人教A版（2019）高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元测试卷（困难）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元测试卷

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知，下列各式中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设、、为正实数，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 科赫曲线是一种外形象雪花的几何曲线如图，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤得到：任画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样原来的一条线段就变成了条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到条更小的线段构成的拆线，称为“二次构造”，，如此进行“次构造”，就可以得到一条科赫曲线若要在构造过程中使得到的拆线的长度达到初始线段的倍，则至少需要通过构造的次数是取(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 定义在上的奇函数同时满足：对任意的都有；当时，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数且时，，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是(    )

A. 若，，则是等差数列
B. 若，，则数列的前项和为
C. 若，，则是等比数列
D. 若，，则

10. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数图象的公共点，那么称这个点为“好点”在下面的四个点中，不是“好点”的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 某一池溏里浮萍面积单位：与时间单位：月的关系为，下列说法中正确的说法是(    )

A. 浮萍每月增长率为
B. 第个月时，浮萍面积就会超过
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 若浮萍蔓延到，，所经过时间分别为，，，则

12. 给出下列结论，其中正确的结论是(    )

A. 函数的最大值为
B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称
D. 已知定义在上的奇函数在内有个零点，则函数的零点个数为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 写出同时满足以下三个条件的一个函数                    

14. 已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当轴，点的横坐标是_______
15. 如图，已知，是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形其中为直角顶点，则点的横坐标为__________．

16. 已知函数，，若，则的取值范围为__________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知向量，，函数．

求函数的解析式和单调递增区间；

若，，分别为三个内角，，的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；

若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值．

18. 已知函数，其中，为非零常数，且有唯一的零点．

求，的值；

若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

19. 已知且满足不等式．
    求实数的取值范围；
    求不等式；
    若函数在区间有最小值为，求实数的值．
20. 已知函数是函数的反函数．

求的解析式

若，试分别写出使不等式：

成立的自变量的取值范围．

21. 已知函数，当点在函数的图象上运动时，对应的点在的图象上运动，则称是的相关函数．

解关于的不等式；

若对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，求的取值范围；

设函数，，当时，求的最大值．

22. 已知，，函数．

当时，求函数的单调区间；

当时，对于，使得恰有四个零点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数幂的运算，考查学生的计算能力，
利用运算法则逐个验证即可．

【解答】

解：因为，
所以平方得，所以正确；
所以，所以，正确；
因为，所以，不可能为负，错误；
因为，所以，正确．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查指数幂的运算、对数的定义及运算性质，属中档题．
设，将，，用表示，再用作商比较法比较大小即可．
【解答】
解：，，为正数，
设，
，
，
，
，
，
，
所以，
所以，
又因为，，所以，
故选C．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本考查对数的运算与估算，指数函数模型的运用，不等式求解，考查了分析和运算能力，属于中档题．
根据题意，记初始线段长度为，一次构造”后的折线的长度为，二次构造”后的折线的长度为，，“次构造后的折线的长度为，则要使得到的折线的长度达到原来的倍，应满足，然后解不等式即可求解．
【解答】
解：由题意，记初始线段长度为，一次构造”后的折线的长度为，
二次构造”后的折线的长度为，，
次构造后的折线的长度为，
则要使得到的折线的长度达到原来的倍，应满足，
两边同时取对数得，
即得，，
代入数据得，
故至少需要通过构造的次数是．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分段函数的运用，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．运用指数函数的单调性和二次函数的单调性，求出当时，当时，函数的值域，
由题意可得的不等式，计算即可得到．
【解答】
解：当时，，，
所以在区间上是增函数，
若的值域为
则解得．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三个数大小的判断，对数的运算，是拔高题．
根据，可得，然后由和，得到，再确定，，的大小关系．

【解答】

解：
，
；
，
，，；
，
，，，
综上，．
故选：．

6.【答案】 

【解析】【解答】
本题考查了函数的零点与函数图象的交点的转化、函数图象的作法及对数不等式的解法，属中档题．
由函数的零点与函数图象的交点的转化得，函数恰有个零点，即函数的图象与函数的图象有个交点，由函数图象的作法及对数不等式的解法，即可得解．
【解答】
解：因为函数恰有个零点，
所以函数的图象与函数的图象有个交点，
当时，，则，
因为为奇函数，所以．
当时，，则，
因为为奇函数，所以作出如图所示的图象，

