第06讲 二次函数-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第06讲-二次函数（解析版）
学习目标：
1.掌握二次函数的图像与性质；
2.会求含参数的二次函数最值；
3.掌握一元二次方程根的分布；
4.掌握二次函数综合运用

教学内容

1、已知，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】因为，则．
所以且仅当，即时等号成立，故选B．

2、已知都是负实数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，故选B．





知识点一：二次函数的图像与性质
知识梳理
一、二次函数（Quadratic function）的解析式的三种形式：
1． 一般式：
2． 顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标．
3． 交点式（零点式）：， 为抛物线与轴的交点坐标．
二、二次函数的图像及性质：
（1）当时，函数图像开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大；当时，函数取最小值；
（2）当时，函数图像开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；当时，函数取最大值。
三、二次函数在闭区间上的最值：
设，求在上的最大值与最小值。
当时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在闭区间上的最值：
（1）当时，的最小值是的最大值是。
（2）当时，的最小值是的最大值是。
（3）若，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是。
（4）若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是。
当时，可类比得结论。
例题精讲
例1、已知函数，若，，则必有（ ）
A . B.
C . D.的符号不能确定
【答案】 A
【解析】函数的对称轴为x＝－，又因为，，
故，所以
例2、已知 ，若是函数
的零点，则四个数按从小到大的顺序是　　 　　　（用符号连接起来）．
【答案】
【解析】令，的两根为由图像平移可得
例3、若二次函数对一切恒有成立，且， 则 ．
【答案】 153
【解析】时，，且为二次函数的顶点，,
例4、已知函数fx=ax2+bx+c，a>b>c，a+b+c=0，集合A=m|fm0
B. 任意m∈A，都有fm+30，故fm+3>f1=0，选A．
例5、设二次函数的图像的顶点为，与轴的交点为，当为等边三角形时，求的值．
【答案】
【解析】由函数，化简得．因而有，又设．

由是等边三角形，得，即．
所以，由，得所求的值为
巩固练习
1、函数的图像经过四个象限的充要条件是（ ）
A、且 B、且
C、且 D、
【答案】D
【解析】A错误，不经过第一象限。B错误，可以不经过第二象限或第四象限。C错误，不经过第三、四象限
2、定义域为的函数有四个单调区间，则实数满足（ ）
. ； ．；
.； ..
【答案】 C
【解析】为偶函数，因此对称轴在轴右侧，C正确
3、已知二次函数满足条件及.
（1）求；
（2）求在上的最大值和最小值.
【解析】（1）设，由，可知
∵
故由得，因而， 所以；
（2）∵ ，所以当时，的最小值为
当时，的最大值为.
知识点二：含参数的二次函数最值
知识梳理
一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
设，求在上的最大值与最小值．
分析：将配方，得对称轴方程
当时，抛物线开口向上
若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；
若
当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下：
当时



当时



例题精讲
例1、当时，求函数的最小值(其中为常数)．
【解析】函数的对称轴为．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即时：当时，；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：
当时，．

综上所述：
例2、已知，求的最小值的表达式，并求的最大值．
【解析】
若，即时，；
若 ，即时，．

当时，，得；
当时，．
所以，的最大值为．
例3、设为实数，函数，求f(x)的最小值．
【解析】（1）当时，
①若，则;
②若，则
（2）当时，
①若，则;；
②若，则
综上所述，当时，；当时，；当时，．
例4、已知函数在区间上的最小值是最大值是，求，的值。
【答案】
【解析】由，知，则，
又∵在上当增大时也增大所以，解得。

例5、已知函数，试判断是否存在正实数，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由。
【答案】
【解析】假设存在满足题设， ，
因为，所以两个最值点只能在端点和顶点处取到，而，所以，，解得，所以存在满足题意。
例6、设二次函数在区间上的最大值，最小值分别是，集合。
（1） 若，且，求的值；
（2） 若且，记，求。
【答案】（1）
【解析】（1）由可知又，故1,2是方程的两实根，由韦达定理解得
，当时，即；当时，即
（2） 由题意得，方程有两相等实根
由韦达定理即
其对称轴方程为，又，故

