第09讲 函数和反函数的概念-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第09讲-函数和反函数的概念（解析版）
学习目标：
1、理解函数的有关概念，会用集合与对应的语言刻画函数；
2、能够熟练解答函数定义域、值域、解析式问题；
3、经历探索互为反函数的两个函数图像之间关系的过程，并掌握其关系，会求一个函数的反函数。

教学内容

1、已知函数，若，则 _________
【答案】-2
【解析】
2、已知函数在有意义，求实数a的取值范围。
【解析】由题意得：当时，恒成立，
所以，在时恒成立，从而。
设（），则在时单调递减，所以，当即时，，
从而实数a的取值范围是。
3、已知，求函数的最大值和最小值，并求此时相应x的值。
【解析】由，得：，
解得：。
，
因为，所以当时，，此时；
又因为，
所以当时，，此时。
综上，当时，函数的最大值为2；
当时，函数的最小值为。









知识点一：知识点一：函数的概念
知识梳理
一、函数的概念：
1、定义：（、、、都是函数吗？）
2、函数的三要素：定义域、对应法则、值域；
3、图像特征：在函数的定义域内作垂直于x轴的直线，它与函数图像有且只有一个交点；
4、表示方法：解析法、图像法、列表法等；
5、函数的运算：函数的和与积（关键：定义域求交集）。
二、定义域（集合或区间表示）：
1、分式：分母；
2、偶次根式（N*）：被开方数；
3、零次幂：底数；
4、对数（且）：真数；
5、正切：，Z；
此外，要注意实际问题中的背景意义。





例题精讲
例1：判断下列函数是否是同一函数？
（1）与；（否） （2）与 ；（否）
（3）与；（否） （4）与；（是）
（5）与；（否） （6）与；（否）
（7）与；（是） （8）与。（是）
例2：求下列函数的定义域：
（1）； 【解析】（）
（2）； 【解析】（）
（3）； 【解析】（）
（4）。 【解析】（）
例3：（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为；
（2）函数的定义域为，则函数的定义域是________；
【解析】因为相当于中的x，所以，解得或。
（3）若函数f(x+1)的定义域为[－，2]，求f(x2)的定义域．
【解析】先求f(x)的定义域： 由题意知－≤x≤2，则＜x＋1＜3，即f(x)的定义域为[，3]，
再求f[h(x)] 的定义域：∴ ＜x2＜3，解得－＜x＜－或＜x＜．
∴f(x2)的定义域是{x|－＜x＜－或＜x＜}．
（4）若的定义域为，求的定义域．
【解析】由的定义域为，则必有解得．
所以函数的定义域为．
例4：已知，求的解析式。
【解析】
例5：（1）已知，，则（）；
【解析】
（2） 已知的定义域为，则的定义域为（）；
【解析】
（3）设，则（）
【解析】
（4）设，且，则（）
【解析】 3 ；
（5）设，若，则（）
【解析】。
例6：（1）已知的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）已知的值域为R，求实数a的取值范围。
【解析】（1）由题意，得：恒成立，则，解得：实数a的取值范围是。
（2） 由题意，得：可以取得一切正实数，所以，解得：实数a的取值范围是。
例7：若函数的值域为R，则数a的取值范围是。
【解析】。
例8：（1）已知，，求函数和的解析式。
【解析】当时，；
当时，；
所以，；。
（2）已知，求的解析式。
【解析】（）
（3） 已知函数的定义域为，且满足，求函数的解析式。
【解析】（，）
（4）设函数的定义域为，且满足，求的解析式。
【解析】在 ①中用替代x，得： ②，联立①和②，解得：（）。
（5）已知满足，其中m、n为常数，，求函数的解析式。
【解析】设，则，所以 ①，
在①式中用替换t，得： ②，
联立①和②，解得：，
所以，。


知识点二：反函数的概念
知识梳理
一、反函数的概念：
1、 定义：（一一对应）；
2、 图像特征：如果一个函数有反函数，那么在函数的值域内作垂直于y轴的直线，它与函数图像有且只有一个交点，反之亦然。
二、求反函数的步骤：
1、 反解：用y表示x；
2、 互换：交换x和y的位置；
3、 定义：注明反函数的定义域（一般通过求原来的函数的值域实现）。
三、反函数的性质：
1、 函数与其反函数的图像关于直线对称；
2、 函数的定义域和值域是其反函数的值域和定义域；
3、 ，；
4、 若函数经过点，则其反函数经过点；
5、 互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
6、 奇函数若有反函数，则其反函数仍是奇函数；
7、 单调函数一定有反函数，反之不然。
【思考】判断以下命题的真假：如果函数与其反函数的图像有公共点，那么它们的公共点必在直线上。（假命题，如）

