两角和与差的正弦、余弦、正切公式

[A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．sin 105°的值为(　D　)

A．　　　　　　B．

C．　    D．

【解析】 sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋

cos 45°sin 60°＝×＋×＝.

2． 下面各式中，正确的是(　ABC　)

A．sin ＝sin cos ＋cos

B．cos ＝sin －cos cos

C．cos ＝cos cos ＋

D．cos ＝cos －cos

【解析】 ∵sin ＝sin cos ＋cos sin ＝sin cos ＋cos ，∴A项正确；∵cos ＝－cos ＝－cos ＝sin －cos cos ，∴B项正确；∵cos ＝cos ＝cos ·cos ＋，∴C项正确；∵cos ＝cos ≠cos －cos ，∴D项不正确，故选ABC.

3．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是(　C　)

A．　    B．

C．　    D．

【解析】 tan (α＋β)＝＝＝1.

因为0<α<，π<β<，所以π<α＋β<2π，

则α＋β是第三象限角，所以α＋β＝.

4．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝(　B　)

A．m    B．(1－m)

C．(m－1)    D．(m＋1)

【解析】 由tan 60°＝tan (28°＋32°)＝得，

tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)

＝(1－m).

5．若sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝0，则sin (α＋2β)＋sin (α－2β)等于(　C　)

A．1    B．－1

C．0    D．±1

【解析】 sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α＝0，sin (α＋2β)＋sin (α－2β)＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0.

6．已知0<α<β<，tan α，tan β是方程x2－kx＋2＝0的两个不等实根，则下列结论错误的是(　A　)

A．tan α＋tan β＝－k

B．tan (α＋β)＝－k

C．k>2

D．k＋tan α≥4

【解析】 因为α，β为锐角，所以tan α>0，tan β>0.

依题意得tan α＋tan β＝k>0，tan αtan β＝2，Δ＝k2－4×2>0，

解得k>2，tan (α＋β)＝＝＝－k.

又k＝tan α＋tan β＝tan α＋.

所以k＋tan α＝2tan α＋≥2＝4(当且仅当tan α＝1时，等号成立).

综上，选项B，C，D结论正确，选项A结论错误．

二、填空题

7．＝__－__．

【解析】 原式＝＝tan (45°＋75°)＝

tan 120°＝－.

8．化简：＝__1__．

【解析】 原式＝＝＝1.

9．已知tan ＝2，则＝__12__．

【解析】因为tan ＝2，所以＝2，解得tan α＝，所以＝＝＝＝12.

10．已知cosθ＝，0<θ<，则sin ＝____；sin＝____．

【解析】 因为cos θ＝，0<θ<，所以sin θ＝＝，所以sin＝sin θcos ＋cos θsin ＝×＝，sin ＝sin θcos －cos θsin ＝×－×＝.

11．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝__－__．

【解析】 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，

∴sin2α＋cos2β＋2sinαcos β＝1①，

cos2α＋sin2β＋2cosαsin β＝0②，

①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2·(sinαcos β＋cos αsin β)＝1，

即2＋2sin (α＋β)＝1，∴sin (α＋β)＝－.

三、解答题

12．求sin －cos 的值．

解：sin －cos ＝2

＝2

＝－2cos ＝－2cos ＝－.

[B级　素养养成与评价]

13．已知cos ＝－，则cos x＋cos 等于(　C　)

A．－    B．±

C．－1    D．±1

【解析】 cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x

＝cos x＋sin x＝

＝cos ＝－1.

14．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝__＋kπ，k∈Z__.

【解析】 因为＝2⇒tan αtan β－＝1，故tan ＝＝－1⇒α＋β＝＋kπ，k∈Z．

15．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__－__．

【解析】 f(x)＝

＝sin (x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.

由已知得sin (θ－φ)＝1，∴cos (θ－φ)＝0，

∴cos θ＝cos [(θ－φ)＋φ]

＝cos (θ－φ)cos φ－sin (θ－φ)sin φ

＝－sin φ＝－.

16．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

(2)若f＝，求cos 的值．

解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，

所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，

由－≤φ＜，得k＝0，所以φ＝－＝－.

(2)由(1)得f＝sin ＝，

所以sin ＝.

由＜α＜得0＜α－＜，所以cos ＝＝＝，

因此cos ＝sin α＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝.