数学必修 第一册5.5 三角恒等变换巩固练习

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

(30分钟　55分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan α·tan β等于 (　　)

A．2      B．1      C．      D．4

【解析】选C.因为tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，所以＝4⇒

tan αtan β＝.

2．已知θ为第二象限角，且sin θ＝，则tan (θ＋)＝(　　)

A．　　　B．　　　C．－　　　D．－

【解析】选C.由θ为第二象限角而且sin θ＝，得

cos θ＝－＝－，tanθ＝＝－，

所以tan (θ＋)＝＝－.

3．已知A＋B＝，则tan A＋tan B＋tan A tan B－的值等于(　　)

A．－2    B．2    C．0    D．1－

【解析】选C.tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)＝(1－tan A tan B)，所以tan A＋tan B＋tan A tan B－＝0.

4．在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan A tan B的值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.因为∠C＝120°，所以∠A＋∠B＝60°，

所以tan (A＋B)＝＝，

所以tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，

解得tan A·tan B＝.

5．(多选题)下列式子或叙述正确的为(　　)

A．tan ＝―tan θ

B．存在α，β，满足tan (α―β)＝tan α―tan β

C．存在α，β，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β

D．对任意α，β，tan (α＋β)＝tan α＋tan β

【解析】选B、C.tan ＝＝＝，A不正确．

存在α＝β＝，满足tan (α―β)＝tan α―tan β，B正确．

存在α＝0，β＝，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β，C正确．

对任意α，β，tan (α＋β)＝，D不正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

6．(2017·江苏高考)若tan ＝，则tan α＝________．

【解析】tan α＝tan ＝

＝＝.

答案：

7．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，则

tan ＝________．

【解析】设直角三角形较短的直角边长为a，则较长的直角边长为a＋1，斜边长是5，根据勾股定理得a2＋(a＋1)2＝25，解方程得a＝3，直角三角形中较大的锐角为θ，tan θ＝，则tan ＝＝＝＝.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

8．求下列各式的值：

(1).

(2)(1＋tan 25°)(1＋tan 20°).

【解析】(1)原式＝＝

＝tan (45°－75°)＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－.

(2)原式＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 25° tan 20°

＝tan (20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋1＋tan 25°·tan 20°＝2.

9．已知tan α＝，tan β＝－2，且0<α<<β<π，

求(1)tan (α－β)的值．

(2)角α＋β的值．

【解析】 (1)tan (α－β)＝＝＝7.

(2)因为tan (α＋β)＝＝

＝－1，又0<α<，<β<π，所以<α＋β<π，

所以α＋β＝π.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A tan B，则角C等于(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选A.由已知，得tan A＋tan B＝(tan A tan B－1)，即＝－，所以tan (A＋B)＝－，所以tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝，所以C＝.

2．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，那么tan 等于(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.tan ＝tan ＝＝＝.

3．若a＝tan 20°，b＝tan 60°，c＝tan 100°，则＋＋等于(　　)

A．－1    B．1    C．－    D．

【解析】选B.因为tan (20°＋100°)＝，

所以tan 20°＋tan 100°＝－tan 60°(1－tan 20°tan 100°)，

即tan 20°＋tan 60°＋tan 100°

＝tan 20°·tan 60°·tan 100°，

所以＝1，

所以＋＋＝＝1.

4．(多选题)关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　)

A．函数的最小正周期为π

B．函数图象关于点对称

C．函数图象关于直线x＝对称

D．函数的定义域为

【解析】选A、B、D.因为函数f(x)＝＝tan ，所以函数的最小正周期为π，A正确．

由x＋＝，k∈Z⇒x＝－，k∈Z，所以函数的图象关于点，k∈Z对称，B正确．正切函数的图象没有对称轴，C不正确．由x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋kπ，k∈Z，所以函数的定义域为，D正确．

二、填空题(每小题5分，共20分)

5．tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°＝________.

【解析】因为tan (36°＋84°)＝，

所以tan 36°＋tan 84°＝tan (36°＋84°)(1－tan 36°tan 84°)＝－＋

tan 36°tan 84°，

所以tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°

＝－＋tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84°＝－.

答案：－

6．化简：tan (18°－x)tan (12°＋x)＋[tan (18°－x)＋tan (12°＋x)]＝________．

【解析】因为tan [(18°－x)＋(12°＋x)]＝＝tan 30°＝，

所以tan (18°－x)＋tan (12°＋x)＝[1－tan (18°－x)·tan (12°＋x)]，

所以原式＝tan (18°－x)tan (12°＋x)＋×[1－tan (18°－x)·tan (12°＋x)]＝1.

答案：1

7．若0＜α＜，0＜β＜，且tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为________.

【解析】由tan α＝，tan β＝得tan (α＋β)＝＝＝1，因为0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，则α＋β＝.

答案：

8．已知锐角α，β满足α＋2β＝π，若tan tan β＝2－，则α＝________，β＝________．

【解析】由锐角α和β，α＋2β＝π，得＋β＝，所以tan ＝＝.由tan tan β＝2－得tan ＋tan β＝3－.所以

tan ，tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，解得x1＝1，x2＝2－.因为0<α<，则0<tan <1，所以tan ≠1，即tan ＝2－，tan β＝1.又因为0<β<，则β＝，代入α＋2β＝，得α＝，所以锐角α＝，β＝.

答案：　

三、解答题(共30分)

9．(10分)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，求的值．

【解析】因为sin (α＋β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝.①

因为sin (α－β)＝，所以sin αcos β－cos αsin β＝.②

由①，②解得sin αcos β＝，cos αsin β＝，

所以＝＝＝5.

10．(10分)在△ABC中，求证：tan tan ＋tan tan ＋tan tan ＝1.

【证明】因为A＋B＋C＝180°，所以＋＋＝90°.

所以＝90°－.

所以tan ＝tan ＝.

所以tan ·tan ＝1.

所以＝1，

所以tan tan ＋tan tan ＝1－tan tan .

即tan tan ＋tan tan ＋tan tan ＝1.

11．(10分)已知tan (α－β)＝－7，cos α＝－，其中α∈(0，π)，β∈(0，π).

(1)求tan β的值．(2)求α＋β的值．

【解题指南】(1)利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数转化求解即可．

(2)利用两角和的正切的三角函数，结合角的范围，求解角的大小即可．

【解析】(1)因为cos α＝－，α∈(0，π)，所以sin α＝＝，所以tanα＝＝－2，所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝.

(2)tan (α＋β)＝＝＝－1，因为cos α＝－<0，α∈(0，π)，所以α∈，

因为tan β＝>0，β∈(0，π)，所以β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝.