单调性的概念与证明

[A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．若函数f(x)＝(3a＋2)x－5在R上是增函数，则实数a的取值范围是(　D　)

A．

B．

C．

D．

【解析】 依题意得3a＋2>0，所以a>－.

2．若函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，则下列关系正确的是(　B　)

A．f(0)>f(3)

B．f(－1)>f(1)

C．f(0)<f(2)

D．f(－1)<f(2)

【解析】 因为函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，所以f(－1)>f(1).

3．函数y＝|x－2|在区间[－2，3]上(　C　)

A．单调递减

B．单调递增

C．先单调递减后单调递增

D．先单调递增后单调递减

【解析】 y＝|x－2|＝作出图象(图略)可知，函数在区间[－2，2)上单调递减，在区间[2，3]上单调递增．

4．下列函数中，在区间上单调递增的是(　C　)

A． y＝－x＋1

B． y＝x2－4x＋5

C． y＝

D． y＝

【解析】 y＝－x＋1，y＝x2－4x＋5，y＝在区间上单调递减；y＝在区间上单调递增．故选C.

5．若函数f(x)＝－x2＋2(a＋5)x＋2的单调递减区间为[4，＋∞)，则a的值是(　A　)

A．－1    B． －2

C．1    D．2

【解析】 函数图象的对称轴为直线x＝－＝a＋5.因为f(x)＝－x2＋2(a＋5)x＋2的单调递减区间为[4，＋∞)，所以a＋5＝4，得a＝－1.

6．已知函数f(x)在R上单调递增，对任意实数a，b，若a＋b>0，则有(　A　)

A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)

B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)

C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)

D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)

【解析】 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，

∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，

∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b).故选A.

二、填空题

7．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是__(－∞，1)__；单调递增区间是__[1，＋∞)__.

【解析】 当x≥1时，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)；当x<1时，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1).

8．设x1，x2∈[a，b]，若>0，则f(x)在区间[a，b]上单调递__增__(填“增”或“减”).

【解析】  由>0知，f(x1)－f(x2)与x1－x2同号，即若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，反之亦然．故f(x)在区间[a，b]上单调递增．

9．已知二次函数f(x)的图象关于y轴对称，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(0)，f(2)，f(－3)的大小关系为__f(0)<f(2)<f(－3)__．

【解析】 因为二次函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(－3)＝f(3).又因为函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(0)<f(2)<f(－3).

10．已知f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，若f(x)<f(2x－3)，则x的取值范围是____．

【解析】 由已知得解得<x<3.

11．若f(x)在R上单调递增，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为____．

【解析】 由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，

又f(3)＝1，∴f(－2x)>f(3).

∵f(x)在R上单调递增，∴－2x>3，解得x<－.

故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.

三、解答题

12．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．

解：f(x)＝的图象

如图所示．

由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]，单调递增区间为[2，＋∞).

13．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．

解：函数f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(－b，＋∞).在定义域内任取x1，x2，且使x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝－

＝

＝.

∵a>b>0，x1<x2，∴b－a<0，x2－x1>0.

只有当x1<x2<－b或－b<x1<x2时，函数才单调．

当x1<x2<－b或－b<x1<x2时，f(x2)－f(x1)<0.

∴y＝f(x)在(－∞，－b)上单调递减，在(－b，＋∞)上也单调递减．

∴y＝f(x)的单调递减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，无单调递增区间．

[B级　素养养成与评价]

14．已知函数f(x)＝，若0<x1<x2<x3，则，，的大小关系是(　C　)

A．<<

B．<<

C．<<

D．<<

【解析】 由题意可得0<x1<x2<x3≤2，

而＝＝，

∴y＝在(0，2]上单调递减，∴<<，选C.

15．已知f(x)＝且对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，都有<0，求实数a的取值范围．

解：由<0恒成立，

得f(x)在R上单调递减⇒⇒0<a≤2.∴a的取值范围是(0，2].

16．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f≤2.

解：(1)证明：∀x1，x2∈R，且x1<x2，

则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，

所以f(x2)－f(x1)

＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)

＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)

＝f(x2－x1)－1>0，

所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数．

(2)因为f＝f(x)－f(y)，

所以f(y)＋f＝f(x).

在上式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)，

因为f(2)＝1，所以f(4)＝2.

于是不等式f(x)－f≤2等价于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3).又由(1)知f(x)是R上的增函数，

所以解得－1≤x<3或3<x≤4，

所以原不等式的解集为[－1，3)∪(3，4].