2021-2022学年四川省成都七中高新校区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省成都七中高新校区七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 若有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 俗话说：“水滴石穿”，水滴不断地落在一块石头的同一个位置，经过几年后，石头上形成了一个深度为的小洞，数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 李老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有，，和四种规格，小雨同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取

A.  B.  C.  D.

5. 一个角的补角比这个角的余角的倍少，这个角为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，下列条件中，不能判断的是

A.  B.
C.  D.

7. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

8. 已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是

A. 自变量是传播速度，因变量是温度
B. 温度越高，传播速度越快
C. 当温度为时，声音可以传播
D. 温度每升高，传播速度增加

9. 下列说法中正确的有
   在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行；
   如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
   平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线；
   过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
   过点作直线的垂线，垂足为，线段叫作点到直线的距离．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，在中，、分别是，的角平分线，连接并延长交于点，若，则的度数是

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共9小题，共36分）

11. 若是一个完全平方式，则的值是______．
12. 若，则______．
13. 将一副三角板如图放置，使点落在上，若，则的度数为______．
    
     

14. 王大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为米，边的长为米，则与的关系式是______．
15. 已知，则______．
16. 若，则的值为______．
17. 已知一个角的两边分别和另一个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的倍少，这两个角的度数分别是______．
18. 已知，则______．
19. 如图，已知，一条光线从点出发后射向边．若光线与边垂直，则光线沿原路返回到点，此时．
    当时，光线射到边上的点后，经反射到线段上的点，易知若，光线又会沿原路返回到点，此时______
    
    若光线从点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点，则锐角的最小值______

三．解答题（本题共9小题，共84分）

20. 计算下列各式：
    
    ．
21. 先化简，再求值：，其中，．
22. 如图表示甲步行与乙骑自行车在同一条直线路上同向行驶行走的路程，与时间的关系，观察图象并回答下列问题：
    乙出发时，乙与甲相距______千米；
    走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为______小时；
    乙从出发起，经过______小时与甲相遇；
    乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？

23. 如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，，．
    求证：．
    若，，求的度数．

24. 如图，在中，平分，点在上，点在的延长线上，交于点，且．
    与平行吗？为什么？
    如果，请用含的代数式表示的度数．

25. 数学活动课上，老师准备了图中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图所示的正方形．
    请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积和．
    
    方法：______；
    方法：______．
    请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．
    根据题中的等量关系，解决如下问题：
    已知，，求和的值；
    已知，求的值．
26. 某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都折优惠．”若全票价是元张，设学生人数是，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为．
    分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
    学生们通过计算发现，选择两家旅行社的费用一样多，则共有多少人参加旅游？
27. 阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即例如：请根据阅读材料解决下列问题：
    已知，求的值；
    当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
28.  已知如图，、分别是的外角、的角平分线，、分别是、的角平分线，、分别是、的角平分线，．
    当时，______，______；
    当______时，；
    如图，当时，、所在直线交于点，求的度数；
    在的条件下，直接写出、、三角之间的数量关系：______．
     

 
答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】
解： ，故 A 错误；
B. ，故 B 错误；
C. ，故 C 正确；
D. ，故 D 错误；
故选 C ．   

2.【答案】

【解析】解：若有意义，
则，
解得：．
故选：．
直接利用负整数指数幂的定义，进而得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】解：设第三根木棒的长为，
已经取了和两根木棍，
，即．
四个选项中只有不在其范围内，符合题意．
故选：．
先设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系求出的取值范围，找出不符合条件的的值即可．
本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
 

5.【答案】

【解析】解：设这个角为，
这个角的补角为，这个角的余角为，
这个角的补角比这个角的余角的倍少，
，
解得：，
故选：．
先设出这个角，再分别表示出这个角的补角和余角，根据题干中的等量关系进行计算即可求解．
本题考查余角和补角，解题的关键是利用补角和余角的关系列出方程．
 

6.【答案】

【解析】解：、和是直线、被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不符合题意；
B、和是直线、被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不能判断，符合题意；
C、和是直线直线、被直线所截形成的同位角，同位角相等，可以判断，不符合题意；
D、和直线直线、被直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断，不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理分别进行判断即可
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；另外要能确定“三线八角”中的截线从而准确找出另外两线平行．
 

7.【答案】

【解析】解：根据的结构特征可得，
选项A中的运算可以利用平方差公式，
选项B中的运算可以利用平方差公式，
选项C中的运算可以利用平方差公式，
选项D中的运算不能利用平方差公式，
故选：．
根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确判断的前提．
 

8.【答案】

【解析】解：、自变量是温度，因变量是传播速度，故原题说法错误；
B、温度越高，传播速度越快，故原题说法正确；
C、当温度为时，声音可以传播，故故原题说法正确；
D、温度每升高，传播速度增加，故原题说法正确；
故选：．
根据所给表格，结合变量和自变量定义可得答案．
此题主要考查了常量与变量，关键是掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
 

9.【答案】

【解析】解：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故正确；
两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故正确；
平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故错误；
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
过点作直线的垂线，垂足为，线段的长叫作点到直线的距离，故错误．
故正确的有个．
故选：．
根据平行线的判定与性质、点到直线的位置关系、平行公理及推论判断．
本题考查了平行线的判定与性质、点到直线的位置关系、平行公理及推论，熟练掌握平行线的判定与性质、点到直线的位置关系、平行公理及推论是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：、分别是，的角平分线，
平分，
，
，
，
，
，
故选：．
根据、分别是，的角平分线，可以得出平分，再利用三角形外角的定义得出，再利用三角形内角和定理进行求解即可．
本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形外角的定义、角平分线的定义及性质等知识是解答此题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：是一个完全平方式，
．
故答案为：．
根据完全平方式的结构特征解决此题．
本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，





