人教A版（2019）高中数学必修第一册第五章《三角函数》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

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人教A版（2019）高中数学必修第一册第五章《三角函数》单元测试卷考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若，则与的终边相同；若，是第二或第三象限的角其中正确的命题个数是(    )A.  B.  C.  D. 已知，，则等于(    )A.  B. 或 C. 或 D. 若，，则值为(    )A.  B.  C.  D. 下列关于函数说法正确的是(    )A. 函数的定义域为 B. 函数为奇函数
C. 函数的最小值为 D. 函数的最小正周期为(    )A.  B.  C.  D. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上的值域为，则范围为(    )A.  B.  C.  D. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足则下列叙述错误的是(    )A.
B. 当时，点到轴的距离的最大值为
C. 当时，函数单调递减
D. 当时，函数给出下列四个结论：该函数的值域是；当且仅当时，该函数取得最大值；是周期函数，最小正周期为；当且仅当时，， 
其中正确的命题是(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）下列结论中正确的是(    )A. 终边经过点的角的集合是
B. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是
C. 若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角
D. ，，则下列说法中正确的是(    )A. 如果是第一象限的角，则角是第四象限的角
B. 函数在上的值域是
C. 已知角的终边上的点的坐标为，则
D. 已知为第二象限的角，化简给出下列四个命题，其中正确的命题有(    )A. 函数的图象关于点，对称
B. 函数是最小正周期为的周期函数
C. 设为第二象限的角，则，且
D. 函数的最小值为已知函数，则下列说法正确的是(    )A. 的最小正周期是 B. 的最小值是
C. 直线是图像的一条对称轴 D. 直线是图像的一条对称轴第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为若将点沿单位圆逆时针旋转到达点，则点的坐标为__________．
 函数的部分图象如图所示，则           ．
设，满足，则的值为_________．有下列命题中：在与角终边相同的角中，最小的正角为；若角的终边过点，则已知是第二象限角则；若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为．正确命题的序号是____________写出所有正确的序号 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知．把写成的形式；求，使与终边相同，且．已知．化简；         若，求的值．已知求函数的最小正周期和最大值，并求出为何值时，取得最大值；求函数在上的单调增区间；若，求值域．已知，函数在区间上单调递减，求的取值范围．如图所示，一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上的点从水中浮现图中点时开始计算时间．

求动点距水面的高度单位：米与时间单位：秒的函数关系与满足正弦函数模型
在水轮的一圈转动中，求点露出水面的时长？已知函数的部分图象如图所示．
 求的值求的单调增区间求在区间上的最大值和最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题综合考查了象限角与象限界角、弧度制与角度制、三角函数值与象限角的关系等基础知识，属于基础题．
根据角的定义结合三角函数的特殊值一一判断即可．
【解答】
解：第二象限角大于第一象限角，错误，例如；
不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确；
若，则与的终边相同，错误，例如；
若，则是第二或第三象限的角，错误，例如．
故正确的命题个数为，
故选A．  2.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．
由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，进行求解即可．【解答】解：，，
平方可得，即，
，，
，可得：，
解得：，或舍去，
，可得：．
故选：．  3.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．  4.【答案】 【解析】【分析】本题考查了正切函数的图象与性质，属于中档题．
利用正切函数的性质对选项ABCD一一进行分析判断即可得．【解答】解：对于、因为函数的定义域为，因此不正确；
对于、由，所以函数为偶函数，因此不正确；
对于、当时，，即可得，然后由为偶函数，周期为，可得函数的最大值为 ，所以不正确．
对于、因为函数的周期为，因此D正确；
故选D．  5.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．
利用三角函数恒等变换化简即可求解．【解答】解：





．
故选：．  6.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合图象变换关系，以及三角函数的值域是解决本题的关键．
根据三角函数的图象平移关系，求出，再结合三角函数的值域，进而可得的范围．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的，
得到函数的图象，则，
当时，，
若在上的值域为，
则，
解得：，
即的取值范围为．
故选A．  7.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题，以及确定函数的解析式．
求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论．【解答】解：由题意，，，，
点，即，代入可得，
，，故A正确；
，
当时，，
点到轴的距离的最大值为，故B正确；
当时，，函数先增再减，故C错误；
当时，，的纵坐标为，，故D正确，
故选：．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查了正余弦函数的图象和性质，三角函数的定义域和值域，属于基础题．
先作出函数在一个周期上的图象，观察函数的图象得出相应的结论．【解答】解：画出函数的图象，

