第一章　集合与常用逻辑用语-综合拔高练-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

综合拔高练

五年高考练

考点1　集合的基本运算

1.(2021天津,1)设集合A={-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},则(A∩B)∪C=(　　)

A.{0}　　　　　　B.{0,1,3,5}

C.{0,1,2,4}　　　　　　D.{0,2,3,4}

2.(2021全国新高考Ⅱ,2)若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩∁UB=(　　)

A.{3}　　　　B.{1,6}　　　　　C.{5,6}　　　　　D.{1,3}

3.(2021全国甲文,1)设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=(　　)

A.{7,9}　　　　　　B.{5,7,9}

C.{3,5,7,9}　　　　　　D.{1,3,5,7,9}

4.(2021全国乙文,1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=(　　)

A.{5}　　　　　　B.{1,2}

C.{3,4}　　　　　　D.{1,2,3,4}

5.(2021北京,1)已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B=(　　)

A.{x|0≤x<1}　　　　　　B.{x|-1<x≤2}

C.{x|1<x≤2}　　　　　　D.{x|0<x<1}

6.(2021全国乙,2)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=(　　)

A.⌀　　　　　B.S　　　　　C.T　　　　　D.Z

考点2　集合基本运算的应用

7.(2020全国Ⅰ理,2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(　　)

A.-4　　　　　B.-2　　　　　C.2　　　　　D.4

8.(2020全国Ⅲ文,1)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为(　　)

A.2　　　　　　B.3

C.4　　　　　　D.5

9.(2020全国Ⅲ理,1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},

B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(　　)

A.2　　　　　　B.3

C.4　　　　　　D.6

10.(2020浙江,10)设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T;②对于任意的x,y∈T,若x<y,则∈S.下列命题正确的是(　　)

A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素

B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素

C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素

D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素

考点3　充分条件与必要条件

11.(2021天津,2)已知a∈R,则“a>6”是“a2>36”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

12.(2019天津,3)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

三年模拟练

应用实践

1.(2021湖南名校教育联盟月考)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩

(∁UB)={x|2<x<3},则集合B=(　　)

A.{x|-1≤x<2}　　　　　　B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|2<x<3}　　　　　　D.{x|2≤x<3}

2.(2022吉林长春北师大附属中学月考)设x∈R,则“x>3”是“|x-1|>1”的(　　)

A.充分不必要条件      B.必要不充分条件

C.充要条件            D.既不充分也不必要条件

3.(2020安徽蚌埠怀远第一中学月考)下列命题中,是真命题的是(　　)

A.∃x∈R,x2<0

B.s>0,t>1是s·t>0的充分不必要条件

C.∀k∈N,2k>k2

D.a+b=0的充要条件是a2=b2

4.(2020湖南长沙长郡中学月考)已知集合A={x|x<-3或x>1},B={x|x≤-4或x>a},若A∩(∁RB)中恰好含有2个整数,则实数a的取值范围是(　　)

A.3<a<4　　　　　　B.3≤a<4

C.3<a≤4　　　　　　D.3≤a≤4

5.(2020四川宜宾期中)“a+b∈Z”是“关于x的方程x2+ax+b=0有且仅有整数解”的(　　)

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

6.(2021河北邢台第一中学检测)命题“∃x∈{x|1≤x≤2},2x2-a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)

A.a≥1　　　　　B.a≥2　　　　　C.a≥3　　　　　D.a≥4

7.(多选)(2022吉林长春外国语学校月考)已知非空集合A,B,定义A-B={x|x∈A,x∉B},则下列说法正确的是(　　)

A.若A-B=A,则B=⌀

B.若A-B=A,则A∩B=⌀

C.若A-B=⌀,则A=B

D.若A-B=⌀,则A⊆B

8.(多选)(2022山东枣庄三中月考)以下p是q的充要条件的有(　　)

A.p:a≠0,q:y=ax2+bx+c为二次函数

B.p:x>0,y>0,q:xy>0

C.p:四边形是正方形,p:四边形的对角线互相平分

D.p:x=1或x=2,q:x-1=

9.(多选)(2022江苏镇江期中)下列命题是假命题的有(　　)

A.∀x∈R,x3≥0　　　　　　B.∃x∈R,x3=3

C.∀x∈R,x2-1=0　　　　　　D.∃x∈Z,1<4x<3

10.(多选)(2022江西临川第一中学月考)给定非空数集M,若对于任意a,b∈M,有a+b∈M,且a-b∈M,则称集合M为闭集合.下列说法不正确的是(　　)

A.集合M={-4,-2,0,2,4}为闭集合

B.正整数集是闭集合

C.集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合

D.若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合

11.(2022湖北武汉一中月考)已知集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}的子集只有两个,则a的值为　　　　. 