，
故答案为：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂乘法的法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂乘法的法则是解决问题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，为等腰直角三角形，
，
是的外角，
．
故答案为：．
先根据及三角板的度数求出的度数，再根据三角形的外角性质即可求出的度数．
本题考查的是平行线的性质及三角形的外角性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
 

14.【答案】

【解析】解：由周长的意义可知，，
故答案为：
关根据周长的意义进行计算即可．
本题考查函数关系式，理解周长的定义是解决问题的关键．
15.【答案】

【解析】解：，
，






，
故答案为：．
先求出，再变形，最后先后两次整体代入，即可求出答案．
本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．
 

16.【答案】或或

【解析】解：当，时，，则的值为；
当时，，则的值为；
当，是偶数时，，则的值为；
综上所述，的值为或或．
故答案为：或或．
分三种情况进行讨论：任意一个非零数的零次幂都等于，的任意次幂等于，的偶次幂等于，进而得出的值．
本题主要考查了有理数的乘方以及零指数幂，关键是掌握零指数幂：．
 

17.【答案】，或，

【解析】解：设这两个角的度数分别是和，
两个角的两边分别平行，
或．
一个角比另一个角的倍少，
可设
当，，
解得：，；
当，，
解得：，．
故答案为：，或，．
根据两个角的两边分别平行可知这两个角相等或互补，再根据一个角比另一个角的倍少，设未知数建立方程求解即可．
本题考查平行线的性质，解题关键是熟知两个角的两边分别平行时这两个角相等或互补．
 

18 .【答案】

【解析】解：，
，
原式





．
由已知条件求得的值，再把原式化成的代数式，多次整体代入计算便可．
本题主要考查了因式分解的应用，根据已知，正确将原式分解出是解题关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
如图：

当时，光线沿原路返回，
，
，
，
，
由以上规律可知，，
当时，取得最小值，最小度数为，
故答案为：，．
根据入射角等于反射角得出，再由是的外角即可得度数；如图，当时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出、的度数，从而得出与具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．
本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．
 

20.【答案】解：


；



．

【解析】先算负整数指数幂，零指数幂，再算绝对值，最后算加减即可；
先利用多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项，最后算整式的除法即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

21.【答案】解：，

，
当，时，
原式


．

【解析】先根据单项式乘多项式，平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

22.【答案】   

【解析】解：由图象可知，乙出发时，乙与甲相距千米．
故答案为：；
由图象可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为小时，
故答案为：；
图图象可知，乙从出发起，经过小时与甲相遇．
故答案为：；
不一样．理由如下：
乙骑自行车出故障前的速度千米小时．
与修车后的速度千米小时．
所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．
根据时甲乙两人的路程差即为两人的距离解答；
根据不变的时间即为修车时间解答；
根据两人的函数图象的交点即为相遇写出时间即可；
根据“速度路程时间”解答即可．
本题考查一次函数的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用图中信息解决问题，是中考常考题型．
 

23.【答案】证明：连接，

在和中，
，
≌，
；
解：，，
，
，
，
，
．

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出；
由等腰三角形的性质得出，求出的度数，则可求出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明≌是解题的关键．
 

24.【答案】解：与平行，理由如下：
平分，
，
，，
，
，
．
．
，
，
．

【解析】首先根据角平分线的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，因为，可知，从而得到，即可判定．
根据中结论可知，所以，再根据三角形内角和定理可求．
本题考查平行线的判定和三角形内角和定理，解题关键是结合图形熟练运用三角形内角和定理以及平行线的性质和判定定理．
 

25.【答案】 

【解析】解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为，
故答案为：，；
由题意得，；
由题结论可得，
，时，


，

；


；
设，，
可得


，
由题结论可得，
，
又，
且由，可得，
．
利用阴影部分直接求和和总面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果；
由图中阴影部分的面积表示可得：；
由可得，故，；
设，，可得，从而利用及的值可求得此题结果．
此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题．
 

26.【答案】解：学生人数是，由题意可知，
，
；
两家旅行社的费用一样多，
，
，
，
总人数为，
故共有人参加旅游．

【解析】根据收费总额学生人数单价校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费；
令，求得，然后求出总人数即可．
本题考查了一次函数的应用，运用一次函数的解析式解决方案设计问题的运用，在解答时根据两个解析式建立方程或不等式是关键．
 

27.【答案】解：，
，
，
，，
，，
；



，
而，
所以代数式取得最小值时，
有，解得，
当，时，代数式取得最小值，最小值为．

【解析】将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答；
首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式进行配方，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．
本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
 

28.【答案】解：；；
；
，
，
；
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
根据三角形的外角性质分别表示出 与 ，再根据角平分线的性质可求得 ，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出 ， ，求出 的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
根据平行线的性质得到 ，依此求解即可；
根据题意得到 ，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到 的度数；
分别用 表示出 、 、 ，再相加即可求解．
【解答】
解： ， ，
，
、 分别是 的外角 、 的角平分线，
，
，
、 分别是 、 的角平分线，
， ，
，
，
故答案为 ； ；
，
，
、 分别是 、 的角平分线， ，
，
即 ，
解得 ．
故答案为 ；
见答案；
，
， ， ．
、 、 三角之间的数量关系： ．
即