由图象容易看出：该函数的值域是；不正确，
当且仅当或，时，函数取得最大值；不正确，
是周期函数，最小正周期为；正确
当且仅当，时，，正确．
故选B．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查终边相同的角及任意角的概念和弧度制，同时考查象限角及集合的子集，属于中档题．
求出终边经过点的角正切可以判断，由任意角的概念及弧度制，可以判断，设出的范围，得出的范围，从而判断，利用子集的定义可以判断．【解答】解：对于，终边经过点的角正切等于，所以终边经过点的角的集合是，所以A正确
对于，将表的分针拨慢分钟，则分针逆时针旋转，即分针转过的角的弧度数是，所以B正确
对于，若是第三象限角，则，，
因此，，
若为偶数，设，，则，，则是第二象限角，
若为奇数，设，，则，，则是第四象限的角，所以C错误
对于，，，
所以中的元素是的奇数倍的角，中元素是的整数倍的角，所以，所以D正确．
故选ABD．  10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义、三角函数的定义域与值域、同角三角函数间的关系及正弦函数的性质，属于中档题．
对于，利用角与角关于轴对称，即可判断A正确；
对于，利用正弦函数的图象与性质可知函数在上的值域是，可判断B错误；
对于，由任意角的三角函数的定义可知，点的坐标为时，可判断C正确；
对于，因为为第二象限的角，利用同角三角函数间的关系可知，可判断D错误．
【解答】
解：由于角与角关于轴对称，因此若是第一象限的角，则角是第四象限的角，故A正确；
B.函数在上的值域是，而不是，故B错误；
C.由于角的终边上的点的坐标为，则，故C正确；
D.因为为第二象限的角，所以，因此，故D错误．
故选AC ．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查的知识要点：正切函数的性质，象限角的确定，三角函数的关系式的变换，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用正切函数的性质，象限角的确定，三角函数的关系式的变换，二次函数的性质的应用判断、、、的结论．【解答】解：对于：函数的图象关于点，对称，故A正确；
对于：函数，图象关于轴对称，不是周期函数，故B错误；
对于：设为第二象限的角，即，
则，
则为第一和第三象限角，故并不能判断，且，故C错误；
对于：函数，当时，函数的最小值为，故D正确．
故选：．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查了函数的图象与性质，降幂公式，辅助角公式等，属于中档题．
先利用降幂公式和二倍角公式，辅助角公式，化简，得，结合函数的图象与性质及正弦函数的图象和性质，逐项判断．【解答】解：



．
的最小正周期为，A正确；
当时，取得最小值为，B正确；
函数的对称轴为，，
即，，
当时，，当时，，
即直线是图象的一条对称轴，D正确，C错误．
故答案为．  13.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式，属于基础题．
首先根据点的坐标求出和，将点沿单位圆逆时针旋转到达点，利用诱导公式即可求出点的坐标．【解答】解：在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，
且点的纵坐标为，
，，
将点沿单位圆逆时针旋转到达点，
点的坐标，
即，
，
故答案为：  14.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象及性质，考查学生三角函数性质综合应用掌握情况．
根据图象，已知点坐标在图象上，求出函数的表达式，最后代入求值即可得到答案．【解答】解：由题图可知，，所以，所以，
由点在函数图象上，可得，
故，
所以，
又，所以，
故，
所以
．
故答案为．  15.【答案】 【解析】【分析】
本题考查两角和与差的三角函数及三角函数的辅助角公式和二倍角公式，属基础题．
解题时先求出的值，再由二倍角公式求和的值，最后用凑角法由求解得答案．
【解答】
解：由得，
故，
又，故为锐角，
，

，

，
则

．
故答案为   ．  16.【答案】 【解析】本题考查终边相同角及象限角以及任意角的三角函数值与扇形面积公式，属于中档题．
利用终边相同角判定，利用任意角三角函数的定义判定，由象限角判定，由扇形面积公式判定．
解：，由且，可得，故所求的最小正角，正确；
，由三角函数的定义可得，正确；
，因为是第二象限角，
所以，，
所以，，
所以，错误
，弧长为，圆心角为，则扇形的半径为，所以扇形面积为，正确．
正确命题的序号是．
故答案为．
 17.【答案】解：．
与终边相同，
又，
，
．
，，，．
的值是，，，． 【解析】本题的考点是终边相同的角的集合表示，注意角的单位需要统一起来，一般用弧度制进行表示，必须掌握角度制和弧度制之间的相互转化．
根据角度制和弧度制的转化，即把转化为弧度数，再表示为形式；
由知，再由确定的值．
 18.【答案】解：．由，又，，
 ． 【解析】本题考查了诱导公式，三角形的化简求值，同角间的关系，属中档题．
根据诱导公式对进行化简即可．
利用同角三角函数关系式求解．
 19.【答案】解：，
当，即，
即，时，取得最大值为．
令，，
得，，
设，，，
所以，
即函数在上的单调增区间为；
由，得，
根据正弦函数图象可知．
．
所以的值域为． 【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的最值，周期，单调性和值域的关系是解决本题的关键，难度不大．
根据三角函数的周期公式以及最值性质进行求解即可；
求出函数的单调递增区间，结合角的范围进行求解；
求出角的范围，结合函数的值域和单调性的关系进行求解．
 20.【答案】解：，，

函数在区间上单调递减，
周期，
则，
解得． 【解析】本题主要考查函数的性质，关键是熟练掌握函数的单调性．
根据函数在区间上单调递减，列不等式组，可得的取值范围．
 21.【答案】解：建立如图所示的直角坐标系，设角是以为始边，为终边的角，
每秒钟所转过的角为，则在时间内所转过的角为，
由题意可知水轮逆时针转动，得，
当时，，得，即，
故所求的函数关系式为．

由点露出水面，即．
即，
可得
解得：，
，，
．
在水轮转动的一圈内，有的时间点露出水面． 【解析】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，考查三角函数的最值，周期，解析式，为中档题．
先建立直角坐标系，则，根据的最大和最小值求得和，利用周期求得，当时，，进而求得的值，则函数的表达式可得；
由于最大值为，即可求得的范围，得到所求．
 22.【答案】解：由函数的部分图象知，
最小正周期为，
则由，求得；
由得，
令，，
解得，，
，，；
的单调递增区间为；
，，
，；
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值． 【解析】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
由函数的部分图象得出、和的值；
由正弦函数的单调性求出的单调递增区间；
根据的取值范围求出的取值范围，即可求得的最大、最小值．