由图可知
，
解得，
故选C．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数、考查二次函数和对数函数的性质，属于较难题．
作出图象，利用二次函数和对数函数的性质，结合不等式的性质即可求解．

【解答】

解：作出图象如图所示：

设，由图象可知：时有四个交点，可得，
解得
，关于对称，
又，则，
，
，
，
，
即 的取值范围为．
故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究函数的极值，解题的关键是熟练掌握函数零点存在性定理的计算，属于难题．
由已知条件对函数求导，得到，先对实数进行分类讨论得到，再，利用二次函数性质考虑函数的导函数的零点，得到其在上仅有一个零点，记为，考虑原函数在有两个零点，得到关于和的等式与不等式，进而得到实数的取值范围．

【解答】

解：由题意，对函数求导，有
，
显然当时，，函数在上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；
当时，，
令，则，，
根据二次函数性质可知在上仅有一个零点，记为，
设，则，当时，有，即当时，，
当时，有，即当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又时，，时，，
考虑到函数有两个不同的零点，的最小值满足：
，
又由得，将代入式得，
即得，
记，根据函数单调性可知在上单调递增，
又，所以，，
所以，
所以实数的取值范围是．
故选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查数列的递推关系，等差数列的判断与证明，等比数列的判定与证明，数列的裂项相消法求和，分组转化法求和，涉及等差数列的通项与求和，等比数列的通项与求和，指数幂运算，属较难题．
由，结合指数幂运算转化条件可得，由此可判定；由及可求得，继而求解出，用裂项相消法求和可判定；由，结合指数幂运算转化条件可得即可判定；由及可求得，用分组转化法求和即可判定．
【解答】
解：对于，若，，则，
即，
因为，所以，
即，所以是等差数列，故A正确；
对于，因为，，由可得，
所以，则，
所以数列的前项和为，故B错误；
对于，若，，则，
即，因为，
所以，即，即，
所以是等比数列，故C正确；
对于，因为，，由可得，即，
所以，故D正确．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是指数函数与对数函数．
可设出指数函数与对数函数，再对选项验证即可．

【解答】

解：设指数函数与对数函数分别为，，
对于选项A，因为，
所以点不在对数函数图象上，不是“好点”；
对于选项B，由，
所以点不在对数函数图象上，不是“好点”；
对于选项C，由，得，与已知矛盾，
故不在指数函数图象上，不是“好点”；
对于选项D，由，得，
所以在指数函数图象上，
由，得，
所以在对数函数图象上，
所以是“好点”；
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数函数基本性质的应用，考查了对数函数及其性质以及对数的运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于较难题．
由可判断；将代入可判断；分别求出浮萍第个月增加的面积和第个月增加的面积可判断；分别求出，再由对数运算可判断．

【解答】

解：由题意可知：浮萍面积单位：与时间单位：月的关系为，
对于选项，由可得浮萍每月的增长率为，选项正确；
对于选项，第个月时，浮萍的面积为，选项正确；
对于选项，浮萍第个月增加的面积为，
第个月增加的面积为，，选项错误；
对于选项，由题意可得，，，

又因为，
所以，选项正确，
故选ABD ．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数函数的性质，对数函数的性质，函数的零点个数以及复合函数的单调性，属于中等题．
由指数函数的性质可判断；由对数函数的性质及复合函数的单调性可判断；由反函数的定义可判断；由奇函数的性质可判断．

【解答】

解：错，令，则的最大值为，的最小值为；
错，函数在上是减函数，，解得；
对，函数与互为反函数，函数与的图像关于直线对称；
对，定义在上的奇函数在内有个零点，
在在内有个零点，
又，
函数的零点个数为．
故选CD 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性，指数幂的运算，不等式的性质，属于较难题．
定义域为，由函数的奇偶性可知满足，由指数幂的运算可知满足，，且，，，作差可得，满足，从而得出结果．
【解答】
解：定义域为，
，满足，
，满足，
，且，
，，

，
，
，满足．
故答案为：答案不唯一．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本小题主要考查指数函数图象、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力，属于较难题．设点、的横坐标分别为、则点、纵坐标分别为、，解出的坐标，根据条件求出与的等量关系，然后根据、的斜率相等建立等式关系，求出所求即可．
【解答】
解：设点、的横坐标分别为、则点、纵坐标分别为、．
因为、在过点的直线上，所以
过作轴的平行线交函数的图象于点
点
而轴，
即
将代入得，
于是点的横坐标为
故答案为：  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查对数的运算性质和运用，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．
设，代入函数解析式，再由等腰直角三角形可得再由对数的运算性质和方程思想，计算即可得到所求值．
【解答】

