第01讲-集合-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第1讲-集合  (原卷版)

                                                                        教学内容

1、若，，则（     ）

A.         B．      C．      D．

2、设集合，则（   ）

1.         B.      C.           D.

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割。

下列选项中，不可能成立的是（）

没有最大元素，有一个最小元素；

没有最大元素，也没有最小元素；

有一个最大元素，有一个最小元素；

有一个最大元素，没有最小元素.

知识点一：集合的概念

知识梳理

集合：

（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；

（2）元素与集合的关系：

①属于集合；②不属于集合．

（3）常用的数集：自然数集；正整数集；整数集；

有理数集；实数集；空集；复数集；

；；．

（4）集合的表示方法：

集合；例如：①列举法：；②描述法：．

（5）集合之间的关系：

①（读作包含于）（读作包含）集合是集合的子集；

特别地，；．

②或集合与集合相等；

③集合是集合的真子集．

例：；．

④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

例题精讲

例1、已知，若，则的值为             ；

例2、若集合，且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是________．

例3、若集合具有以下性质：（1）；（2）若，则，且时，，则称集合是“好集”，下列命题正确的个数是（  ）

①    集合是“好集”；

②    有理数集是“好集”；

③    设集合是“好集”，若，则；

例4、已知集合，若实数满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（  ）

例5、若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，则称是集合上的一个拓扑。已知集合，对于下面给出的四个集合：

①；                         ②

③；                         ④

其中是集合上的一个拓扑的集合的所有序号是                        ；

例6、若集合满足，必有，则称集合为自倒关系集合.在集合的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为（ ）

例7、设绝对值小于1的全体实数构成集合S，在S中定义一种运算“*”，使得，求证：如果a，，那么.

巩固练习

1、设集合，，则集合中元素的个数为      ；

2、如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，，则为（  ）

3、已知，若集合中恰有3个元素，则的取值范围为          ；

4、设为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是_______．

5、设A，B为非空集合，定义，已知，，则________.

6、对于任意非空集合、，定义，若，则________（用列举法表示）

知识点二：集合的运算

知识梳理

1、集合的运算：

①交集：集合与集合的交集；

②并集：集合与集合的并集；

③补集：设为全集，集合是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合在全集中的补集，记作；

④得摩根定律：；；

⑤容斥原理：用表示集合的元素个数，则

；．

2、集合的子集个数：

     若集合有个元素，那么该集合有个子集；个真子集；个非空子集；个非空真子集．

例题精讲

例1、设集合，,求.

例2、已知，集合，记，(    )

A． B． C． D．

例3、用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合. 则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．5

例4、设数集，且，都是集合的子集，如果把叫做数集的长度，那么集合的长度的最小值是_________.

例5、已知，.

（1）求和；

（2）定义且，求和.

例6、对任意两个集合和．是指所有属于，但不属于的元素的集合；和对称差规定为．设集合，．求．

巩固练习

1、设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：.如果，则                                        ；

2、定义集合A与B的运算：，已知集合，，则为（    ）

A．         B．         C．         D．

知识点三：集合新定义

知识梳理

解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．

例题精讲

例1、设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域例如有理数集是数域，有下列命题：①数域必含有两个数：②整数集是数域：③若有理数集，则数集必为数域：④数域必为无限集。其中正确的命题的序号是            ；

例2、设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；

（i）；（ii）对任意，当时，恒有．

那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：

①；②；③．

其中，“保序同构”的集合对的序号是            （写出所有“保序同构”的集合对的序号）

例3、设整数,集合.令集合，若和都在中,则下列选项正确的是(    )

A. ,           B．,

例4、已知为合数，且，当的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为的“衍生质数”，

（1）若的“衍生质数”为2，则         ;

（2）设集合，，则集合中元素的个数是         ；

例5、设全集，用的子集可表示由组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为，第4个字符为。其余均为0的6位字符串，并规定空集表示的字符串为.

①若，则表示的6位字符串为              ；

②若，集合表示的字符串为，则满足条件的集合的个数是            ；

巩固练习

1、已知集合，若数列是等差数列，记集合的元素个数为，则关于

的表达式为           ；

小结：本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想，属于难题。新定义题型的特点是：通过给岀一个新概念，或约定一种新运算，或给岀几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的。遇到新定义问题应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决。

 1、若集合中只有一个元素，则=（    ）

A．4               B． 2         C．0          D．0或4

2、定义集合的商运算为，已知集合，，则集合中的元素个数为         ；

3、设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于（ ）

A． B． 

C． D．

4、设全集为定义集合与的运算：且，则（   ）

A． B． C． D．

5、定义集合运算：，设集合 ，，则集合 的所有元素个数为          ；

6、设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：且.如果，，则            ；

7、已知集合，定义集合，则等于           ；

8、用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，则实数的取值范围是           ；

9、已知集合，．

（1）求出集合；

（2）试定义一种新集合运算△，使；

（3）若有，按（2）的运算，求出．

10、对于集合､,我们把集合{且}叫做集合与的差集,记作.

(1)若集合,求；

(2)若集合,,且,求实数的取值范围.

笔耕不辍