巩固练习
1、设函数的最小值为，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】，
2、函数满足, 且在上的值域为，则的取值范围是 ________.
【答案】
【解析】，所以对称轴为，，
3、已知二次函数的值域为，求在上的最小值
【解析】因为函数值域为，所以函数图像开口向上，，且对称轴为由，原函数可以写成。
对称轴为
当，即时，

当，即时，






4、已知函数，它的定义域为，值域为，求实数、的值.
【答案】.
【解析】，，是的两个不同的解，所以

知识点三：一元二次方程的根分布
知识梳理
1、一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程（）的两个实根为，，且。
【定理1】，(两个正根)，
推论：，或
上述推论结合二次函数图像不难得到。

【定理2】，，
推论：，或
由二次函数图像易知它的正确性。




【定理3】
【定理4】 ，且；
，且。


2、一元二次方程的非零分布——分布
设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。
【定理1】

【定理2】。

【定理3】。

推论1 。
推论2 。
【定理4】有且仅有（或）

【定理5】或
此定理可直接由定理4推出。
【定理6】或



讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②端点的函数值的符号；③对称轴与取值范围的相对位置。



例题精讲
例1、若一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0有两个正根，求m的取值范围.
【答案】0 ， ∴ b 的取值范围是：(－¥, )∪( ,+¥)．

例6、已知，若对任意的恒成立，则（　　）
A. 的最小值为1
B. 的最小值为2
C. 的最小值为4
D. 的最小值为8
【答案】B
【解析】，故选B．
例7、科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析，得出学生的注意力指数随时间（分钟）的变化规律为：
．
（1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）
【解析】（1）由于学生的注意力指数不低于80，即
当时，由得；
当时，由得；
所以，
故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有分钟.
（2）设教师上课后从第分钟开始讲解这道题，由于
所以
要学生的注意力指数最低值达到最大，只需
即
解得
所以，教师上课后从第分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最大.
巩固练习
1、记方程①，方程②，方程③，其中是正实数，当成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（　　）
A. 方程①有实根，且②有实根
B. 方程①有实根，且②无实根
C. 方程①无实根，且②有实根
D. 方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，成等比数列，，即方程③的判别式，此时方程③无实根．
2、已知函数（、），满足，且在时恒成立．
（1）求、的值；
（2）若，解不等式；
（3）是否存在实数，使函数在区间上有最小值？若存在，
请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由，得，
因为在时恒成立，所以且△，，
即，，，所以．
（2）由（1）得，由，
得，即，
所以，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为空集 ．
（3），
的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线．
假设存在实数，使函数在区间上有最小值．
① 当，即时，函数在区间上是增函数，所以，
即，解得或，因为，所以；
② 当，即时，函数的最小值为，
即，解得或，均舍去；
③ 当，即时，在区间上是减函数，所以，
即，解得或，
因，所以．
综上，存在实数，或时，函数在区间上有最小值．




3、有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中
，，如图所示，现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形的相邻
两边分别落在上，另一个顶点落在边或边上，设，矩形的面积
为．
（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？
【解析】(1)依据题意并结合图形，可知：
　 当点在线段上，即时，；
　 当点在线段上，即时，由，得．
于是，．
　　所以， 定义域．
(2)由(1)知，当时，；
当时，，当且仅当时，等号成立．
　因此，的最大值为．
答：先在上截取线段，然后过点作的垂线交于点，再过点作的
平行线交于点，最后沿与截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为．





1、若函数满足，那么（ ）
A、 B、
C、 D、与大小不能确定
【答案】C
【解析】为函数对称轴，
2、已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是
。
【答案】
【解析】所以，
3．设函数在闭区间上的最大值是，最小值是，则（ ）
A. 与有关，且与有关；
B. 与有关，且与无关；
C. 与无关，且与无关；
D. 与无关，且与有关．
【答案】B
【解析】，均含有，所以差值与无关，B正确
4．方程的两实根满足，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】，
，
5、已知，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】，，所以可整理：.令，对称轴在区间的右侧，可保证区间内函数单调，所以，即，易得
6、在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点．若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ．
【答案】
【解析】函数解析式（含参数）求最值问题

因为，则，分两种情况：
（1）当时，，则
（2）当时，，则
7、已知二次方程有且只有一个实根属于，且都不是方程的根，求的取值范围．
【答案】
【解析】f(x) = ，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 ≠ 0，即m ≠ - .
f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)·f(2)