人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时训练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时训练，共6页。
基本不等式的简单应用[A级　新教材落实与巩固]一、选择题　　　　　　　　　　　　　　 1．已知m，n>0，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　B　)A．100    B．50    C．20    D．10【解析】 由m2＋n2≥2mn，得mn≤＝50，当且仅当m＝n＝5时等号成立，故选B.2．已知a>0，b>1，且a(b－1)＝4，则a＋b的最小值为(　C　)A．3    B．4C．5    D．6【解析】 a＋(b－1)≥2＝2＝4，当且仅当a＝2，b＝3时，等号成立，所以a＋b≥5.3．已知0<x<，则x(1－4x)取最大值时x的值是(　C　)A．     B． C．     D． 【解析】 因为0<x<，所以0<4x<1，1－4x>0，所以x(1－4x)＝·4x(1－4x)≤＝，当且仅当4x＝1－4x，即x＝时，等号成立．故选C.4．若对x>0，y>0，有(x＋2y)≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　A　)A．m≤8    B．m>8C．m<0    D．m≤4【解析】 因为(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当x＝2y时等号成立，所以m≤8.5．下列各函数中，函数的最小值为2的是(　A　)A．y＝＋    B． y＝C．y＝    D．y＝x－【解析】 y＝＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立；y＝＝x＋＋1，当x>0时，y≥3，当且仅当x＝1时，等号成立，当x<0时，y≤－1，当且仅当x＝－1时等号成立；y＝＝＋>2＝2，等号不能成立；y＝x－没有最值．综上，选项A符合题意．6．已知x<－2，则2x＋的最大值为(　C　)A．2    B．2－4C．－2－4    D．－2【解析】 由x<－2，知x＋2<0，2x＋＝2(x＋2)＋－4≤－2－4＝－2－4，当且仅当x＝－－2时等号成立，故选C.7． 下列结论正确的是(　BCD　)A．a>0，b>0，则≤2B．a2＋的最小值为1C．a>0，b>0，a＋b＝3时，ab的最大值为D．a＋b＝3时，a2＋b2的最小值是【解析】 由≤2得a＋b≤2，显然选项A错误；a2＋＝(a2＋1)＋－1≥2－1＝1，当且仅当a＝0时等号成立，所以选项B正确；ab≤＝＝，所以选项C正确；由2ab≤a2＋b2得(a＋b)2≤2(a2＋b2)，所以a2＋b2≥＝，所以选项D正确．二、填空题8．已知x，y都是正数．(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是__2__； (2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是____. 【解析】 (1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2，当且仅当x＝y＝时，取最小值．(2)xy≤＝＝，即xy的最大值是，当且仅当x＝y＝时，xy取最大值．9．一批救灾物资随17列火车以v km/h的速度匀速直达400 km以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于km，则这批物资全部运送到灾区最少需__8__h．(火车长度忽略不计)【解析】 物资全部运送到灾区需t＝＝＋≥8 (h)，当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，故最少要用8 h．10．的最小值是____．【解析】 ＝＝＋－.由于＋≥2＝4，－≥－，从而当x＝0时，有最小值为.三、解答题11．(1)已知x>1，求x＋的最小值；(2)求的最大值．解：(1)因为x>1，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以x＋的最小值为3.(2)由题意得0≤x≤10，∴≤＝5，当且仅当x＝5时等号成立，∴的最大值为5.12．(1) 设x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值；(2)设x>0，y>0，且x＋2y＝1，求＋的最小值．解：(1)∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋y＝＝3＋＋≥3＋2，当且仅当即x＝＋1，y＝2＋时等号成立，即(x＋y)min＝3＋2.(2)∵x>0，y>0，且x＋2y＝1，∴＋＝＝3＋＋≥3＋2.当且仅当即x＝－1，y＝时等号成立，∴＝3＋2.[B级　素养养成与评价]13．已知a>0，b>0，且a＋b＝3，则(1＋a)(2＋b)的最大值为__9__．【解析】 由不等式xy≤，得(1＋a)(2＋b)≤＝＝9，当且仅当1＋a＝2＋b，即a＝2，b＝1时，(1＋a)(2＋b)取得最大值9.14．设x>y>0，则x2＋的最小值为__4__．【解析】 ∵x>y>0，∴x2＋≥x2＋＝x2＋≥4.当且仅当x＝y＝时取等号．15．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获得2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天完工，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)解：设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得y＝2x－＝118－＝118－＝130－≤130－2＝130－112＝18，当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号，所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．