第32讲-复数-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第32讲-复数（解析版）

                                                                        教学内容

1.已知，若是纯虚数，则m的值为（ ）

A．0 B．-1 C．1 D．2

2．i是虚数单位.若复数为纯虚数，则复数i在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

知识点一：复数的相关概念

知识梳理

1.理解复数的有关概念

（1）虚数单位:它的平方等于-1，即.

（2）复数的定义与表示：

形如的数叫复数，叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，

记作；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示.

复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.

（3）复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：

对于复数，当且仅当时，复数是实数，；

当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；

当且仅当时，就是实数0.

（4）两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.

这就是说，如果、、、，那么

【注意】

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数全是实数时才能比较大小.

（5）复数集与其它数集之间的关系：.

（6）共轭复数：

实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭.复数的共轭复数用表示，也就是当时，.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

　【注意】

共轭复数的几何与代数特征:

①几何特征：

非零复数互为共轭复数对应点（或对应向量，）关于实轴对称.

②代数特征：①为纯虚数或零； 　　②.

（7）复数的模：

复数在复平面内所对应的点到坐标原点的距离叫做复数的模，记作.

由模的定义，可知.

2.理解复数的有关运算及性质

（1）复数的四则运算：设，则

①加减：；    

②乘法：；

③除法：.

【特别提醒】

（1）对于代数形式的四则运算法则，要特别注意除法可以用“分母实数化”理解；

　　（2）复数的加减法满足交换律、结合律；

　　（3）复数的乘除法满足交换律、结合律及对加法的分配律；

　　（4）复数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的；

（5）复数加、减法几何意义，即是向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则.

（2）共轭复数的运算：

①；  ② ；　③；  ④；

⑤；  ⑥；

⑦若z为纯虚数且且；⑧.

（3）模的运算：

　① ； ②； ③；  ④；

　⑤（当z≠0时，）； 　⑥；

　⑦；

　⑧非零复数，，

对应向量（矩形的对角线相等）.

【注意】

(1)性质⑥通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（不作要求）；

(2)性质⑦的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和.

（4） 重要结论：

①对复数和自然数有；

② ，，，；，，，；

③ ，；④ ；

例题精讲

例1.已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例2.已知复数，且，求的值.

例3.已知复数zC，且，C，且，求的值。

例4.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

例5.已知复数满足且为实数，求．

例6.已知为复数，为纯虚数，，且．求复数．

例7.求同时满足下列两个条件的所有复数z；

   （1），且；（2）的实部与虚部都是整数．

巩固练习

1.己知，下列结论正确的是（     ）.

A.若，则       B. 若，则

C.若 ，则               D. 若（为复数的共轭复数），则纯虚数.

2.若复数满足：，则＿＿＿＿＿.

3．若复数满足为虚数单位)，则的实部为（    ）

A． B． C． D．

知识点二：复数的几何意义

知识梳理

理解复数的几何意义

(1）复平面的有关概念：实轴是轴,虚轴是轴；与复数 一一对应的点是； 非零复数与复平面上自原点出发以点为终点的向量一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.

【特别提醒】

(1)虚轴上的原点对应的有序实数对为， 它所确定的复数是表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

(2)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，这就是复数的一种几何意义,也是复数的另一种表示方法，即几何表示法.

(2）另外，要熟悉如下复数式的几何意义：

①两点间的距离公式：；　   　

②线段的中垂线：； 　　

③圆的方程：（以点为圆心，为半径）； 　

④圆的内部：（以点为圆心，为半径）； 　

⑤闭圆环：（以点为圆心，为半径）；

⑥椭圆： （为正常数，）；

  线段:  （为正常数，）；

  无轨迹:（为正常数，）；

⑦双曲线：（为正常数，）；

  射线:  （为正常数，）；

  无轨迹: （为正常数，）.

例题精讲

例1.已知为虚数单位，，则复平面上对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

例2.若复数满足,则_________________.

例3. 设复数，满足.求:

（1）的最大值和最小值；             （2）的最大值和最小值.

例4.（1）设，且有，求表示的点的轨迹；

（2）复数满足，求在复平面内对应点的轨迹；

（3）复数满足，求复数在复平面内对应点的轨迹；

例5.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.

（1）求实数a，b的值；

（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积.

巩固练习

1.复数z满足，则的最大值为（    ）

A．1 B． C．3 D．

2.已知复数．

（1）若复数是实数，则实数________________；

（2）若复数对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________________．

3.若表示的动点的轨迹是椭圆，则的取值范围是＿＿＿.

4.为虚数单位，设复数满足，则的最大值为  (     )

    A．           B．         C．         D．

知识点三：复数的根和实系数的一元二次方程

知识梳理

（1）复数的平方根与立方根：

如果复数和满足：，则称是的一个平方根．因为，所以，也是的平方根；

如果复数和满足：，则称是的一个立方根．

【注意】关于复数有如下性质：

①为1的立方虚根，即；

②满足以下等式：

,；

，；

，，；

，.

【注意】-1的立方根是-1，

（2）实系数的一元二次方程在复数集中解的情况：

设一元二次方程 ，

①原方程可变形为 ，即 ，

当 时，原方程有两个不等的实数根；

当时，原方程有两个相等的实数根 ；

当时，原方程有两个不等的虚数根，它们互为共轭虚数．

②韦达定理：无论还是，总有.

　 ③虚根成对出现的性质：当＜0时，且.

【注意】

（1）在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅

   在实数集上有效；

（2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现；

（3）齐二次实系数二次方程，将等式两端除以后，将得到一个关于得实系数一元二次方程；

（4）虚系数一元二次方程至少有一个为虚数）

　　①判别式判断实根情况失效；　　②虚根成对出现的性质失效；

　  如，虽然，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.

例题精讲

例1．已知，求的值.

例2．已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ）

A． B． C．2 D．4

例3．若为虚数且为实系数一元二次方程的两个根，且，求的值．

例4．设为实系数一元二次方程两虚根，且，求的值。

例5． 已知关于x的方程（R）的两根分别为、，若，求实数p的值.

例6．设关于的方程的两根为、，且，求实数的值.

例7．方程至少有一实根，求实数m的值和这方程的解．

例8．已知关于x的方程至少有一个模为1的复数根，求实数a的值。

巩固练习

1.已知方程有两个根，.若，求实数的值.

2.已知是模为的虚数，且是方程的实数根，求实数的取值范围.

3.方程的解集是（    ）

A． B． C． D．

1.下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2.复数的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

3．已知复数满足，，则正数（    ）

A．1 B．2 C． D．

4．复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

5. 设实数，如果复平面上的动点满足，则动点的轨迹是（     ）

．焦距为4的椭圆  ．焦距为的椭圆  ．焦距为2的椭圆   ．焦距为的椭圆

6. 设为关于的方程的虚根，为虚数单位.

（1）当时，求的值

（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.

7.设复数满足.(1)若，求；
(2)若，是否存在常数，使得等式恒成立，若存在，试求出；若不存在，请说明理由.

8. 设复数，其中，，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为．

（1）求复数，，的值；

（2）是否存在正整数使得∥？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；

（3）求数列的前项之和．

笔耕不辍