人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质练习题

第二章　一元二次函数、方程和不等式

2.1　等式性质与不等式性质　　　

基础过关练

题组一　用不等式(组)表示不等关系

1.某同学参加期末模拟考试,考后对自己的语文和数学成绩进行了估计:语文成绩x高于85分,数学成绩y不低于80分,用不等式组可以表示为　　　　. 

2.一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车现在每天行驶的路程比原来多19 km,那么现在该汽车行驶8天的路程将超过2 200 km,这一关系可用不等式表示为　　　　　　　. 

题组二　比较实数的大小

3.(2022辽东南协作体月考)已知x∈R,M=2x2-1,N=4x-6,则M,N的大小关系是(　　)

A.M>N　　　　　　B.M<N

C.M=N　　　　　　D.不能确定

4.(2020河北正定一中期中)已知a1,a2∈{x|0<x<1},记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(　　)

A.M<N　　　　　　B.M>N

C.M=N　　　　　　D.不确定

5.比较大小:+　　　　2+(填“>”“<”或“=”). 

6.(2021河北辛集中学月考)已知a>b>0,且c>d>0,则与的大小关系是　　　　. 

题组三　不等式的性质及其简单应用

7.(2022北京清华大学附属中学期中)若a>b,c<0,则下列不等式成立的是(　　)

A.ac2>bc2　　　　　　B.>

C.a+c<b+c　　　　　　D.a>b-c

8.(2020湖北武汉部分重点中学期末)下列说法正确的是(　　)

①若|a|>b,则a2>b2;②若a>b,c>d,则a-c>b-d;③若a<b<0,c<d<0,则ac>bd;④若a>b>0,c<0,则>.

A.①④　　　　B.②③        C.③④　　　　 D.①②

9.(2021北京人大附中期末)在一次调查中发现甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是(　　)

A.甲　　　　　B.乙　　　　　C.丙　　　　　D.丁

题组四　利用不等式的性质求代数式的取值范围

10.(2022吉林长春外国语学校月考)已知1≤a≤8,-2≤b≤3,则a-b的取值范围是(　　)

A.3≤a-b≤5　　　　　　B.-2≤a-b≤10

C.-2≤a-b≤5　　　　　　D.3≤a-b≤10

11.(2022浙江精诚联盟联考)若x,y满足-1<x<y<1,则x-y的取值范围是(　　)

A.-2<x-y<0　　　　　　B.-2<x-y<2

C.-1<x-y<0　　　　　　D.-1<x-y<1

12.(2022河北石家庄二中期中)若3<x<4,2<y<3,则的取值范围是　　　　.

能力提升练

题组一　比较实数的大小

1.(2022湖北襄阳期中)已知a=+,b=+,则(　　)

A.a>b>1　　　B.b>a>1       C.a>1>b　　　 　D.b>1>a

2.(2020四川成都第七中学期中)实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系成立的是(　　)

A.b>a≥c　　　　　　B.c≥a>b

C.b>c≥a　　　　　　D.c>b>a

3.(2022福建厦门双十中学阶段测试)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要的参数,其值通常在0~1之间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的大小,升级为一款新手机,则该手机“屏占比”的变化是(　　)

A.“屏占比”不变　　　　　　B.“屏占比”变小

C.“屏占比”变大　　　　　　D.不确定

4.(2022湖北武汉中学月考)已知a+b>0,则+与+的大小关系是　　　　　　. 

5.(2021河南洛阳期中)购买同一种物品,可采取两种不同的方式,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买该物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品,其中甲在两次购物时均采用第一种方式,乙在两次购物时均采用第二种方式.已知第一次购物时该物品的单价为p1,第二次购物时该物品的单价为p2(p1≠p2).甲两次购物的平均价格记为Q1,乙两次购物的平均价格记为Q2.

(1)求Q1,Q2的表达式(用p1,p2表示);

(2)通过比较Q1,Q2的大小,说明哪种购物方式比较划算.

题组二　不等式的性质及其应用

6.(多选)设a,b为正实数,则下列命题正确的是(　　)

A.若a2-b2=1,则a-b<1

B.若-=1,则a-b<1

C.若|-|=1,则|a-b|<1

D.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab|

7.(多选)(2022山东枣庄三中月考)给出下列四个选项,其中能成为x>y的充分条件的是(　　)

A.xt2>yt2　　　　　　B.x2>y2

C.xt>yt　　　　　　D.0<<

8.某花店搞活动,6枝红玫瑰与3枝黄玫瑰的价格之和大于24元,而4枝红玫瑰与5枝黄玫瑰的价格之和小于22元,那么2枝红玫瑰与3枝黄玫瑰的价格比较的结果是(　　)

A.2枝红玫瑰贵　　　　　　B.3枝黄玫瑰贵

C.相同　　　　　　D.不能确定

9.(2022福建三明一中月考)已知-1<α≤β≤2,设m=α+β,n=α-β,则m的取值范围是　　　　,n的取值范围是　　　　. 

10.已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,则9a-c的取值范围是　　　　.

答案全解全析

基础过关练

1.答案　

解析　∵语文成绩x高于85分,∴x>85.

∵数学成绩y不低于80分,∴y≥80.

∴

2.答案　8(x+19)>2 200

解析　∵汽车原来每天行驶x km,现在每天行驶的路程比原来多

19 km,

∴现在汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则现在该汽车行驶8天的路程为8(x+19)km,则8(x+19)>2 200.故答案为8(x+19)>2 200.

3.A　由题意,M-N=2x2-1-(4x-6)=2x2-4x+5=2(x-1)2+3>0,因此M>N,故选A.

4.B　由题意得0<a1<1,0<a2<1,∴M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1)>0,故M>N.故选B.

