第05讲-基本不等式-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第05讲-基本不等式（解析版） 学习目标：  1、基本不等式概念辨析2、利用基本不等式求最值3、利用基本不等式证明不等式4、基本不等式的实际应用5、基本不等式的综合运用                                                                          教学内容1、解下列不等式（1）；【答案】（2）；【答案】（3）。【答案】 2、已知函数其中（1）解关于的不等式；（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数.【答案】（1）见解析（2）当时，在区间上是单调减函数【解析】解：（1）不等式即为      当时，不等式解集为；   当时，不等式解集为；            当时，不等式解集为     （2）任取则      所以要使在递减即只要即 故当时，在区间上是单调减函数.       知识点一：基本不等式知识梳理知识点1：基本不等式1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3、不等式链：当为正数时,  （当且仅当时取“”号），即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数；4、利用基本不等式求最值基本不等式可以用来求最值，但要注意条件的满足：一正、二定、三相等；如：若变数，则若（常数），则当且仅当时，有最小值；若（常数），当且仅当时，有最大值.      知识点2：耐克函数1、函数图象及性质（1）函数图象如右图所示：（2）函数性质：①值域：；②单调递增区间：；单调递减区间：．题型一：基本不等式概念辨析例题精讲例1、条件“且”是结论“”成立的          条件。【答案】充分非必要条件【解析】必要性不满足，反例： 例2、已知实数、，判断下列不等式中哪些一定是正确的？ （1） ；  （2）；   （3）；   （4）（5）；      （6）         （7）【答案】（2）（3）（6）（7）【解析】（1）错误。、为负实数时不正确   （2）正确   （3）正确   （4）错误。、为负实数时不正确   （5）错误。、为负实数时不正确   （6）正确   （7）正确 例3、如果正数满足，那么（  ）（A），且等号成立时的取值唯一（B），且等号成立时的取值唯一（C），且等号成立时的取值不唯一（D），且等号成立时的取值不唯一【答案】A【解析】 巩固练习 1、设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（   ）A．a+b+≥2     B (a+b)( +)≥4C ≥a+b         D ≥【答案】D【解析】  A,B显然满足，而C中，2、若，，且，则在中最大的一个是_____________。【答案】【解析】已知若，，则  题型二：利用基本不等式求最值例题精讲例1、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．【答案】81【解析】，当且仅当x＝y＝9时等号成立．例2、设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则＋的最小值是________．【答案】4【解析】由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.例3、已知，且，则的最小值                     。【答案】5【解析】例4、求的最小值.【答案】9【解析】方法一：当时，，当且仅当即时取等号.方法二：设，则，原式当且仅当即时取等号. 例5、已知，求的最大值.【答案】【解析】，由于，，所以，，当且仅当即时取等号.例6、当时，求的最大值．【答案】8【解析】，当，即时取等号，∴当时，的最大值为8． 例7、已知，求的最大值.【答案】1【解析】 ，当且仅当，即时取等，所以y得最大值为1. 例8、设为实数，若，则的最大值是          ．【答案】【解析】，可解得的最大值为．例9、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值．【答案】2【解析】法一：＋ ≤＝＝2． 法二：W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20，∴W≤＝2． 例10、已知且，求的最小值.【答案】 【解析】 . 例11、若已知，则的最小值为            ．【答案】【解析】时可取得函数的最小值，此时，此时，最小值为．  巩固练习 1、已知：求的最小值。【答案】25【解析】＝（）（4＝    当且仅当4时，得： 2、设，求函数的最大值．【答案】【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．3、的最小值____________.【答案】3【解析】由得，代入　得，当且仅当＝3 时取“＝”． 4、已知a，b都是负实数，则的最小值是________.【答案】【解析】  5、求函数的最大值．【答案】【解析】注意到与的和为定值．，又，，当且仅当=，即时取等号，故．6、若实数满足，则的最大值是          ．【答案】．【解析】即7、已知，且，则的最大值为.【答案】【解析】方法一（直接法）：由  ，即；方法二（消元法）：，由于，所以，下面转化为求二次函数在区间上的最大值，不难求得最大值为.8、已知为正实数，且，求的最大值.【答案】【解析】由于，，又所以. 9、设是不全为零的实数，求的最大值．【答案】【解析】显然我们只需考虑的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我们假设可以找到相应的正参数满足：故  依据取等号的条件得，，参数就是我们要求的最大值．消去我们得到一个方程，此方程的最大根为我们所求的最大值，得到．10、已知，则的最小值是__________.【答案】4【解析】， ，当且仅当即时取等号。题型三：利用基本不等式证明不等式例题精讲例1、已知求证.【答案】略【解析】当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，∴，即．当且仅当时等号成立例2、已知，且，求证：．【答案】略【解析】当且仅当时，等号成立．   巩固练习 1、已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.【答案】略【解析】∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，∴(－1)(－1)(－1)＝＝≥＝8.当且仅当a＝b＝c＝时取等号． 题型四：基本不等式的实际应用例题精讲例1、为了提高产品的年产量，某企业拟在2020年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用万元(≥0)满足 (k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业2020年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】(1) (元)( )．(2)3.