人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示一课一练

复数的三角表示式　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

[A级　基础巩固]

1．若a<0，则a的三角形式为(　　)

A．a(cos 0＋isin 0)　　　 B．a(cos π＋isin π)

C．－a(cos π＋isin π)  D．－a(cos π－isin π)

解析：选C　因为a<0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a(cos π＋isin π)．故选C.

2．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是(　　)

A．sin 30°＋icos 30°  B．cos 160°＋isin 160°

C．cos 30°＋isin 30°  D．sin 160°＋icos 160°

解析：选B　(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)

＝(cos 80°＋isin 80°)(cos 80°＋isin 80°)

＝cos 160°＋isin160°.故选B.

3．(多选)设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则(　　)

A．p⇒q  B．p⇒/ q

C．q⇒p  D．q⇒/ p

解析：选AD　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；

当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p⇒q，q⇒/ p．故选A、D.

4．将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是(　　)

A．＋i  B．－＋i

C．－－i  D．－i

解析：选A　i＝cos ＋isin ，将绕原点按顺时针方向旋转得到＝cos ＋isin ＝＋i.

5．2÷2(cos 60°＋isin 60°)＝(　　)

A.＋i  B.－i

C.＋i  D.－i

解析：选B　2÷2(cos 60°＋isin 60°)

＝2(cos 0°＋isin 0°)÷2(cos 60°＋isin 60°)

＝cos(0°－60°)＋isin(0°－60°)

＝cos(－60°)＋isin(－60°)

＝－i.故选B.

6．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝________．

解析：由题意知，z＝2＝1＋i.

答案：1＋i

7．复数cos＋isin的辐角主值是________．

解析：原式＝cos＋isin＝cos＋isin，故其辐角主值为.

答案：

8．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝________．

解析：(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝ cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.

答案：＋i

9．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．

(1)－2；

(2)sin ＋icos .

解：(1)不是．

－2＝2

＝2

＝2.

(2)不是．

sin ＋icos ＝cos＋isin

＝cos＋isin.

10．计算：

(1)2×；

(2)2÷.

解：(1)原式＝2×

＝＝－＋i.

(2)原式＝2÷

＝2

＝2＝－2i.

[B级　综合运用]

11．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ＋isin θ)的辐角的主值是(　　)

A．θ＋  B．θ＋

C．θ－  D．θ＋

解析：选B　(1＋i)(cos θ＋isin θ)＝·(cos θ＋isin θ)

＝，

∵θ∈，∴θ＋∈，

∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B.

12．设z＝1＋i，则复数的代数形式为________，三角形式是________．

解析：将z＝1＋i代入，得

原式＝＝＝1－i

＝.

答案：1－i　

13.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．

解析：∵A，B所表示的复数分别是＋i和2，所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为＝＋i，＝＋＝＋i＋＋i＝2＋i，即点C对应的复数是2＋i.

答案：2＋i

14．设z1＝＋i，z2＝1－i，z3＝sin ＋icos ，求的值．

解：∵z1＝＋i＝2，z2＝1－i＝，

∴＝

＝

＝4

＝4

＝－2－2i.

[C级　拓展探究]

15．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．

解：因为z1＝＋i＝2(cos ＋isin )，

设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，

所以z1·z＝2×4(cos 2α＋isin 2α)

＝8.

由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，

所以α＝kπ＋(k∈Z)．

又α∈(0，π)，所以α＝，

所以z2＝2＝－1＋i.