下列直线的方程.(1)经过点，斜率是；(2)经过点，倾斜角是；(3)求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程.(4)求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线方程.(5)求过，两点的直线的方程.【答案】(1)；(2)；(3)；(4)或；(5).【解析】(1)因为直线经过点，斜率是，所以直线的点斜式方程为；（2）因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为；(3)设所求直线的斜率为，依题意，又直线经过点，∴所求直线方程为，即；(4)当直线不过原点时，设所求直线方程为，将代入可得，解得，∴直线方程为；当直线过原点时，设直线方程为，则，解得，∴直线方程为，即；故所求直线方程为或；(5)①当时，直线的方程为；②当时，直线的方程为，即，∵时，代入方程，即为，∴直线的方程为.【题组二 定点】1．(2021·海南)直线恒过定点(    )A． B．C． D．【答案】B【解析】当，即时，，直线恒过定点.故选：B.2．(2021·全国高二(文))直线恒过一定点，则此定点为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，则，即，直线恒过点，故选：D.法二：在方程中，令得：，即，令得：，将代入得，将代入，得恒成立，∴直线恒过点，故选：D.3．(2021·云南)直线(2k﹣1)x﹣(k+3)y﹣(k﹣11)＝0(k∈R)所经过的定点是(　　)A．(5，2) B．(2，3) C．(﹣，3) D．(5，9)【答案】B【解析】直线方程可化为，故，解得定点坐标为，故选B.4．(2021·安徽)不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点A． B．(-2，0) C．(-2，3) D．(2，3)【答案】C【解析】直线(m−1)x−y+2m+1=0可为变为m(x+2)+(−x−y+1)=0令，解得.故无论m为何实数，直线(m−1)x−y+2m+1=0恒通过一个定点(−2,3)故选C.5．(2021·安徽省肥东县第二中学高二期末(理))直线过定点 A．(1，-3) B．(4，3) C．(3，1) D．(2，3)【答案】C【解析】将化为，联立，得，即直线过定点．6．(2021·舒城育才学校高二期末)直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点(    )A．(3，1) B．(0，1)C．(0，0) D．(2，1)【答案】A【解析】直线可化为，令，解得，所以直线恒过定点(3，1).故选：A7．(2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟(文))已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为(    )A．2 B．4 C．8 D．6【答案】B【解析】已知直线整理得：，直线恒过定点，即.点也在直线上，所以，整理得：，由于，均为正数，则,取等号时，即，故选：B.【题组三 直线图像】1．(2021·全国高二课时练习)在同一平面直角坐标系中，两直线与的图象可能是(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距为；直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距，所以两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距互为相反数，对于A选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为正数，不满足题意；对于B选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；对于C选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；对于D选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距均异号，满足题意，
故选：D.2．(2021·全国高二单元测试)若，则直线可能是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，直线方程可化为,，故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0．故选:C．3．(2021·全国课时练习)直线不经过的象限为(    )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】画出直线方程得：故直线不过第三象限，故选：C 4．(2021·湖南)(多选)直线y＝ax＋可能是(    )A． B． C． D．【答案】AB【解析】因为a≠0，所以C错；当a＞0时，＞0，不过第四象限，故A对；当a＜0时，＜0，不过第一象限，故D错，B对．故选：AB5．(2021·全国高二课时练习)若直线不过第一象限，则实数取值范围是__________．【答案】【解析】由题,整理直线为,因为直线不过第一象限,则,解得,故答案为：【题组四  直线方程在几何中应用】1．(2021·湖北)三角形的三个顶点是，，．(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)边所在直线的斜率因为所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为，所以高线的斜率为，又因为高线所在的直线过所以高线所在的直线方程为，即(2)设中点为，则中点，又所以边上的中线所在的直线方程为：，即：2．(2021·湖南)已知△ABC在第一象限，若，，求：(1)边所在直线的方程；(2)边和所在直线的点斜式方程．【答案】(1)；(2)，．【解析】(1)由题意，点，可得两点的纵坐标均为1，所以边所在直线的方程为.(2)因为平行于x轴，且在第一象限，且，，所以直线的方程为，直线的方程为．3．(2021·上海高二专题练习)已知直线与直线平行，并且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程.【答案】或【解析】由于直线与直线平行，设直线的方程为，在直线的方程中，令，可得；令，可得.所以，直线交轴于点，交轴于点.由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则，解得.