解：设，

则

由是等腰直角三角形其中为直角顶点，

可得

即有

化简可得

解得
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数性质，对数函数及其性质运用，不等式求解，考查了分析和运用能力，属于拔高题．
先根据题意得到表达式，然后分段解不等式即可求解．

【解答】

解：由题意，要使有意义，则，
当时，成立，
当时，由，解得，

当时，由，即，
，解得，即；
当，，即，
，解得，即，
综上所述的取值范围为，
故答案为．

17.【答案】解：由题意知，

，
令，解得：，
的单调递增区间为．
，，，
即，，
又，．
假设三角形存在，由正弦定理可得，，，
当时，，
，三角形无解．
当时，，
，三角形有唯一解．
当时，，此时
，有两个不同的值，故三角形有两解．
当时，，，故三角形有唯一解．
综上所述，当时，三角形无解当或时，三角形有唯一解
当时，三角形有两解．
，
方程可化为，
即，
化简得：，
即，
或，
又时，方程有三个不同的实根，
且当时，，
在上有两个不同的实根为，，
又，，
，解得：，
易知，关于对称，
，即，
．
综上所述，的取值范围为，的值为． 

【解析】本题向量的数量积运算，正弦函数的性质与解三角形．
利用向量的数量积运算求得解析式，即可求得单调区间
利用正弦定理判断解的数量
对已知式子化简，求根的值，继而求得的取值范围．
 

18.【答案】解：由已知，是的唯一零点，

所以即有两个相等的实根，

即

得

由可得，所以可化为，

即，

令，因，故，则，

记，因为，

故，

所以的取值范围是；

当时，，所以不是方程的解；

令，

由已知有有两个不同的实数解，其中，或．

记，

则 或  

解不等式组得，而不等式组无实数解．

所以实数的取值范围是．

【解析】本题考查函数零点与方程根的关系及指数函数对数函数的性质，同时考查二次方程根的分布．

将已知转化有两个相等的实根即可求解

不等式可化为，故有，，求出的最小值，从而求得的取值范围；

方程可化为：，令，则，构造函数，结合等价转化的思想即可求得的范围．

19.【答案】解：由题意，且满足不等式．
可得
解得：，
故得实数的取值范围是．
由可知，对数函数是单调递减函数．
则解得：．
故不等式的解集为
由可知，对数函数是单调递减函数．
函数在区间有最小值为，即
可得：． 

【解析】本题主要考查指数，对数不等式的求解，根据对数函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题．
根据指数函数的单调性即可求解；
根据对数的单调性即可求解
根据对数的单调性在区间有最小值为，可得，可得的值．
 

20.【答案】解  函数是函数的反函数，．

作出函数，， 在同一直角坐标系中的图象，可得，，下面借助图象解决问题．

，，解集为．

，或，解集为

【解析】略
 

21.【答案】解：依题意，，则，解得，
所求不等式的解集为；
由题意，，即的相关函数为，
对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，
当时，恒成立，
由，，得，
在此条件下，即时，恒成立，
即，即在上恒成立，
，解得，
故实数的取值范围为．
当时，由知在区间上，，
，
令，则，
令，则，
，
当且仅当“”时取等号，
的最大值为． 

【解析】本题考查对数函数的图象及性质，考查换元思想的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题．
利用对数函数的性质可得，解出即可；
根据题意，求得，依题意，在上恒成立，由此得解；
结合可知，，则只需求出的最大值即可．
 

22.【答案】解：当时，
当时，开口向上，其对称轴为，所以在上单调递增；
当时，开口向下，其对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减；
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
当时，，所以当时，
令得，，即，
所以或，
若恰有四个零点，
即函数与，有四个交点，作出函数的图象，如图

又，，，，，
要使函数与，有四个交点，
则或，解得或，故的取值范围． 

【解析】本题考查分段函数的单调性及函数的零点存在性定理，以及函数图象的应用，属于较难题目．
将代入，去绝对值得分段函数，根据二次函数的性质得出函数的单调区间即可；
由，得出，令，可得或，将问题转化为与，有四个交点，结合函数图象得出的取值范围即可．