第29讲-抛物线-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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  第29讲-抛物线（解析版）学习目标：  掌握抛物线的定义 掌握抛物线的几何图形、标准方程                                                                          教学内容1.设是第二象限角，方程表示的曲线是（    ）A. 焦点在轴上的椭圆    B. 焦点在轴上的椭圆C. 焦点在轴上的双曲线   D. 焦点在轴上的双曲线【答案】C【解答】是第二象限角原方程化为 易知：的系数为负，的系数为正，∴方程表示焦点在y轴上的双曲线.2.过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是               .【答案】 【解析】设所求双曲线为，将点代入得所以即为所求. 通过折切线构造抛物线在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点。如图所示的方法，将纸折20—30次。所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廊。 知识点一：抛物线的定义知识梳理平面内与一定点..和一条定直线（不在上）的距离相等的点P的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．注意：当点在上时，上述表述的动点的轨迹是过点与垂直的直线．    例题精讲例1：方程表示的曲线为（     ） 【A】抛物线            【B】椭圆           【C】双曲线            【D】直线【答案】D【解析】几何意义为：动点到定点和定直线的距离相等，因为定点在定直线上，所以动点的轨迹为直线。 巩固练习1．已知点，直线：，点是直线上的动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点所在曲线是         （ ）【A】圆               【B】椭圆             【C】双曲线           【D】抛物线【答案】D【解析】由对称性可知：点到定点和定直线：的距离相等，所以点的轨迹是抛物线。 2.动圆M与定直线相切，且与定圆：相外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【答案】【解析】设M（x，y），半径为r，则，且，化简可得：，即圆心M的轨迹方程为．   知识点二：抛物线的标准方程知识梳理标准方程图形开口方向向右向左向上向下范围，，，，对称轴x轴y轴顶点原点焦点准线方程 例题精讲例题：（1）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是        ．【答案】（2）已知抛物线上的点到定点和到定直线的距离相等，则     .  【答案】（3）设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为    .【答案】或  巩固练习1.若抛物线的顶点在原点，焦点和椭圆的右焦点重合，则抛物线的标准方程为         ．【答案】2.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为     ．【答案】3.在平面直角坐标系中，动点P和点M(-2,0)、N(2,0)满足，则动点的轨迹方程为          .【答案】 知识点三：抛物线的性质知识梳理设抛物线方程：，过焦点的直线（斜率存在且），对应倾斜角为，与抛物线交于．联立方程：，整理可得：则可得以下结论：（1），；（2），，；（3）为定值；  （4）以为直径的圆和抛物线的准线相切于，以为直径的圆与相切于；（5）       ；（6）；（7），，三点共线；（8）被抛物线平分．例题精讲例题1：设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若的重心与焦点重合，则的值是______________.【答案】设，可知抛物线的焦点是，根据抛物线的定义，则．例题2：设抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径作一圆，与抛物线在轴上方交于，则的值为  （  ）8            18                    4【答案】根据题意可作出图形如图所示，过分别向准线作垂线交于，设，则，且圆的方程为，联立，可得所以．选A．   例题3：已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，为坐标原点，若点为的重心，的面积分别记为，则的值（ ）【A】16             【B】48              【C】96              【D】192【答案】B【解析】以为底，为高，又为重心，即巩固练习1.过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、为直径的圆方程是            ．【答案】可知，所以，所以半径为2，此圆的方程为．2.过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，如果，那么（    ）A．8 B．10    C．6   D．4【答案】A3.若是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则________.【答案】200   例题精讲例1：设为抛物线的焦点（1）点，若点在抛物线上移动，则的最小值是__________。（2）点，若点在抛物线上移动，则的最小值是__________．（3）直线、直线，若点在抛物线上移动，则到和的距离之和的最小值是__________．【答案】    例2：过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（    ）A、有且仅有一条       B、有且仅有两条        C、有无穷多条         D、不存在【答案】的焦点，若直线平行于y轴显然不满足题意．于是可设直线方程为将直线方程代入抛物线方程可得，方程显然有两个实根，且两根之和为，两根之积为1，故两根都大于0，它们的横坐标之和．