例题精讲
例1：求下列函数的反函数：
（1） ；【解析】（，R）
（2） （）；【解析】（，）
（3） ；【解析】（，）
（4） ，；【解析】（，）
（5） （）；
【解析】（，）
（6） （）；
【解析】令（），则，当时，，且
，所以，，因此，所求函数的反函数为（）。
（7） ；【解析】（）
（8） 。【解析】（）
例2：已知函数（）在区间存在反函数，则实数a的取值范围是（）。
【解析】
例3：（1）已知函数，则 ；
（2） 已知的反函数为，若的图像经过点，则 ；
（3） 已知在有反函数，则实数a的取值范围是（）；
【解析】（1）1 （2）1 （3）
例4：已知定义域为R的函数满足，求。
【解析】因为，所以，
从而，所以。
例5：设函数，又函数与的图象关于对称，求的值
【解析】解法一：由得，∴，，
∴与互为反函数，由，得
解法二：由得，∴，∴
例6：已知函数有反函数，
（1） 若的图像过点，则的图像必过点（）；
【解析】
（2） 若的图像过点，则的图像必过点（）；
【解析】
（3） 若的图像过点，则的图像必过点（）；
【解析】
例7：已知函数的反函数为，的图像过点，则的图像必过点.（）
【解析】
例8：已知函数的定义域为，值域为，其反函数为，则函数的定义域为，值域为（）
【解析】
例9：定义在R上的奇函数有反函数，则下列在图像上的点是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】B
例10：设，求的图像关于直线对称的图像的解析式。
【解析】因为，所以，因此。
设为函数上任意一点，其关于直线的对称点必在函数的图像上，
则，即，所以，所以，。
巩固练习
1、已知，则的解析式为 　　　 ．
【答案】
【解析】令，则．
2、函数满足，则＝______.
【解析】用配凑法，
所以

3、已知函数则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】当时，由已知有，解得，又，
则；当时，由已知有，解得，又，则，则不等式解集为.

4、设函数 ．
【答案】98
【解析】
==．


5、若函数的定义域为R，求实数的取值范围．
【解析】由题知，恒成立，
（1）当，而，得，此时，即不等式恒成立；
（2）当，即时，有，解得；综上所述，实数的值范围为．

6、设点在函数的图像上，则的反函数=_____________．
【答案】

7、已知点在函数（且）的图像上，则的反函数_____________．
【答案】


8、设为的反函数，则_____________．
【答案】1

9、若函数（）的反函数为，
则=_____________．
【答案】

10、已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则_____________．
【答案】
【解析】解得：

11、设函数（其中为常数）的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解_____________．
【答案】
【解析】由的图像经过点，可得函数过，所以可得，所以可得，所以方程的解为1.

12、已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为 .
【答案】

13、已知函数的对应关系如下表：




1
2

3

1
5

若函数不存在反函数，则实数的取值集合为

【答案】

14、已知函数的反函数是，在定义域上是奇函数，则正实数_____．
【答案】

15、已知定义在上的单调函数的图像经过点、，若函数的反函数为，则不等式的解集为 ．
【答案】

16、已知函数互为反函数，又的图像关于直线对称，若是上的函数，，则=_________．
【答案】

17、已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意，都有，当的时候，，在区间上的反函数为，则　　　　　　．
【答案】

18、设，则其反函数的解析式为（ ）
(A) (B)
(C) (D)
【答案】

19、已知函数的反函数为，则与图像（ ）
A. 关于轴对称 B. 关于原点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
【答案】D

20、已知函数为上的单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图像上，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C

21、已知函数（，）.
（1）若函数的反函数是其本身，求的值；
（2）当时，求函数的最小值.
【解析】（1），
所以反函数为，得到.
（2），
所以，函数的最小值为-3.
22、已知函数，其定义域为，
(1) 当时，求函数的反函数；
(2) 如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围．
【解析】(1) ；
(2) 若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；
若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；
当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是
，于是当或，即或时，
函数在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．
综上，．

