新高考数学一轮复习《抛物线》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《抛物线》课时练习

一              、选择题

1.经过点P(4，﹣2)的抛物线的标准方程为(　　)

A.y2＝x或x2＝﹣8y         B.y2＝x或y2＝8x

C.y2＝﹣8x                D.x2＝﹣8y

【答案解析】答案为：A

解析：∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下.当开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(﹣2)2＝8p1，∴p1＝，∴抛物线的方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线的方程为x2＝﹣2p2y(p2>0)，则42＝4p2，∴p2＝4，∴抛物线的方程为x2＝﹣8y.

2.已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y﹣12|，则动点M的轨迹是(　　)

A.椭圆        B.双曲线       C.抛物线        D.圆

【答案解析】答案为：C

解析：方程5＝|3x＋4y﹣12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y﹣12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线.

3.已知P为抛物线y2＝4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值是(　　)

A.4          B.           C.﹣1            D.﹣1

【答案解析】答案为：D

解析：因为A在抛物线的外部，所以当点P，A，F共线时，|PA|＋|PF|最小，此时＋d也最小，|PA|＋d＝|PA|＋(|PF|-1)＝|AF|﹣1＝﹣1＝﹣1.

4.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，抛物线上一点A满足|AF|＝5，且点A与点B(0,2)的连线与直线BF垂直，则抛物线的标准方程可以是(　　)

①y2＝4x；②y2＝8x；③y2＝12x；④y2＝16x.

A.①③          B.②③         C.①④        D.②④

【答案解析】答案为：C

解析：设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F(,0).设A(,y0).由AB⊥BF，得·＝﹣1.化简，得8＝y，解得y0＝4.由|AF|＝5，得＋＝5，所以＋＝5，所以p2﹣10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝16x.

5.如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝﹣1，那么它的焦点坐标为(　　)

A.(1,0)        B.(2,0)        C.(3,0)        D.(﹣1,0)

【答案解析】答案为：A

解析：准线是直线x＝﹣1，则a＝4，焦点坐标为(1,0).

6.拋物线y2＝4x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与拋物线在x轴上方的曲线交于点A，则|AF|的长为(　　)

A.2         B.4         C.6            D.8

【答案解析】答案为：B

解析：易知直线方程为y＝(x﹣1)，

联立消去y得3x2﹣10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.

∴点A的横坐标为3，∴＝3﹣(-1)＝4.

7.过拋物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交拋物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值是(　　)

A.4         B.﹣4         C.p2         D.﹣p2

【答案解析】答案为：B

解析：当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则k＝＝＝，又因为A，F，B三点共线，所以直线AF的斜率也为k，且k＝，所以＝，整理可得y＋y1y2＝2px1﹣p2，又y＝2px1，所以y1y2＝﹣p2，故＝＝＝﹣4；

当直线AB的斜率不存在时，x1＝x2＝，则y1＝p，y2＝﹣p，则＝＝﹣4.

8.已知直线l：y＝k(x﹣2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点.若|AF|＝2|BF|，则k的值是(　　)

A.        B.          C.2           D.

【答案解析】答案为：C

解析：由抛物线C：y2＝8x，知F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因为直线l过点(2,0)且其斜率大于零，所以A，B在x轴两侧.

又|AF|＝2|BF|，知x1>x2，且x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2x2＋2.

由可得k2x2﹣(8＋4k2)x＋4k2＝0，由根与系数的关系得代入x1＝2x2＋2，又x1>0，x2>0，可得又k>0，

故k＝2.

9.若抛物线Γ：x＝﹣上有一动点P，则点P到Γ的准线的距离与到直线l：x＋y﹣5＝0的距离的和的最小值是(　　)

A.        B.        C.2        D.3

【答案解析】答案为：D.

解析：设点P到准线的距离为d1，到直线l的距离为d2，根据抛物线的定义知，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，则d1＋d2＝|PF|＋d2.过焦点F作FM⊥l于点M，则|PF|＋d2≥|FM|(当且仅当F，P，M三点共线且P在线段FM上时取等号)，又F(﹣1,0)，所以d1＋d2≥＝3.

10.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|＝6，则|EM|的长为(　　)

A.2         B.          C.2            D.

【答案解析】答案为：B

解析：由已知得F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1，并与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x0，y0)，y1＋y2＝4m，则y0＝＝2m，x0＝2m2＋1，

∴E(2m2＋1,2m)，又|AB|＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4＝6，解得m2＝，线段AB的垂直平分线为y﹣2m＝﹣m(x﹣2m2﹣1)，令y＝0，得M(2m2＋3,0)，从而|ME|＝＝.

二              、多选题

11. (多选)已知抛物线ax2＝y的焦点到准线的距离为，则实数a等于(　　)

A.1         B.﹣1         C.          D.﹣

【答案解析】答案为：AB.

解析：抛物线ax2＝y，即x2＝y，由焦点到准线的距离为，得＝，则a＝±1.

12. (多选)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p的值为(　　)

A.4          B.2          C.16            D.18

【答案解析】答案为：BD

解析：设抛物线上，该点为A，焦点为F，则点A坐标为(x，±6)，

∵|AF|＝10，即x＋＝10①，又点A在抛物线上，∴36＝2px②，

由①②得p＝2或18.

三              、填空题

13.抛物线y2＝x的焦点坐标是________.

【答案解析】答案为：.

解析：由于抛物线y2＝2px焦点坐标为，因此抛物线y2＝x焦点坐标为.

14.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2＝1的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于________.

【答案解析】答案为：.

解析：由抛物线定义知1＋＝5，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x，所以m2＝16，

∴m＝4，即M(1，4)，又因为A(﹣，0)，双曲线渐近线方程为y＝± x，

由题意知＝，∴a＝.

15.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，﹣1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________.

【答案解析】答案为：(，﹣1)；

解析：如图，过点Q作QA垂直准线l，垂足为A，则QA与抛物线的交点即为P点.

易求P(，﹣1).

16.如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝      .

【答案解析】答案为：10.

解析：由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p＞0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离

|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10.