【解析】(1)由题意可知，当时， (万件)，∴，∴＝2，∴，每件产品的销售价格为1.5× (元)，∴2010年的利润(元)( )． (2)∵，∴， ∴， 当，即，. ∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．  巩固练习 1、如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？【答案】见解析【解析】（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S，则S=xy.由于2x+3y≥2=2,∴2≤18,得xy≤，即S≤.当且仅当2x=3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大。(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.由xy=24，得x=.∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋总长最小.题型五：基本不等式的综合运用例题精讲例1、关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（   ）A.2∈M，0∈M；      B.2M，0M；     C.2∈M，0M；     D.2M，0∈M．【答案】A【解析】方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是否为；           方法2：求出不等式的解集：≤＋4； 例2、已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为____．【答案】【解析】因为x>a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.    答案：例3、已知a、b满足，若恒成立，则实数c的取值范围是。【答案】【解析】法1：由题意，得：。因为，所以，，即（此时，），所以。法2：设，则，（下同）例4、若不等式对恒成立，求实数m的取值范围。【答案】【解析】因为，所以恒成立，因此。而函数在单调递增，在单调递减，，，所以，即，所以实数m的取值范围是。例5、【答案】4【解析】例6、关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围。【答案】【解析】因为，所以在恒成立，因此。又因为，当且仅当时等号成立，，当且仅当或时等号成立，所以当时，取最小值10，因此，实数a的取值范围是。    例7、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400m2的三级污染水处理池，由于受场地限制，长、宽不能超过25m.池外圈建造单价每米为200元，中间两条隔墙建造单价每米为250元，池底建造单价每平方米为80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)设污水处理池和隔墙垂直一边长为x(m)，写出总造价y(元)与x的函数关系式，并指出其定义域；(2)求污水处理池的两邻边长各为多少米时，池的总造价最低，并求出最低总造价．【答案】见解析【解析】（1）∵污水处理池的一边长为xm，∴它的邻边长为m，隔壁长也为m.根据题意得，y＝200＋250××2＋80×400，即y＝400＋32000.由得定义域为，{x|16≤x≤25}．(2)y＝f(x)＝400＋32000≥800＋32000＝24000＋32000＝56000，当且仅当x＝(x>0)，即x＝30时取等号，但由(1)知x≤25，即x＝30不在[16,25]上，因此y的最小值不能是56000.不妨研究f(x)的单调性，对任意的x1，x2∈[16,25]，设x1<x2，∵f(x2)－f(x1)＝400＝400(x2－x1)，而x2－x1>0，又x1x2<252<900，故1－<0.∴f(x2)－f(x1)<0.故f(x)在[16,25]上是减函数．于是y＝f(x)≥f(25)＝400×＋32000＝56000＝56400(元)．   巩固练习1、判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)(3)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为2.(　　)(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×【解析】(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为－5.(5)x>0且y>0是＋≥2的充分条件．2、已知x、yR+，求使恒成立的实数t的取值范围。【答案】【解析】由题意，得：恒成立，因此恒成立，所以。又因为x、y∈R+，所以，即，从而，，即实数t的取值范围是。3、若，则的大小关系是      ．【答案】R>Q>P．【解析】∵ ∴，（，，∴R>Q>P． 1、求函数的最小值时，指出当为______取得最小值。【答案】【解析】当且仅当时，有最小值为2、已知为正实数，，求函数的最小值______.【答案】【解析】由于为正实数，，而代入不等式,即得，解得，即.3、已知，则的最小值为_________【答案】64【解析】。当且仅当时，即，上式取“=”，故。4、若实数、满足，则的取值范围是_________.        【答案】【解析】 方法一：，则的取值范围是法二：参数方程5、己知，，，且，则的最小值为       ．【答案】．【解析】由题意得，，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时，等号成立，综上，即所求最小值为．6、已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为(   )【A】2             【B】4             【C】6              【D】8【答案】B【解析】不等式对任意正实数恒成立，则，∴ 或舍去)，所以正实数的最小值为4，选B． 7、已知, , 当取到最小值时, _________.【答案】【解析】, , ，当时取等号，，（当且仅当取等号）解得 8、【答案】 【解析】一正二定三相等再次忽略。，  9、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m，问、分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）  【答案】为m，为2.828m时,用料最省.【解析】由题意得，∴ ，  于是框架用料长度为，       当，即=8－4时等号成立.       此时， ,=2≈2.828.       故当为m，为2.828m时,用料最省. 10、围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m。设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【答案】(1) ;10440元.【解析】(1)设矩形的另一边长为 m.则.由已知，得，所以．(2)∵，∴.∴.当且仅当时，等号成立．即当 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．课堂错题收集