2021-2022学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2021-2022学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期中数学试卷 一．选择题（本题共8小题，共32分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )A. 戴口罩讲卫生 B. 勤洗手勤通风
C. 有症状早就医 D. 少出门少聚集如果，那么下列各式中错误的是(    )A.  B.  C.  D. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 如图，四边形的对角线，交于点，则不能判断四边形是平行四边形的是(    )
 A. ， B. ，
C. ， D. ，一个多边形的每一个外角都是，这个多边形的内角和为(    )A.  B.  C.  D. 下列说法中，错误的是(    )A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 三角形的三边分别为、、，若满足，那么该三角形是直角三角形
D. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称在平面直角坐标系中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，将直角三角形沿着点到点的方向平移得到三角形且交于点，那么图中阴影部分的面积为(    )A.   B.   C.   D.  二．填空题（本题共10小题，共40分）等腰三角形的一个底角为，则该等腰三角形的顶角度数为______度．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______．一次环保知识竞赛共有道题，规定答对道题得分，答错或不答道题扣分．在这次竞赛中，小明被评为优秀分或分以上，则小明至少答对______道题．如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点，连接，若，，则的周长为______．如图，在直角三角形和直角三角形中，，，是的中点，连接，，，若，则三角形的面积为______．
已知关于的不等式组的解集为，则______．已知实数、满足，则______．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，线段与线段交于点，已知，，，则线段的长为______．
如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上，将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转，再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转，则点的坐标为______，第次旋转后钝角顶点坐标为______．
如图，为等腰直角三角形，，，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，取中点，若，则线段的长为______．
 三．解答题（本题共8小题，共78分）计算：；
求不等式组的解集：．分解因式：
；
；
．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
请画出关于原点对称的并写出点的坐标；
请画出绕点顺时针旋转后的；
在旋转到的过程中，点经过的路径长度为______．
如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且．
求证：四边形是平行四边形；
连接，若平分，，，求平行四边形的周长．
如图，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接、．
求证：；
当时，求的度数；
将绕点沿逆时针方向旋转到图的位置，若，判断的形状，并说明理由．
 
年成都市中考新体考从总分分调整为总分分，增加了体育素质综合评价考核分，统一考试项目由项调整为类，其中一类为自主选考三选一：足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．我校为了备考练习，准备购买一批新的排球、篮球，若购买个排球和个篮球，共需元；若购买个排球和个篮球，共需元．
求排球与篮球的单价；
学校决定购买排球和篮球共个，且排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的倍，请问有多少种购买方案？最低费用是多少元？如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线与轴交于点已知，，，，．
的长为______，点的坐标为______；
如图，平分，交于点若点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标；
如图，点、分别是线段、线段上的动点，点与点分别同时从点和点出发，已知点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度，连结、、、问：在运动过程中，是否存在这样的点和点，使得的面积与的面积相等．若存在，请直接写出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由．
在平行四边形中，于点，，
如图，若，，求平行四边形的周长；
如图，作的平分线交于点，交于点求证：；
如图，在的条件下，将绕点顺时针旋转一定的角度，得到，当时停止旋转，此时边与边交于点，点是边上一动点，连接，在线段右侧作等边连接，求的最小值．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 2.【答案】 【解析】解：、，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、，
，
，原变形错误，故此选项符合题意；
C、，
，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、，
，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解答此题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.等式的右边不是几个整式的积的形式含有分式，不是分解因式，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
D.从左到右的变形是整式乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
 4.【答案】 【解析】解：、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，，不能判断四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 5.【答案】 【解析】解：一个多边形的每一个外角都是，多边形的外角和等于，
这个多边形的边数为：，
这个多边形的内角和为：．
故选：．
由一个多边形的每一个外角都是，可求得其边数，然后由多边形内角和定理，求得这个多边形的内角和．
此题考查了多边形的内角和与外角和．注意多边形的内角和为：；多边形的外角和等于．
 6.【答案】 【解析】解：、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，本选项不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，正确，本选项不符合题意；
C、三角形的三边分别为、、，若满足，那么该三角形是直角三角形，正确，本选项不符合题意；
D、如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称，错误，不一定是中心对称图形，本选项符合题意．
故选：．
根据角平分线的性质定理，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的性质一一判断即可．
本题考查角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的性质，中心对称图形等知识，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 7.【答案】 【解析】解：根据图象可知，直线：与直线：的交点坐标为，
不等式的解集是：．
故选：．
根据图象可知两直线的交点坐标为，即可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：由平移的性质知，，，，，，
，

故选：．
根据平移的性质可得到相等的边与角，利用平行线分线段成比例可求出，再根据即可得到答案．
此题主要考查了平行线截线段对应成比例和平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 9.【答案】 【解析】解：等腰三角形底角相等，
，
顶角为．
故答案为：．
本题给出了一个底角为，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：关于的二次三项式因式分解的结果是，
则，
故．
故答案为：．
直接利用多项式乘法进而得出的值．
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 11.【答案】 【解析】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题，
依题意得：，
解得：，
小明至少答对道题．
故答案为：．
小明答对了道题，则答错或不答道题，利用小明的得分答对题目数答错或不答题目数，结合小明的得分不少于分，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：由作图可知，
的周长，
故答案为：
利用线段的垂直平分线的性质证明
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
 13.【答案】 【解析】解：过点作，垂足为，

