第30讲-轨迹方程-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第30讲-轨迹方程（解析版）
学习目标：
1、初步了解解析几何的基本思想、明确它所研究的的基本问题；
2、理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能准确判断所给曲线的方程或所给方程的曲线；
3、掌握求曲线方程的一般步骤，会根据曲线的性质，求出曲线的方程；
4、会求两条曲线的交点坐标，会判断两条曲线的交点的个数。
教学内容

1、已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，
由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，线段FN的长度：．
2、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
（2）动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．
【答案】（1）B；（2）．
【解析】（1）设，
由抛物线定义知，，
又△MFO的面积为，解得（舍去）．
所以抛物线的方程为．
（2）设直线l的方程为，联立，
消去，得，
即，
则抛物线的方程为．
3、已知抛物线焦点为，点A，B，C为该抛物线上不同的三点，且满足．
（1）求；
（2）若直线交轴于点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】设
由抛物线得焦点坐标为，
所以， ， ，
所以由得 ，
（1）抛物线的准线方程为，
由抛物线定义得： ， ， ，
所以 ．
（2）显然直线斜率存在，设为，则直线方程为，
联立消去得，
所以，即．．．．．．①
且，所以，
代入式子得又点也在抛物线上，
所以，即．．．．．．②
由①，②及可解得即，
又当时，直线过点，此时三点共线，由得
与共线，即点也在直线上，此时点必与之一重合，
不满足点为该抛物线上不同的三点，所以，
所以实数的取值范围为．





解析几何的思想：
（1）坐标法
在笛卡尔以前，人们对代数方程已经有了一定的研究，但是对于二元方程的研究较少，因为大家认识到二元方程的解都是不确定的对于这种“不定方程”，除了有少数人研究它的整数解以外，大多数人都认为研究它是没有意义的，是不必要的。笛卡尔却对对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命，他没有把看成是未知数，而是创造性地把看成是变量(从此，变量引入了数学)，让连续地变，则对每一个确定的的值，一般来说都可以从方程算出相应的值(这就是函数思想的萌芽) 然后，他把这些点的集合便构成了一条曲线C 由这样得出的曲线C和方程有非常密切的关系：曲线上每一个点的一对坐标都是方程的一个实数解；反之，方程的每一个实数解对应的点都在曲线上这就是说，曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线的研究这种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法（就是借助于坐标系研究几何图形的方法）
根据几何图形的特点，可以建立不同的坐标系最常用的坐标系是直角坐标系和极坐标。在目前的中学阶段只采用了直角坐标系
（2）．解析几何的创立意义及其基本问题
在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科，叫解析几何它是一门用代数方法研究几何问题的数学学科，产生于十七世纪初期，法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者他们创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义：一是在数学中首次引入了变量的概念，二是把数与形紧密地联系起来了解析几何的创立是近代数学开端的标志，为数学的应用开辟了广阔的领域


知识点一：曲线与方程
知识梳理
曲线方程的定义:
一般地，如果曲线C与方程之间有以下两个关系：
①曲线C上的点的坐标都是方程的解；（纯粹性）
②以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。（完备性）
此时，把方程叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程的曲线。
注：上述两个关系缺一不可，必须同时满足。在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法
例题精讲
例1、已知坐标满足方程f (x, y) = 0的点都在曲线Ｃ上，那么……（　）
　　　A　曲线Ｃ上的点的坐标都适合方程f (x, y) = 0
　　　B　凡坐标不适合 f (x, y) = 0的点都不在Ｃ上
　　　C　不在Ｃ上的点的坐标必不适合 f (x, y) = 0
　　　D　不在Ｃ上的点的坐标有些适合f (x, y) = 0，有些不适合f (x, y) = 0
【答案】C
【解析】设坐标满足方程f (x, y) = 0的点的集合记为，把曲线C上的点的集合记为,则由题意可得，故对于来说肯定有。反之，若则就不一定成立了，也就是说则，而则不能推出。故可以排除选项A，B，D。

例2、若曲线C上的点的坐标均为方程f (x, y) = 0的解,则以下说法正确的是… ( )
A. 方程f (x, y) = 0的曲线是C
B. 曲线C的方程是f (x, y) = 0
C. 坐标不满足方程f (x, y) = 0的点不在曲线C上
D. 曲线C上的点的坐标不满足方程f (x, y) = 0
【答案】C
【解析】从简易逻辑来考虑：若原命题成立，则它的逆否命题肯定成立。故答案显然均为C。