23、已知函数的反函数为 ．
（1）若，求实数的值；
（2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围．
【解析】（1） 2分
3分
5分
经检验是原方程的解. 6分
（2） 8分 ， 10分
设，当 11分
（当且仅当，即时等号成立） 12分
，其中，所以
所以 13分
所以实数的取值范围是.
24、已知函数，其中.
（1）当，求证：函数是偶函数；
（2）已知，函数的反函数为，若函数在区间上的最小值为，求函数在区间上的最大值.
【解析】（1）当时，, （2分）
定义域为，关于原点对称， （1分）
，所以为偶函数. （3分）
（2）当时，为增函数，其反函数也为增函数.
所以：在区间上为增函数. （2分）
所以其最小值为，由，得：,（2分）
所以：，所以， （2分）
即：, 由在区间为增函数，
可得函数在区间上的最大值为.
25、已知函数的反函数为，记.
（1）求函数的最小值；
（2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.
【解析】（1）由得，即（）……1分
（）……2分
……3分
由于，所以（当且仅当时，等号成立）……5分
所以当时，函数……6分
（2）由（）得，
在区间上是单调递增函数
需满足：当时，，即…………10分
…12分，即，所以…………14分

26、已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）求的反函数；
（3）对于任意的，解不等式：.
【解析】（1） 定义域为 是奇函数，
将代入验证，得为奇函数成立， 4分
（2）的值域为
设则， 10分
（3）
16分


1、已知函数定义在R上,存在反函数,且,若的反函数是,则= ________________.
【答案】-1981
【解析】先对反解得出原函数为与为同一函数，即可得出关系

2、设为，的反函数，则的最大
值为 ________________.
【答案】
【解析】本题答案，复合函数最大值求法，根据原函数与反函数复合后构成的新函数在其新的定义域内单调性来求最大值。

3、函数的图像与的图像关于轴对称，若是的反函数，则的单调递增区间是________________.
【答案】
【解析】依题意可得，根据指数函数的性质可知在定义域内是减函数，
根据互为反函数的两个函数之间的关系和复合函数单调性的判定可知，的单调递增
区间即为的单调递减区间，该函数的单调递减区间为，所以答案为

4、已知函数，若存在实数满足，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】令则为的反函数，若存在实数满足，且为单调递增，只需要与有交点就行，

5、设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的值域也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”．已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，是的一个“保值域函数”，则___________．
【答案】1.
【解析】由题意得是单调递增的函数，所以或
当时，单调递增的函数，又因为是的一个“保值域函数”，
所以单调递增的函数，则也必定是单调递增的。
设，又因为函数与互为反函数，
所以，且和，，则等价为
，
所以,所以
同理可分析时，过程同上.
【点评】考察函数的新定义题型，重点是对题意的理解.
6、对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则
【答案】2
【解析】因为， 所以对于函数，
当时，，所以方程，即无解；
当时，，所以方程，即无解；
所以当时，方程，即无解；
又因为方程有解x0，且定义域为[0，3]，
故当时，的取值应属于集合，
故若，只有

7、已知函数的定义域为，值域为，即，
若，则称在上封闭.
（1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由；
（2）函数的定义域为，且存在反函数，若函数
在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；
（3）已知函数的定义域为，对任意，若，有恒成立，
则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足Ü，其中
（），，证明：存在的真子集， ÜÜÜ
ÜÜÜ，使得在所有（）上封闭.
【解析】（1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），
所以在上不封闭.………（结论和理由各1分）

在上封闭…（结论和理由各1分）
（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，
则，得到：.…（2分）
在单调递增.
则在两不等实根．…………（1分）
，
故，解得． …………（3分）
另解：在两不等实根．
令
在有两个不等根，画图，
由数形结合可知，，解得．

（3）如果，则，与题干矛盾.
因此，取，则.…………………………（2分）
接下来证明，因为是单射，因此取一个，
则是唯一的使得的根，换句话说.……………（2分）
考虑到，即，
因为是单射，则
这样就有了.…（3分）接着令，
并重复上述论证证明.…（1分）.

8、已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。
（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。
【解析】 （1）， 。
又 ，其反函数为 。
故不满足“1和性质”
（2）设函数满足“2和性质”，。
而，得反函数
由“2和性质”定义可知对恒成立。
即所求一次函数.
（3） 任取，由a积性质定义，则点关于y=x的对称点
在的图像上，即有。
特别地，取x=1，则上式对任意的恒成立。
由函数意义，变量可以替换，故有，其中c为任意非零常数（否则反函数不存在）。


【课堂检测2】
1、已知函数是以为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为_________________.
【答案】
【解析】
，且值域为，所以的反函数为

2、已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x的不等式的解集是_________________.
【答案】
3、记为常数，记函数（且，）的反函数为，则_________________.
【答案】
【解析】


4、已知函数与其反函数有交点，则下列结论正确的是（ ）
【】【】【】【】与的大小关系不确定
【答案】B
【解析】将化简可得可知图像是双曲线右支轴上半部分，渐近线方程为，要想该函数与其反函数有交点，则只需即可，得

5、已知函数=.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）求的反函数，并求使得函数有零点的实数的取值范围.
【解析】(1)f(x)的定义域为 f(-x)=log2=log2=-f(x)，
所以，f(x)为奇函数.
(2)由y=，得x=, 所以，f -1(x)= ,x0.
因为函数有零点，所以，应在的值域内.
所以，log2k==1+, 从而，k.