答案：B例3：若动弦在抛物线上移动，但其中点横坐标始终是4，则的最大值为___.解：设中点坐标为，，显然，有，所以最大值为10.  巩固练习1.已知抛物线的焦点为，定点的坐标为，若点为抛物线上的一点，到准线的距离为，且最小，求此时点坐标．【答案】2.点，抛物线（）的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于           ．【答案】22或423.抛物线的焦点为F，点A、B在此抛物线上，且∠AFB＝90°，弦AB的中点M在其准线上的射影为M′，则的最大值为________．【答案】知识点四：直线与抛物线关系知识梳理 例题精讲例1：过点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，则            ．【答案】直线方程为，代入抛物线，得：，，，则．例2：在抛物线上求一点，使该点到直线的距离最短，该点的坐标是_______.【答案】例3：若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的范围  【答案】设对称的两点分别为，中点，考虑到直线应与垂直，设直线，联立方程得，，所以，，点也在上，所以，即代入直线，得，所以方程化简为考虑到，解得巩固练习1.若直线与抛物线仅有一个公共点，则实数          . 【答案】联立，可得，当时，满足题意；当时，所以．综上或（二次项系数为0的情况不要忘记讨论）2.设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有条，则的取值集合是________【解析】设，由点差法得得，，即，又，故，，所以，不符合题意，所以当存在时不存在这样的直线，而斜率存在时必有两条，故. 知识点五：综合问题知识梳理例题精讲例1：已知抛物线的焦点，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离是，过作垂直于轴，垂足为，中点为。（1）求抛物线方程；（2）过作，垂足为，求点坐标；（3）以为圆心，为半径作圆，当是轴上的动点时，讨论直线与圆的位置关系。【解析】（1）；（2）因为，由题意，，又因，故；而故，则所在直线方程为，所在直线方程是，解方程组，故。（3）由条件，圆的圆心，半径为，当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离是。令，解得。故当时，直线与圆相离；同理，当时，直线与圆相切；时，直线与圆相交。例2：已知动圆过定点，且与直线，其中.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当、变化且为定值时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）由，解得动圆圆心的轨迹的方程为：.（2）设，由题意得且，，所以直线AB的斜率存在，设其方程为由，得，     ①（ⅰ）时，   ②由①、②得，，.所以直线AB的方程为，故直线AB恒过定点（ⅱ）时，，.，得      ③由①、③得，所以直线AB的方程为，故直线AB恒过定点.由（ⅰ）（ⅱ）知，当时，直线AB恒过定点；当时，直线AB恒过定点.巩固练习1.抛物线的方程为，过抛物线上一点作斜率为、的两条直线分别交抛物线于两点，（P、A、B三点互不相同），且满足（且）.（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB上一点M，满足,求证：线段PM的中点在轴上；（3）当时，若点P的坐标为，求为钝角时点A的纵坐标的取值范围.【答案】（1）由   焦点为，准线方程为（2）证明：点在抛物线上，过点、的直线方程为，即由，得当时，，.同理设点M的坐标为.由，得，又，，即，即线段PM的中点在轴上.（3）由在抛物线上，所以，又，所以根据（2）中，所以，，，为钝角或又，当时，；当时，，所以的取值范围是.1．已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为(　　)A．2  B．3  C.  D.答案　B解析　因为抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.2．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)A.  B.  C．(1,0)  D．(2,0)答案　B解析　方法一　∵抛物线C关于x轴对称，∴D，E两点关于x轴对称．可得出直线x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)．不妨设D(2,2)，E(2，－2)，则＝(2,2)，＝(2，－2)．又∵OD⊥OE，∴·＝4－4p＝0，解得p＝1，∴C的焦点坐标为.方法二　∵抛物线C关于x轴对称，∴D，E两点关于x轴对称．∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等．不妨设点D(2,2)，将点D的坐标代入C：y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，故C的焦点坐标为.3．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)A．1  B．2  C．3  D．4答案　C解析　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.4．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(　　)A．经过点O   B．经过点PC．平行于直线OP   D．垂直于直线OP答案　B解析　如图所示，P为抛物线上异于O的一点，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线经过点P.5.给定抛物线：，F是的焦点，过点F的直线与相交于A、B两点.（1）设的斜率为1，求与得夹角的大小.（2）设，若，求在轴上的截距的变化范围.【答案】（1）的焦点坐标为，直线的斜率为1，所以的方程为.将代入方程，并整理得.设，则有，.设与的夹角为，则所以与的夹角的大小为.（2）由题设得，即，得，因为，， 所以。联立解得：，依题意得，所以或，又得直线的方程为或当时，在轴上的截距为或.可知在上是递减的.故，即直线在轴上的截距的变化范围为.  笔耕不辍