12.(2020天津耀华中学期中)已知p:x>1或x<-3,q:x>a(a为实数).若¬q的一个充分不必要条件是¬p,则实数a的取值范围是　　　　. 

13.(2022北京八一学校月考)已知命题p:∃x∈R,使mx2-4x+2=0为假命题.

(1)求实数m的取值集合B;

(2)设A={x|3a<x<a+2}为非空集合,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

14.(2022湖北武汉中学月考)已知集合A={x|x2-3x+2=0},

B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0}.

(1)命题p:∀x∈B,x∈A,若命题p为真命题,求实数a的值;

(2)若“x∈A”是“x∈C”的必要条件,求实数m的取值范围.

迁移创新

15.(2020北京昌平月考)对于正整数集合A={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥3),若去掉其中任意一个元素ai(i=1,2,…,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,则称集合A为“和谐集”.

(1)判断集合{1,2,3,4,5}是不是“和谐集”(不必写过程);

(2)请写出一个只含有7个元素的“和谐集”,并证明此集合为“和谐集”;

(3)当n=5时,集合A={a1,a2,a3,a4,a5},求证:集合A不是“和谐集”.

答案全解全析

综合拔高练

五年高考练

1.C　由题意得A∩B={1},又C={0,2,4},∴(A∩B)∪C={0,1,2,4},故选C.

2.B　因为集合U={1,2,3,4,5,6},B={2,3,4},所以∁UB={1,5,6},又A={1,3,6},所以A∩∁UB={1,6},故选B.

3.B　N={x|2x>7}=,故M∩N={5,7,9},故选B.

4.A　由题意得M∪N={1,2,3,4},则∁U(M∪N)={5},故选A.

5.B　因为集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},所以用数轴表示两集合中元素如图,可知A∪B={x|-1<x≤2},故选B.

6.C　依题知T⫋S,则S∩T=T,故选C.

7.B　由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=,

又∵A∩B={x|-2≤x≤1},

∴-=1,∴a=-2.故选B.

8.B　∵A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},∴A∩B={5,7,11},∴A∩B中元素的个数为3,故选B.

9.C　由得或或或

所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},故A∩B中元素的个数为4,故选C.

10.A　对于B,令S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128},

∴S∪T={2,4,8,16,32,64,128},有7个元素,∴B错误;对于C,令S={1,2,4},T={2,4,8},∴S∪T={1,2,4,8},有4个元素,∴C错误;对于D,令S={2,4,8},T={8,16,32},∴S∪T={2,4,8,16,32},有5个元素,∴D错误.故选A.

11.A　因为a>6⇒a2>36,所以“a>6”是“a2>36”的充分条件.因为a2>36⇒a>6或a<-6,所以“a>6”不是“a2>36”的必要条件.故选A.

12.B　因为{x||x-1|<1}={x|0<x<2}⫋{x|0<x<5},

所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.

三年模拟练

1.B　由题意可得B=∁U[A∩(∁UB)]={x|-1≤x≤2}.故选B.

2.A　因为{x||x-1|>1}={x|x>2或x<0}⫌{x|x>3},

所以“x>3”是“|x-1|>1”的充分不必要条件.

故选A.

3.B　对于A,不存在x∈R,使得x2<0,故错误;

对于B,s>0,t>1能推出s·t>0,但是s·t>0推不出s>0,t>1,故正确;

对于C,当k=2时,2k=k2,故错误;

对于D,由a+b=0可得a=-b,可推出a2=b2,但a2=b2可推出a=±b,不一定能得到a+b=0,故错误.

故选B.

4.B　B={x|x≤-4或x>a},所以∁RB={x|-4<x≤a},画出数轴如图,

由图可知,若A∩(∁RB)中恰好含有2个整数,则这两个整数只能是2和3,所以3≤a<4,故选B.

5.C　当a=1,b=2时,a+b=3∈Z,但Δ=a2-4b=12-4×2=-7<0,方程无解,充分性不成立;若方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,设此方程的解分别为x1,x2,且x1,x2∈Z,则x1+x2=-a∈Z,x1x2=b∈Z,所以a∈Z,b∈Z,所以a+b∈Z,所以“a+b∈Z”是“关于x的方程x2+ax+b=0有且仅有整数解”的必要不充分条件.

6.A　若命题“∃x∈{x|1≤x≤2},2x2-a≤0”为真命题,

则当1≤x≤2时,a≥(2x2)min,即a≥2.

因为{a|a≥2}⫋{a|a≥1},

所以“a≥1”是原命题为真命题的一个必要不充分条件.故选A.

7.BD　当A={1,2},B={3}时,A-B=A,B≠⌀,因此A错误;当A={1},B={1,2}时,A-B=⌀,A≠B,因此C错误;

由定义可知A-B=A时,x∈A⇒x∈A-B⇒x∉B,∴A∩B=⌀,因此B正确;

当A-B=⌀时,x∈A⇒x∈B⇒A⊆B,因此D正确.故选BD.

