高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课时练习

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4.5.2 用二分法求方程的近似解（用时45分钟）【选题明细表】 知识点、方法题号二分法的概念1,2,3二分法的步骤4,5,6,7,12二分法求方程的近似解或函数零点8,9,10,11基础巩固1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(　　)(A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4【答案】C【解析】观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为(　　)(A)(0,1) (B)(0,2)(C)(2,3) (D)(2,4)【答案】B【解析】因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0,所以零点在区间(0,2).3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,),(0,),(0,),则下列说法中正确的是(　　)(A)函数f(x)在区间(0,)内一定有零点(B)函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点,或零点是(C)函数f(x)在(,a)内无零点(D)函数f(x)在区间（0,）或（,）内有零点【答案】B【解析】根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在（0,）或（,）中或f（）=0.故选B.4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为(　　)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【答案】B【解析】由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.5.工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起,从其外形无法分辨,仅仅知道假纪念币的质量要比真纪念币稍轻一点点,现用一台天平,通过比较质量的方法来找出那枚假纪念币,则最多只需称量(　　)(A)4次 (B)5次 (C)6次 (D)7次【答案】C【解析】利用二分法的思想将这些纪念币不断地分成两组,根据这两组的质量确定出假的在哪里,直至找出那枚假的为止.求解时需将64枚纪念币均分为两组,分别称其质量,假的一定在轻的那一组,再将这一组(共32枚)均分为两组,称其质量,这样一直均分下去,6次就能找出那枚假的,即最多只需称量6次.6.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过　　　　次二分后精确度能达到0.01. 【答案】7【解析】因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,所以≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.7.用二分法研究函数f(x)=x3+ln（x+）的零点时,第一次经计算f(0)<0,f（）>0,可得其中一个零点x0∈　　　　,第二次应计算　　　　　　. 【答案】（0,）　f（）【解析】由于f(0)<0,f（）>0,故f(x)在（0,）上存在零点,所以x0∈（0,）,第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1==.    能力提升8.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是(　　)　　(A) (4,+∞)   (B) (-∞,4)          (C){4}   (D) [4,+∞)【答案】C【解析】易知方程x2-4x+m=0有根,且Δ=16-4m=0,知m=4.9.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.x11.251.3751.406 51.4381.51.611.8752f(x)-2-0.9840.260-0.0520.1650.625-0.3154.356由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数(　　)(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个【答案】A【解析】由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.10.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:x-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20…y=2x0.329 90.378 90.435 30.50.574 30.659 80.757 90.870 61…y=x22.561.961.4410.640.360.160.040…若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为　　　. 【答案】-1或-0.8【解析】令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.11.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确度0.1).【答案】近似解可取为1.625和4.437 5.【解析】设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,f(1)=2>0,f(2)=-1<0,所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x1,因为f(1.5)=0.25>0,所以1.5<x1<2,又因为f()=f(1.75)=-0.437 5<0,所以1.5<x1<1.75,如此继续下去,得f(1)>0,f(2)<0⇒x1∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0⇒x1∈(1.5,2),f(1.5)>0,f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75),f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),f(1.562 5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625),由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解可取为1.625,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解可取为4.437 5. 素养达成12.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子.假如你是维修线路的工人师傅,你应该怎样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?【答案】只要7次就够了.【解析】如图.他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现AC段正常,则断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD中点E来查,……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右,即两根电线杆附近,设需要排查n次,则有50<<100,即100<2n<200.因此只要7次就够了.