知识点二：点的轨迹求法
知识梳理
动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法.
（1）平面解析几何研究的主要问题
根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质
本节主要通过例题的形式学习第一个问题，即如何求曲线的方程小结时总结出求简单的曲线方程的一般步骤
（2）求简单的曲线方程的一般步骤：
1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
2）写出适合条件P的点M的集合；
3）用坐标表示条件P（M），列出方程;
4）化方程为最简形式；
5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点、用方程表示曲线，并通过研究方程的性质来间接地研究曲线的性质，这种研究几何问题的方法称为坐标法，这门学科称为解析几何。
知识梳理
1、直译法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.
例题精讲
例1、在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于，求动点的轨迹方程.
【答案】
【解析】：因为点与点关于原点对称，
所以点的坐标为，设点，
由题意得，化简得 ，
故动点的轨迹方程为
例2、在平面直角坐标系中，已知点点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线，求的方程。
【答案】
【解析 】 设，因为，M点满足，
所以，
由题意可知，即，即。
例3、已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】（1）见解析；（2）；见解析
【解析】(1) 由题设.设，则，
且.
记过两点的直线为，则的方程为.
由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
.所以.
(2)设与轴的交点为，则.
由题设可得，所以(舍去)，.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为
例4、设直线与抛物线相交于不同两点、，为坐标原点．
（I）求抛物线的焦点到准线的距离；
（II）若直线又与圆相切于点，且为线段的中点，求直线的方程；
（3）若，点在线段上，满足，求点的轨迹方程．
【答案】（I）2；（II），；（3）．
【解析】（I）∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点到准线的距离为2．
（II）设直线．
当时，和符合题意；
当时，、的坐标满足方程组，
∴的两根为、，，
∴，∴线段的中点
∵，，∴，得，
∴，得，
∵，∴（舍去）．
综上所述，直线的方程为：，．
（3）设直线，、的坐标满足方程组，
∴的两根为、，
，，．
∴，得或，
当时，直线AB过原点，∴；时，直线AB过定点．
设，∵，∴（），
综上，点的轨迹方程为

巩固练习
1. 已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.
(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ) 过点的直线与轨迹交于两点. 若是的中点, 求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）
【解析】 (Ⅰ) 点到直线的距离,是到点的距离的2倍，
则.
所以，动点的轨迹为椭圆，方程为
(Ⅱ) , 设由题知：;
椭圆的上下顶点坐标分别是，经检验直线不经过这2点，
即直线斜率存在。.联立椭圆和直线方程，
整理得：

所以，直线的斜率

2. 设分别是椭圆的左、右焦点,过斜率为1的直线与相交于两点,且成等差数列.
(1)求与的等量关系;
(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】(I)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,
得|AB|=43a，的方程为，其中c=a2-b2.
设，则 两点坐标满足方程组&y=x+c&x2a2+y2b2=1
化简得：
则x1+x2=-2a2ca2+b2,x1x2=a2(c2-b2)a2+b2
因为直线斜率为1，，
得43a=4ab2a2+b2，故
(II)设的中点为，由(I)知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c,y0=x0+c=c3.
由，得，即y0+1x0=-1
得,从而；
故椭圆E的方程为。

知识梳理
2、定义法：若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则
可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。
例题精讲
例1、设定点、，动点满足条件，则点的轨迹( )
A．椭圆 B．线段 C. 不存在 D．椭圆或线段
【答案】D
【解析】由题意得（当且仅当时取等）。 
当时，，所以点一定在线段上，
故其轨迹是一条线段；
当时，，即，椭圆上任意一点到两定点的距离之和为定值，所以点的轨迹是一个椭圆。
故本题正确答案为D。