5.答案　>

解析　∵-=13+2-(13+4)

=2-4=2-2=2(-)>0,

∴>,

因此+>2+.

6.答案　>

解析　∵a>b>0,c>d>0,∴ac>bd>0,∴>>0,

∴>.

7.A　对于A,c2>0,a>b,则ac2>bc2,选项A成立;对于B,<0,a>b,则<,选项B不成立;对于C,a>b,则a+c>b+c,选项C不成立;对于D,若a=1,b=0,c=-2,则a<b-c,选项D不成立.故选A.

8.C　对于①,取a=0,b=-2,则a2<b2,①错误;对于②,取a=c=0,b=d=-1,则a-c=b-d,②错误;对于③,∵a<b<0,c<d<0,∴-a>-b>0,-c>-d>0,

∴ac>bd,③正确;对于④,∵a>b>0,∴>0,∴a·>b·,即>,又c<0,∴>,④正确.故选C.

9.C　设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为x1,x2,x3,x4,

则x1≥0,x2≥0,x3≥0,x4≥0.

由甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,可得x1+x3=x2+x4,①

由丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,可得x1+x2<x3+x4,②

由乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和,可得x2>x1+x4,③

②-①得x2-x3<x3-x2⇒2(x2-x3)<0⇒x2<x3,

②+①得2x1+x2+x3<x2+x3+2x4⇒x1<x4,

由③得x2>x1,x2>x4,

∴x3>x2>x4>x1,即阅读量最大的是丙.

故选C.

10.B　因为-2≤b≤3,所以-3≤-b≤2,又1≤a≤8,

所以-2≤a-b≤10.故选B.

11.A　 ∵-1<y<1,∴-1<-y<1,

又-1<x<1,∴-2<x-y<2.

∵x<y,∴x-y<0,∴-2<x-y<0,

故选A.

解题模板　不等式-1<x<y<1有三层意思:-1<x<1,-1<y<1,x<y,由此结合不等式的性质求解.

12.答案　1<<2

解析　由2<y<3,得<<,又3<x<4,∴×3<<×4,即1<<2.

能力提升练

1.B　由题意得c+1≥0,所以c+2≥1,c+3≥2,c+4≥3,故a=+>1,b=+>1.

易得a2=2c+5+2,b2=2c+5+2,

又(c+2)(c+3)-(c+1)(c+4)=2>0,所以b2>a2,因此b>a>1.故选B.

解题模板　比较两式大小时,若两式不好直接比较,可对两式进行相同的变形,如比较含有根式的两式的大小,可先对两式平方,再比较不同部分的大小.

2.D　由a2=2a+c-b-1可得c-b=a2-2a+1=(a-1)2,

由a+b2+1=0可得a=-b2-1≤-1,∴c-b=(a-1)2>0,∴c>b.∵b-a=b2+b+1=+>0,∴b>a.

综上可知,c>b>a.故选D.

3.C　设该手机升级前“屏占比”为,升级后“屏占比”为(a>b>0,m>0),

因为-=>0,所以该手机升级后“屏占比”变大了,故选C.

方法技巧　已知a,b,c,d均为正整数,若<,则<<.特别地,若<1=(m>0),则<<1;若>1=(m>0),则>>1.

4.答案　+≥+

解析　+-=+=

==,

∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0.

∴+≥+.

5.解析　(1)设甲两次购物时购物量均为m,则两次购物总费用为p1m+p2m,购物总量为2m,平均价格为Q1==.

设乙两次购物时所花钱数均为n,则两次购物总费用为2n,购物总量为+,

平均价格为Q2==.

综上,Q1=,Q2=.

(2)∵p1≠p2,

∴Q1-Q2=-==>0,

∴Q1>Q2.

由此可知,第二种购物方式比较划算.

6.AD　对于A,若a,b为正实数,则a2-b2=1⇒a-b=⇒a-b>0⇒a>b>0,故a+b>a-b>0,假设a-b≥1,则≥1⇒a+b≤1,这与a+b>a-b>0相矛盾,故a-b<1成立,所以A正确;对于B,取a=5,b=,则-=1,但a-b=5->1,所以B不正确;对于C,取a=4,b=1,则|-|=1,但|a-b|=3>1,所以C不正确;对于D,因为|a|≤1,|b|≤1,所以(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,即|a-b|≤|1-ab|,所以D正确.故选AD.

7.AD　若xt2>yt2,则t2≠0,能推出x>y,故选项A正确;由x2>y2不能推出x>y,故选项B错误;xt>yt时,若t<0,则x<y,故选项C不正确;若0<<,则x>y,故选项D正确.故选AD.

8.A　设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别为x元,y元,

由题意可得(*)

令2x-3y=m(6x+3y)+n(4x+5y)=(6m+4n)x+(3m+5n)y,

则解得

∴2x-3y=(6x+3y)-(4x+5y),

由(*)得(6x+3y)>×24,-(4x+5y)>-×22,

∴(6x+3y)-(4x+5y)>×24-×22=0,

∴2x-3y>0,因此2x>3y,

∴2枝红玫瑰的价格高.故选A.

9.答案　-2<m≤4;-3<n≤0

解析　由题意得-1<α≤2,-1<β≤2,

∴-2≤-β<1,-2<α+β≤4,即-2<m≤4,

∴-3<α-β<3,又α≤β,∴α-β≤0,

∴-3<α-β≤0,即-3<n≤0.

10.答案　-1≤9a-c≤20

解析　令得

∴9a-c=y-x.

∵-4≤x≤-1,

∴≤-x≤①.

∵-1≤y≤5,∴-≤y≤②.

①和②相加,得-1≤y-x≤20,

∴-1≤9a-c≤20.