人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形课后作业题

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1．如图所示的图形中有( )
A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：选B 根据题中图形可知，①是球，②是圆柱，③是圆锥，④不是圆台．故选B.
2．下列命题中正确的是( )
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；
②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆；
③圆台的两个底面可以不平行．
A．①② B．②
C．②③ D．①③
解析：选B ①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行．故①③错误．
3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
解析：选B 圆绕着直径所在的直线旋转一周形成球体，矩形绕着中间轴旋转一周形成圆柱．
4．(多选)下列关于球体的说法正确的是( )
A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D．球的对称轴只有1条
解析：选BC 空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误．
5．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.eq \f(2,π)或eq \f(4,π) D.eq \f(π,2)或eq \f(π,4)
解析：选C 如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝eq \f(4,π)；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝eq \f(2,π).故选C.
6．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq \r(3)，则这个圆锥的母线长为________．
解析：如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝eq \f(\r(3),4)AB2，∴eq \r(3)＝eq \f(\r(3),4)AB2，∴AB＝2.
答案：2
7．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．
解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．
答案：①②③⑤
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝eq \r(l2－r2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
9.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离等于l(l解：轴截面如图．
被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径O1D设为x.
∵OA＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形．
又CD∥OA，则CD＝BC.∴x＝l.
∴截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)(l10．一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2.
(1)求圆台的高；
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形ABCD，设O1，O分别为AD，BC的中点，连接O1O，作AM⊥BC于点M.
由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，腰长AB＝12 cm，所以AM＝ eq \r(122－32)＝3eq \r(15) (cm)，即圆台的高为3eq \r(15) cm.
(2)延长BA，OO1交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由△SAO1∽△SBO，可得eq \f(SA,SB)＝eq \f(AO1,BO)，即eq \f(l－12,l)＝eq \f(2,5)，所以l＝20，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[B级 综合运用]
11．若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是( )
解析：选D 结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．故选D.
12．用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为( )
A.eq \f(9,4) B．3
C．12 D．36
解析：选B 根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，设圆锥的母线长为L，截去的小圆锥的母线长为l，
∵圆台的上、下底面互相平行，
∴eq \f(l,L)＝eq \f(r,R)＝eq \f(1,4)，可得L＝4l.
∵圆台的母线长为9，可得L－l＝9，
∴eq \f(3,4)L＝9，解得L＝12，
∴截去的圆锥的母线长为12－9＝3.
13.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________．(填序号)
解析：由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为①；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为⑤，
综上可知截面的图形可能是①⑤.
答案：①⑤
14．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.
(1)若OA＝1，求圆M的面积；
(2)若圆M的面积为3π，求OA.
解：(1)若OA＝1，则OM＝eq \f(1,2)，
故圆M的半径r＝eq \r(OA2－OM2)＝ eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)，
所以圆M的面积S＝πr2＝eq \f(3,4)π.
(2)因为圆M的面积为3π，
所以圆M的半径r＝eq \r(3)，
则OA2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(OA,2)))eq \s\up12(2)＋3，
所以eq \f(3,4)OA2＝3，所以OA2＝4，
所以OA＝2.
[C级 拓展探究]
15.如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．
解：如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥．连接MB′，在圆台的轴截面中，
∵Rt△OPA∽Rt△OQB，
∴eq \f(OA,OA＋AB)＝eq \f(PA,QB)，∴eq \f(OA,OA＋AB)＝eq \f(5,10).∴OA＝20 cm.
设∠BOB′＝α，由扇形弧eq \(BB′,\s\up7())的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π＝OB×α，
即20π＝(20＋20)×α，
∴α＝eq \f(π,2).
∴在Rt△B′OM中，
B′M＝ eq \r(OM2＋OB′2)＝ eq \r(302＋402)＝50(cm)．
即所求绳长的最小值为50 cm.