，，是的中点，
，，
，
，
，
在中，，
的面积

，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据直角三角形斜边上的中线可得，从而利用等腰三角形的三线合一性质可以求出的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了三角形的面积，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 14.【答案】解：原式
；
，
不等式的解集是：，
不等式的解集是：，
原不等式组的解集是：． 【解析】利用二次根式的性质，负整数指数幂的意义，绝对值的意义和二次根式的性质进行化简计算即可；
分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，负整数指数幂的意义，绝对值的意义和二次根式的性质，一元一次不等式组的解法，再取利用上述法则与性质进行计算是解题的关键．
 15.【答案】解：；



；


． 【解析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案；
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
直接利用十字相乘法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法、十字相乘法分解因式，正确掌握十字相乘法、公式法分解因式是解题关键．
 16.【答案】 【解析】解：如图，即为所求，点的坐标；
如图，即为所求；

点经过的路径长度

故答案为：
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用弧长公式求解．
本题考查作图旋转变换，弧长公式等知识，解题关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式．
 17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
≌，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长． 【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可；
由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再求出，求解即可．
此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 18.【答案】证明：，，
，
点，，分别为，，的中点，
，，，，
；

解：点，，分别为，，的中点，
，，
，，
；

解：如图中，结论：是等边三角形．

理由：，
，
，，
≌，
，
点，，分别为，，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形． 【解析】利用三角形中位线定理解决问题；
证明，可得结论；
证明≌，，再证明，推出，可得结论．
本题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 19.【答案】 【解析】解：关于的不等式组的解集为，
，，
，
故答案为：．
利用已知条件求得，的值，将，的值代入计算即可．
本题主要考查了不等式的解集，正确确定不等式组的解集是解题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：，
设，则原方程化为，
解得：或，
当时，，
当时，，
不论、为何值，都不能为负数，
此时不符合题意，舍去，
即，
故答案为：．
设，则原方程化为，求出的值，再求出的值即可．
本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
 21.【答案】 【解析】解：过作于，如图：

将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，
故答案为：．
过作于，根据将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，，可得，在中，即可得，在中，．
本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用含，角的直角三角形三边关系．
 22.【答案】   【解析】解：过点作轴于点，于点．

，，
，
，
，
，
，
，
由题意，，，，，
发现次应该循环，，
第次旋转后钝角顶点的横坐标为，纵坐标为，
第次旋转后钝角顶点坐标为．
过点作轴于点，于点利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得点的坐标，再探究规律，利用规律求解即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题．
 23.【答案】或 【解析】解：过点作，与的延长线交于点，过点作于点，则，

点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
设，则，，
，，
，
，
解得或．
故答案为：或．
过点作，与的延长线交于点，过点作于点，得为的中位线，证明≌，再设，用表示与，再由勾股定理列出的方程，便可求得结果．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，勾股定理，关键在于运用全等三角形和三角形的中位线定理解题．
 24.【答案】解：设每个排球元，每个篮球元，
依题意得：，
解得：．
答：每个排球元，每个篮球元；
设购买费用是元，购买篮球个，则购买排球个，
依题意得：，
解得：，
又，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，最小值为元，
此时个，
答：购买篮球个，排球个，购买费用最低，最低费用是元． 【解析】设每个排球元，每个篮球元，可得：，即可解得每个排球元，每个篮球元；
设购买费用是元，购买篮球个，则购买排球个，根据排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的倍，可得，而，由一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式．
 25.【答案】   【解析】解：，，
，，
，
故答案为：，；
延长交轴于，过作轴于，如图：

，，，
，，
平分，
，
，
是等边三角形，
在中，，
，
，
，
，
，
，
轴，
，
，，
，
设，又，，
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得，
；
以、为对角线，则、中点重合，
，
解得，
；
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或；
存在这样的点和点，使得的面积与的面积相等，理由如下：
由知，，，
设，则，
，
连接，过点作于，过点作于，过作于，如图：

在中，，
，
，
，
解得，
，
，，
，
；
过点作于，如图：

，
，
，
解得，
，
，，
，
，
综上所述，的坐标为或
由，，可得，，即可得答案；
延长交轴于，过作轴于，先求出，设，又，，分三种情况：以、为对角线，则、的中点重合，以、为对角线，则、中点重合，以、为对角线，则、的中点重合，列出方程组即可解得的坐标为或或；
分两种情况，分别画出图形，列出含的方程，解得即可得的长，从而求出的坐标．
本题考查四边形综合应用，涉及平行四边形性质及应用，四边形三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和线段的长度．
 26.【答案】解：如图中，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
四边形的周长为；

证明：如图中，

四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
；

解：如图中，延长到，使得，连接，作射线．

，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
点的运动轨迹是射线．
过点作于点交于点，交于点．
，
，
，
，
，
，
当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
的最小值为． 【解析】利用直角三角形度角的性质，以及勾股定理求出，，可得结论；
证明≌，推出，再证明，可得结论；
如图中，延长到，使得，连接，作射线证明≌，推出，可得，推出点的运动轨迹是射线过点作于点交于点，交于点证明，求出，可得结论．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，旋转的旋转垂线段最短，全等三角形判定和性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解本题的关键．