第21讲-数列求和的方法-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第21讲-数列求和的方法（原卷版）                     

                                                                        教学内容

1、已知数列中，，则____________.

2、已知是数列的前n项和，且，，则通项公式为__________.  

3、数列中，，则数列的通项(         )

知识点一：基本公式法

知识梳理

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.

①等差数列求和公式：

②等比数列求和公式：

常见的数列的前n项和：，  1+3+5+……+(2n-1)=

，等.

例题精讲

例1、已知，求.

例2、已知数列满足_______________.

巩固练习

1.求数列 1，2+3，4+5+6，7+8+9+10，… 的前项和。

知识点二：分组求和法

知识梳理

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例题精讲

例1、在数列中，，（），则数列的前项和      .

例2、求数列的前n项和：

例3、在数列中，，，．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．

例4、已知数列中，

（1）求证数列不是等比数列，并求该数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值.

例5、数列{an}：，求S2002.

例6、已知数列的通项公式为，求数列的前n项和。

例7、数列满足，则的前60项和为           。

巩固练习

1、已知数列的通项公式（其中），则该数列的前项和          .

2、已知数列的通项公式为，求数列的前n项和。

知识点三：裂项相消法

知识梳理

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1） 

 （2）

（3），

（4），特别地当时

例题精讲

例1、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

例2、已知数列的通项公式,且它的前n项和，则n的值为（      ）

A．98            B．99      C．100           D．101

巩固练习

1、求和

知识点四：倒序相加法

知识梳理

类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.

例题精讲

例1、已知函数用等差数列前n项和的方法求              .

例2、求的值

巩固练习

1、已知lg(xy)=a，求S，其中

知识点五：错位相减法

 知识梳理 

类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.

 例题精讲 

例1、求数列前n项的和.

例2、求和：………………………①

巩固练习

1、已知数列满足．

   （1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

   （2）求数列的前项和．

1、数列{an}的前n项和_______________

2、数列通项公式为则数列前n项和=________

3、数列的前项和，则

4、已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，且等差数列的前项和为，则数列的前10项和为________

5、已知，则

6、数列的通项，其前项和为，则为（     ）

A. 0               B. -1                  C.                 D.

7、已知数列的前项和为，那么（     ）

1. 此数列一定是等差数列            B.此数列一定是等比数列

C.此数列不是等差数列，就是等比数列          D.以上说法都不正确

8、已知数列为等差数列，公差，的部分项组成下列数列：恰为等比数列，其中，，，求．

9、已知，且，，数列、满足，，，．

(1) 求证数列是等比数列；

(2)已知数列满足，试建立数列的递推公式(要求不含)；

(3) 若数列的前项和为，求．

10、已知二次函数，当时，把在此区间内的整数值的个数表示为.

(1)求和的值；

(2)求时的表达式；

(3)令，求数列的前项和．

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