6、假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念．由指数函数在实数集上是单调函数，可知指数函数存在反函数，．请你依据上述假设和已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题：
（1）对于任意的正实数，都有；
（2）函数是单调函数．
证明：（1）设，，由题意，有，，（2分）
所以， （3分）
所以，，即． （2分）
（2）当时，是增函数．
证明：设，即，又由指数函数是增函数，得
，即． （4分）
所以，当时，是增函数． （2分）
同理，当时，是减函数． （2分）

7、设函数的反函数为．
(1) 若≤，求的取值范围；
(2) 在(1)的条件下，设，当时，函数的图像与直线有公共点，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)，()
不等式为，
解得．
(2)， ，
当时，单调递增，单调递增，
，因此当时满足条件
8、已知函数，函数是函数的反函数．
（1）求函数的解析式，并写出定义域；
（2）设，若函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线，
求证：函数在区间内必有唯一的零点(假设为)，且．
【解析】（1）， .又，
. . 由，可解得. ，.
证明：（2）由（1）可知，.
可求得函数的定义域为.
对任意，有，所以，函数是奇函数.
当时，在上单调递减，在上单调递减，
于是，在上单调递减. 因此，函数在上单调递减.
依据奇函数的性质，可知，函数在上单调递减，且在上的图像也是不间断的光滑曲线.
又,
所以，函数在区间上有且仅有唯一零点，且.

9、已知函数是单调递增函数，其反函数是．
（1）、若，求并写出定义域；
（2）、对于（1）的和，设任意，
求证：；
（3）、若和有交点，那么交点一定在上．
【解析】（1） 3+2=5分
（2） 7分
， 9分
， 10分

11分
（3）设是和有交点
即， 12分
当，显然在上 13分
当，函数是单调递增函数，矛盾 15分
当，函数是单调递增函数，矛盾 16分
因此，若和的交点一定在上 16分

10、已知函数（其中）.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断（其中且）的正负号，并说明理由；
（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的. 试判断的反函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由.
【解析】（1）因为，所以函数的定义域为实数集；…（ 1分）
又，
所以函数是奇函数．…………………………（4分）
（2）因为，所以在上递增，以下给出证明：任取，
设，，则
=，所以，即，．( 6分)
又为奇函数，所以且在上递增．
所以与同号，．
所以，当时，．……（ 8分）
（3）， …………………………（ 10分）
在区间上恒成立，即，或在区间上恒成立，( 12分)
令 因为，，在递增，所以，解得；
所以，．…………………………（ 16分）

11、已知函数（其中且），是的反函数.
（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；
（3）设，其中. 记，数列的前项的和为（），求证：.
【解析】（1）转化为求函数在上的值域，
该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范围为4分
（2）的定义域为，……………………… 5分
定义域关于原点对称，又， 故，
所以函数为奇函数。……………………… 6分
下面讨论在上函数的增减性. 任取，，设，令，
所以 因为，所以. 7分
又当时，是减函数，所以.
由定义知在上函数是减函数.……………………… 8分
又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数.…………………… 9分
（3） ；……… 10分 因为，，所以，
。…… 11分
设时，则 ，……… 12分 且，……… 13分
由二项式定理，………… 14分
所以，
从而。…………………… 18分





笔耕不辍
1、反函数的定义：设函数的定义域为，值域为，由求出.如果对于中；每个值，在中都有唯一的值和它对应，那么为以为自变量的函数，叫做的反函数，记作，（）；
2、反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一对应确定的函数才有反函数；单调函数一定有反函数，反函数不一定单调.
3、反函数的性质
①互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称．
②反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与互为反函数，函数的定义域为、值域为，则，；
【一些结论：】
（1）定义域上的单调函数必有反函数；
（2）奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；并不是所有的奇函数都存在反函数，如正弦函数；
（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；
注意： 奇函数不一定有反函数，比如；当奇函数存在反函数时，反函数一定是奇函数。
特别地，反比例函数的反函数亦为；偶函数不一定没有反函数，比如。
（4）周期函数在整个定义域内不存在反函数。
（5）原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线上或关于直线对称出现.

4、求反函数的一般步骤：
（1）求原函数的值域；
（2）反解，由解出；
（3）写出反函数的解析式（互换），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）。
注：析分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成.
5、若函数与互为反函数，且在的图像上，则在图像上;
6、若函数与互为反函数，若，则.
7、求证一个函数的图象关于成轴对称图形，只须证明.