2021-2022学年四川省成都九中光华校区、泡桐树中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省成都九中光华校区、泡桐树中学七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 某种冠状病毒的直径米，则这种冠状病毒的直径单位是米用科学记数法表示为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3. 下列各式能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 已知：如图，点、分别在、边上，≌，，，则线段的长是

A.  B.  C.  D.

6. 已知小明从地到地，速度为千米小时，，两地相距千米，若用小时表示行走的时间，千米表示余下的路程，则与之间的函数表达式是

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法正确的是

A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 两个等边三角形一定全等
C. 全等三角形的面积一定相等 D. 面积相等的两个三角形全等

8. 如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分剪下，拼成右边的矩形，由图形到图形的变化过程能够验证的一个等式是

A.  B.
C.  D.

9. 已知，，是的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为

A.  B.  C. 或 D.

10. 如图，中，，为中点，延长交于，为上一点，且于，下列判断，其中正确的个数是
    是中边上的中线；
    既是中的角平分线，也是中的角平分线；
    既是中边上的高线，也是中边上的高线．

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共9小题，共36分）

11. 计算：______．
12. 已知是一个完全平方式，则的值是______．
13. 如图，由，可得：______，理由是______．

14. 已知，则的值为______．
15. 若，则值为______．
16. 设、、是的三边，化简： ______ ．
17. 若的结果不含和项，则______．
18. 如图，，平分，平分交的延长线于点，若，则的度数为______．
     

19. 小雪和小松分别从家和图书馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行．小雪开始跑步，中途在某地改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，小雪先出发分钟后，小松才骑自行车匀速回家．小雪到达图书馆恰好用了分钟．两人之间的距离与小雪离开出发地的时间之间的函数图象如图所示，则当小松刚到家时，小雪离图书馆的距离为          米．
    
     

三．解答题（本题共9小题，共84分）

20. 化简：
    ；
    ．
21. 先化简，再求值：，其中，．
22. 如图，直线、相交于点，平分，，若，求的度数．
    
     

23. 如图，利用尺规，在的边上方作，并证明：尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法．
     

24. 已知：如图，，，，，．
    求证：； 
    求的度数．

25. 如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图
    观察图请你写出、、之间的等量关系是．
    根据中的结论，若，，求的值．
    变式应用：若，求．

26. 织金县某学校团支部书记暑假带领该校“优等生”去旅游，甲旅游社说：“若团支部书记买全票一张，则学生可享受半价优惠”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都折优惠”若全票价是元，设学生人数为，甲旅行社收费为、乙旅行社收费为求：
    分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
    当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？
    就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
27. 如图，点在射线、之间，且．
    求证：；
    如图，若点是射线上的一点，且，平分交射线于点，，求的度数．

阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．
请根据阅读材料解决下列问题：
比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
已知，，求的值；
当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选B．
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
 

2.【答案】

【解析】解：米，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】解：，不能用平方差公式计算；
，能用平方差公式计算；
，不能用平方差公式计算；
，不能用平方差公式计算；
故选：．
根据题意，对各选项进行判断．
本题考查了平方差公式，属于基础题．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
由垂线的性质和平角的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得出的度数．
本题考查了平行线的性质、垂线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出的度数是解决问题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：≌，
，，
．
故选：．
根据全等三角形的性质求出的长，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的性质求出的长．
 

6.【答案】

【解析】解：用小时表示行走的时间，千米表示余下的路程，则与之间的函数表达式是：．
故选：．
直接利用总路程行驶的路程余下的路程，进而得出答案．
此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确理解题意表示出行驶路程是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：、两直线平行，同旁内角互补，说法不符合题意；
B、两个等边三角形一定全等，说法不符合题意；
C、全等三角形的面积一定相等，说法符合题意；
D、面积相等的两个三角形全等，说法不符合题意；
故选：．
根据平行线的性质，全等三角形的判定定理，全等三角形的性质判断即可．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定定理，全等三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：由图形可知剪掉后剩下的图形面积是：，
图形的长为，宽为，所以面积是：，

故选：．
通过计算图和图的面积直接得出式子相等的结论．
本题以平方差公式的几何背景为考点，解题的关键是通过推行面积相等来得到式子相等的结论．
 

9.【答案】

【解析】解：，
且，
、，
为方程的解，
或，
又，即，
，
则的周长为，
故选：．
利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而求出的周长．
此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：为中点，所以是边上的中线，故正确；
因为，所以是中的角平分线，是中的角平分线，故错误；
因为于，所以既是中边上的高线，也是中边上的高线，故正确．
故选：．
根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．
熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：