例2、如图所示，为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任因点，过焦点向的外角平分线作垂线，垂足为，并延长交 于点 ，则点的轨迹方程是 ，点的轨迹方程是 。
【答案】
【解析】因为 ,所以≌
故 ,又为中点,
所以 , ,
则点的轨迹为以为圆心,2为半径的圆,
故点的轨迹为 ,
同理,点的轨迹是以 为圆心,4为半径的圆,
故点的轨迹方程为.
例3、设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
【答案】
【解析】（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.
例4、已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点．
（I）证明：直线过定点；
（II）过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程．
【答案】（I）证明见解析；（II） ．
【解析】（I）点在抛物线上，代入得，
∴抛物线的方程为，
由题意知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，设，，
联立得，得，，
由于，∴，即，
即．(*)
又∵，，
代入(*)式得，即，
∴或，即或．
当时，直线方程为，恒过定点，
经验证，此时，符合题意；
当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，
∴直线恒过定点．
（II）由（I），设直线恒过定点，
则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为．

巩固练习
1、已知和是平面上的两点，动点满足 ，求点的轨迹方
程.
【答案】
【解析】因为，
所以由椭圆定义，动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为6的椭圆，
设椭圆方程为 ，则有 ，半焦距 ，
所以 ，所以所求动点的轨迹方程为

2、设圆与两圆一个内切，另一个外切，求的圆心轨迹
的方程。
【答案】
【解析】 设圆C的圆心为C（），半径为，
由题意可知两圆的圆心分别为，半径均为2，
因为圆C与两圆中的一个内切，另一个外切，
所以或，
所以，即圆C的圆心轨迹L是双曲线。
设C（）的轨迹L的方程为，
则，圆C的圆心轨迹L的方程为。

知识梳理
3、相关点法：有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式.
例题精讲
例1、如图所示，设是圆 上的动点，点是在轴上的射影，为上一点，且，当在圆上运动时，求点的轨迹的方程.
【答案】
【解析】 设M的坐标为，P的坐标为，
因为M为PD上一点，且，
所以，又在圆上，
所以，即，
故点M的轨迹C的方程为。
例2、已知椭圆，为椭圆上一动点， 为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是（ ）
A 圆 B 椭圆 C 线段 D 一段抛物线
【答案】B
【解析】 设点，则，
得代入椭圆方程中，
得，即线段MF1的中点P的轨迹是椭圆。故选B。
例3、如图所示，抛物线 ，点在抛物线上，过作的切线，切线为（为原点时， 重合于），当时，切线的斜率为。
（1）求的值
（2）当 在 上运动时，求线段中点 的轨迹方程。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为抛物线上任意一点的切线斜率为，
且切线MA的斜率为，所以A点的坐标为，
故切线MA的方程为。
因为点M在切线MA及抛物线上，
于是，①②，由①②得。
本题也可以用方程去解。
（2）设,
由N为线段AB中点知，③，④
切线MA，MB的方程为，⑤；，⑥
由⑤⑥得MA,MB的交点的坐标为。
因为点M在上，即，所以 ⑦
由③④⑦得。
当时，A,B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足。
因此AB中点N的轨迹方程为。
例4、（I）已知点的坐标为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，求动点的轨迹方程；
（II）已知定点的坐标为为动点，若以线段为直径的圆恒与轴相切，求动点的轨迹方程．
【答案】（I）；（II）．
【解析】（I）设动点，∵直线的斜率之积是，
∴，整理得，
∴动点的轨迹方程为．
（II）设动点，线段的中点为，
圆与轴相切于，连接，∴轴，
∵为直角三角形斜边上的中线，
∴，由，化简得，
∴动点的轨迹方程为．

巩固练习
1、已知，点在直线上移动，求重心的轨迹方程。
【答案】
【解析】设，
∵是ABC的重心，且，
∴ 即 又在直线上
∴，即 化简得 ①
∵,共线的条件是，
即 解方程组 得
故方程①中含有轨迹外的一个点，应删除。
从而重心的轨迹方程是

2、已知：如图，两同心圆：和．为大圆上一动点，连结（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为．
（I）当点在大圆上运动时，求垂足的轨迹方程；
（II）过点的直线交垂足的轨迹于两点，若以为直径的圆与轴相切，求直线的方程．

【答案】（I）；（II）直线的方程为：．
【解析】（I）设垂足，则．
在上，，，
故垂足的轨迹方程为．
（II）设直线的方程为，
则有，
又∵圆与轴相切，∴，
即（*）
由消去x整理得，
∵直线与椭圆交于两点，
∴，解得．
又，将上式代入（*）式中得
，解得．满足．
故所求的直线的方程为，即．


知识梳理
4、参数法：有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响.
例题精讲


例1、已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程.
【答案】（或）.
【解析】设点M的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为. 显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为，由，得：，
所以，，解得：或.
而，因此点M的坐标为，
所以，，消去参数k，得：. 由或，得：或. 综上，点M的轨迹方程（或）.
注：本题也可以使用点差法解决

例2、如图所示，椭圆，动圆 ，点分别为的左，右顶点，与相交于四点，求直线与直线交点的轨迹方程.