8.AD　若a≠0,则y=ax2+bx+c为二次函数,满足充分性,若y=ax2+bx+c为二次函数,则a≠0,满足必要性,故A符合题意.

若x>0,y>0,则xy>0,满足充分性,若xy>0,则x>0,y>0或x<0,y<0,不满足必要性,故B不符合题意.

若四边形是正方形,则四边形的对角线互相平分,满足充分性,若四边形的对角线互相平分,则四边形为平行四边形,不一定是正方形,不满足必要性,故C不符合题意.

若x=1或x=2,则x-1=,满足充分性,若x-1=,则解得x=1或x=2,满足必要性,故D符合题意.故选AD.

9.ACD　对于选项A,当x=-1时,x3=-1<0,所以∀x∈R,x3≥0为假命题.

对于选项B,若x3=3,则x=,所以∃x∈R,x3=3为真命题.

对于选项C,若x2-1=0,则x=±1,不满足∀x∈R,x2-1=0,所以∀x∈R,x2-1=0为假命题.

对于选项D,由1<4x<3,得<x<,所以不存在x∈Z,满足<x<,即∃x∈Z,1<4x<3为假命题.故选ACD.

10.ABD　当集合M={-4,-2,0,2,4}时,2,4∈M,而2+4=6∉M,所以集合M不是闭集合,A中说法错误;设a,b是任意的两个正整数,则a+b∈M,当a<b时,a-b是负数,不属于正整数集,所以正整数集不是闭集合,B中说法错误;当M={n|n=3k,k∈Z}时,设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z,则a+b=3(k1+k2)∈M,a-b=3(k1-k2)∈M,所以集合M是闭集合,C中说法正确;设A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z},易知集合A1,A2为闭集合,2,3∈(A1∪A2),而2+3=5∉(A1∪A2),故A1∪A2不是闭集合,D中说法错误.故选ABD.

11.答案　0或1

解析　因为集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}的子集只有两个,所以A中只有一个元素.

当a=0时,A=,符合题意,

当a≠0时,若A中只有一个元素,则Δ=4-4a=0,解得a=1,

所以a=0或a=1.

12.答案　{a|a≥1}

解析　由题意得,¬p:-3≤x≤1,¬q:x≤a.

因为¬q的一个充分不必要条件是¬p,

所以{x|-3≤x≤1}⫋{x|x≤a},所以a≥1.

13.解析　(1)∃x∈R,使mx2-4x+2=0为假命题,

则∀x∈R,mx2-4x+2≠0为真命题,即关于x的方程mx2-4x+2=0无解,

当m=0时,方程有解,为x=,故不成立,

当m≠0时,则有Δ=16-8m<0,解得m>2.

故实数m的取值集合B={m|m>2}.

(2)由A={x|3a<x<a+2}为非空集合,得a+2>3a,解得a<1.

因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,

所以A是B的真子集,

则解得≤a<1.

故实数a的取值范围为.

14.解析　(1)由题意得A={1,2},B={x|x2-ax+a-1=0}={x|[x-(a-1)](x-1)=0},

∵命题p为真命题,∴B⊆A,

∴B={1}或B={1,2}.

①若B={1},则a-1=1,解得a=2;

②若B={1,2},则a-1=2,解得a=3.

因此,a的值为2或3.

(2)∵“x∈A”是“x∈C”的必要条件,

∴由“x∈C”能推出“x∈A”,从而C⊆A,

因此,集合C有四种情况:

①C=A,此时解得m=3;

②C={1},此时无解;

③C={2},无解;

④C=⌀,此时Δ=m2-8<0,解得-2<m<2.

综上可知,实数m的取值范围为{m|m=3或-2<m<2}.

15.解析　(1)集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”.

(2)集合{1,3,5,7,9,11,13}为“和谐集”.

证明如下:

∵3+5+7+9=11+13,

1+9+13=5+7+11,

9+13=1+3+7+11,

1+9+11=3+5+13,

1+3+5+11=7+13,

3+7+9=1+5+13,

1+3+5+9=7+11,

∴集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”.

(3)证明:假设集合A是“和谐集”.不妨设0<a1<a2<a3<a4<a5,则集合{a1,a3,a4,a5}能分成两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,

则有a1+a5=a3+a4①或a5=a1+a3+a4②,

集合{a2,a3,a4,a5}也能分成两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,

则有a2+a5=a3+a4③或a5=a2+a3+a4④,

由①③,得a1=a2,

由①④,得a1=-a2,

由②③,得a1=-a2,

由②④,得a1=a2,

都与假设矛盾,所以假设不成立.

故当n=5时,集合A不是“和谐集”.

名师点睛　解决新定义下的集合问题时,首先要将新定义理解清楚,然后根据定义验证即可,注意思考问题要全面.