．
故答案为：．
利用零指数幂及负整数指数幂对式子进行运算即可．
本题主要考查负整数指数幂，零指数幂，解答的关键是熟记非实数的次幂的值为．
 

12.【答案】

【解析】解：是一个完全平方式，
，
．
故答案为：．
根据完全平方公式的特点求解．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．完全平方公式：．
 

13.【答案】  同旁内角互补，两直线平行

【解析】解：由，可得：，理由是同旁内角互补，两直线平行；
故答案为：，同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，从而可求解．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

15.【答案】解：原式

．
原式

．

【解析】根据整式的乘除运算法则即可求出答案．
完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算法则，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则、乘除运算法则、完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．
 

16.【答案】解：当，时，
原式

 

【解析】根据整式的运算法则即可求出答案，
本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：设，；
平分，
，
则，
解得：，
，
，
，
．

【解析】设，；根据题意列出方程，得出，求出，即可求出．
本题考查了垂线、对顶角、邻补角的知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示：，
，
．

【解析】直接利用作一角等于已知角，进而得出：，再利用平行线的判定方法得出答案．
此题主要考查了基本作图以及平行线的判定，正确掌握作一角等于已知角是解题关键．
 

19.【答案】证明：，，
，
两直线平行，同位角相等
已知
等量代换
内错角相等，两直线平行

解：，
两直线平行，同旁内角互补
，，
，
，
．

【解析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．
求出，求出，根据平行线的判定推出即可；
根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质求出即可．
 

20.【答案】解：图面积可表示为或，
可得；
由题结论可得，
，
，
当，时，




，
，
，
当时，




．

【解析】由图面积计算可得；
由题结论可得，所以；
由可得，所以，然后计算即可．
此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形得到与完全平方公式相关的关系式，并能运用所得结论解决相关问题．
 

21.【答案】或

【解析】解：当，时，；
当时，；
当时，，此时，不符合题意；
故答案为：或．
根据任何非零的数的零指数幂都等于，的任何次幂都等于，的偶次幂等于分别计算即可．
本题考查了零指数幂，有理数的乘方，考查分类讨论的数学思想，掌握是解题的关键．
 

22.【答案】

【解析】解：、、分别为的三边长，
，，


，
故答案为：．
根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．
本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算，熟记性质并去掉绝对值符号是解题的关键．
 

23.【答案】

【解析】解：原式，
根据题意，令，，
解得：，，
，
故答案为：．
利用多项式乘以多项式的法则将原式计算，令合并后的项和项系数为即可得到答案．
本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
 

24.【答案】

【解析】解：如图，延长交于由题意可以假设，．

则有，
可得：，
，
，
，
，
故答案为．
如图，延长交于由题意可以假设，构建方程组证明即可解决问题．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

25.【答案】

【解析】解：

由图象可得：家和图书馆相距米，小雪的跑步速度为：米分钟，
小雪步行的速度为：米分钟，
设小雪在第分钟时改为步行，列方程得：
，
解得：，
小松骑车速度为：米分钟，
小松到家时的时间为第：分钟，
此时小雪离图书馆还有分钟路程，米，
故答案为：．

本题考查了函数及其图象，一元一次方程的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应和表示的数量关系，进而求出有用的数据．
 

26.【答案】解：设学生人数为人，由题意，得
，
；

当时，
，
解得：，
故当时，两旅行社一样优惠；

时，
，
解得：
故当时，乙旅行社优惠．
当时，
，
解得：，
故当时，甲旅行社优惠．

【解析】根据题意得出两个旅行社的收费关系式即可；
利用中所求进而得出两关系式相等时的学生数；
分别利用时，故当时，得出答案即可．
此题主要考查了函数关系式，正确得出函数关系式是解题关键．
 

27.【答案】证明：如图，过点作，

，
，，
，
，
，
，
即；
解：如图，过点作，

，
，，
，
，，
，
，
，
由知，，
，
，
平分，
，
．

【解析】过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
过点作，根据平行线的性质及角的和差并结合求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

28.【答案】解：第一种：；
第二种：；
第三种：；
，，




，
，
，
，，
；
，
，
，
，
，
解得．
当，时，代数式的最小值是．

【解析】根据材料中的三种不同形式的配方，“余项“分别是常数项、一次项、二次项，可解答；
将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答；
首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．
本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题．