【答案】
【解析】设又知，
则直线方程为 ①
直线方程为 ② ，
由①②得 ③
由点在椭圆上，故，
从而，代入③得交点的轨迹方程：。

巩固练习
1.已知的斜边的两个端点分别在轴，轴正方向上移动，顶点和原点分别在两侧，
则点的轨迹是（ ）
A.圆 B.线段 C.射线 D.一段圆弧
【答案】B

知识梳理
5、几何法：
借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
例题精讲
例1.已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程．
【答案】

【解析】分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．
解法一：如图，在矩形中，连结，交于，显然，，

在直角三角形中，若设，则．
由，即
，
也即，这便是的轨迹方程．
解法二：设、、，则，．
又，即
．①
又与的中点重合，故，，即
　②
①＋②，有．
这就是所求的轨迹方程．
解法三：设、、，
由于为矩形，故与的中点重合，即有
，　　　①
，　　　②
又由有　　③
联立①、②、③消去、，即可得点的轨迹方程为．
巩固练习


M

N

Q

O



1.过点作互相垂直的两条直线和。设直线与轴交于点，直线交轴于点N。求线段MN中点Q的轨迹方程。
【答案】
【解析】解法一：设，则，
于是。
由和垂直，则，
所以，
化简得：即为所求的轨迹方程。
解法二：△PMN和△OMN都是以MN为斜边的直角三角形，又Q是MN的中点，
由直角三角形的性质知：，所以。
于是点Q的轨迹是线段OP的垂直平分线，由求得OP的垂直平分线方程为，所以点Q的轨迹方程为。


1、动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两个不同的点，过点、分别作曲线的切线，且二者相交于点．则曲线的方程为 。
【答案】．
【解析】由已知，动点在直线上方，
条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，
∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故其方程为．

2、在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
【答案】动点的轨迹是中心在原点，长轴长为4，短轴长为2的椭圆．
【解析】设点的坐标为，点的坐标为，
则，．
点在圆上，∴．
即，亦即，
动点的轨迹是中心在原点，长轴长为4，短轴长为2的椭圆．
3、已知点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是．则点的轨迹方程 。
【答案】
【解析】设，由已知得，，
，；
化简即得点的轨迹方程为．

4、已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，
椭圆中：，
椭圆，即双曲线的焦点为，据此可得双曲线中的方程组：，
解得：，则双曲线 的方程为，故选B．
5、已知椭圆，四点，中恰有三点在椭圆C上．则C的方程为 ．
【答案】
【解析】由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．
又由知，C不经过点P1，∴点P2在C上．
因此，解得．故C的方程为．


6、已知线段上有一动点（异于），线段，且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】B
【解析】以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
设是运动轨迹上任一点，且，则，
，，
，，即；
所以的运动轨迹为椭圆的一部分，故选B


7、已知向量，满足，， ，若为的中点，并且，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于是中点，中，,
,
,
故的轨迹方程为；故选D.

8、已知点为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，得，，过点作轴，垂足为，则，如图所示：
在中，，，则，
，即，
代入双曲线方程得，即．
∵点为双曲线的左右顶点，∴，
∴双曲线的方程为，故选B．


9、设椭圆的左焦点为，右顶点为，．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程．
【答案】 （I），．（II），或．
【解析】（Ⅰ）设的坐标为．依题意，，，，
解得，，，于是．
∴椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，与直线的方程联立，
可得点，故．将与联立，
消去，整理得，解得，或．
由点异于点，可得点．
由，可得直线的方程为，
令，解得，故．∴．
又∵的面积为，故，
整理得，解得，∴．
∴直线的方程为，或．





笔耕不辍