因此，直线的方程为或.4．(2021·全国高二课时练习)已知点、，直线.(1)求线段的中点坐标及直线的斜率；(2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程.【答案】(1)线段的中点坐标为，直线的斜率为；(2).【解析】(1)根据题意，设的中点坐标为，又由点、，则，，所以，线段的中点坐标为，直线的斜率为；(2)设直线的方程为，又由直线经过点，则有，则.即直线的方程为.5．(2021·全国高二单元测试)已知直线方程为，.(1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【解析】(1) 由化简得,令 ,故直线恒过定点(2)由题得中.令有 ,故在轴上的截距为.令有.故在轴上的截距为.故,故或.当时, 化简得,当时,化简得故直线的方程为或6．(2021·台州市书生中学高二开学考试)在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点.若光线经过的重心，则长为___________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系：可得，故直线BC的方程为，的重心为，即设，其中，则点P关于直线BC的对称点，满足，解得，即，P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为，由于直线QR过的重心，代入化简可得，解得，或(舍去)，故，故故答案为：【题组五  直线方程中的最值】1．(2021·河北)已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为(    )A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【解析】可得直线AB的方程为，则可得，，则，当时，取得最大值为3.故选：B.2．(2021·全国高二(文))过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则(为坐标原点)面积取得最小值时直线方程为____________.【答案】【解析】易知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即.在直线的方程中，令，可得；令，可得.所以，点、.由已知条件可得，解得.的面积为.当且仅当时，即当时，等号成立，所以，直线的方程为，即.故答案为：.3．(2021·四川遂宁市·高二期末(文))已知函数与直线均过定点，且直线在轴上的截距依次为和.(1)若直线在轴上的截距相等，求直线的方程；(2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程.【答案】(1)或；(2)8【解析】(1)，定点，直线在轴上的截距相等，若时，则直线过原点，设为，代入得，故直线方程为，即，若时，设直线为，代入解得，故直线方程为，即，综上，直线的方程为或；(2)由题可得直线斜率存在，设为，可得，则直线l的方程为，令，得，令，可得，则三角形面积，，，，当且仅当，即时等号成立，三角形面积的最小值为.4．(2021·合肥市)直线l经过点，(1)直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.(2)直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.【答案】(1)；(2).【解析】设直线方程为，由直线l经过点可得，(1)由题可得，解得，，，则直线方程为；(2)，，∴，当且仅当，时面积取最小值，则直线方程为.5．(2020·宜宾市南溪区第二中学校)过点作直线，直线与，轴的正半轴分别交于，两点，为原点．(1)若的面积为9，求直线的方程；(2)若的面积为，求的最小值，并求出此时直线的方程．【答案】(1)或；(2)8，．【解析】(1)设，，其中，，则由直线的截距式方程得直线的方程为．将代人直线的方程，得． 依题意得，，即，所以，从而，所以，整理得：，解得，，因此直线的方程为或，整理得，或．(2)根据题意，结合(1)得：，当且仅当，即，时取等号，因此直线的方程为，即．6．(2021·进贤县)设直线的方程为.(1)求证：不论为何值，直线必过一定点；(2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程；(3)当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析；(2)周长为；直线方程为；(3).【解析】解：(1)由得，则，解得，所以不论为何值，直线必过一定点；(2)由得，当时，，当时，，又由，得，，当且仅当，即时，取等号.，，的周长为；直线方程为.(3) 直线在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而a也为正整数，所以直线的方程为.7．(2021·定远县)已知直线(1)证明：直线 过定点；(2)若直线交轴负半轴于点 ，交轴正半轴于点，为坐标原点，设 的面积为，求的最小值及此时直线的方程．【答案】(1)见解析(2)最小值为4，直线的方程为【解析】(1)证明：由已知得，无论取何值，∴时， ，时，， 直线过定点．(2)令得点坐标为 令得点坐标为∴当且仅当，即时取等号．即的面积的最小值为4，此时直线的方程为．即．8．(2021·广东)在中，已知点，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上.求：(1)点的坐标；(2)直线的方程；(3)直线与两坐标围成三角形的面积.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)设出点坐标为，边的中点在轴上，边的中点在轴上，则 ，即得 ，所以点坐标为(2)，所以，即 ，直线的方程为：(3)直线的方程为：，令 ，得 ，令 ，得，所以三角形的面积为9．(2021·无锡市)在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.(1)当取得最小值时，求直线的方程；(2)求面积的最小值.【答案】(1)(2)12【解析】(1)设直线的倾斜角为(为锐角)，由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,，则，所以当时，取得最小值，此时直线的方程为；(2)矩形OFPE面积为3×2=6，，，当且仅当时取等号，所以面积的最小值为12.