必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示随堂练习题

7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

课后·训练提升

1.2÷的三角形式是(　　)

A.2

B.

C.

D.

答案C

2.复数(cos 10°+isin 10°)6的三角形式为(　　)

A.sin 30°+icos 30° B.cos 60°+isin 60°

C.cos 30°+isin 30° D.sin 60°+icos 60°

解析(cos 10°+isin 10°)6=cos 60°+isin 60°.

答案B

3.设3+4i的辐角的主值为θ,则(3+4i)·i的辐角的主值是(　　)

A.+θ B.-θ C.θ- D.-θ

解析根据复数乘法的几何意义,得(3+4i)·i对应的向量是由复数3+4i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转得到的,因此(3+4i)·i的辐角的主值为θ+,故选A.

答案A

4.在复平面内,把与复数a+bi(a,b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　)

A.a-bi B.-a+bi

C.b-ai D.-b+ai

解析所求复数为=-(a+bi)i=b-ai,故选C.

答案C

5.设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则arg z1+arg z2+arg z3=(　　)

A. B. C. D.

解析∵z1·z2·z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)

=(3-i)(-1+3i)=10i,

∴arg z1+arg z2+arg z3=+2kπ,k∈Z.

∵arg z1∈,arg z2∈,arg z3∈,π,

∴arg z1+arg z2+arg z3∈,

∴arg z1+arg z2+arg z3=.

答案C

6.=　　　　　.(用代数形式表示) 

解析原式=3

=3=3

=-3-3i.

答案-3-3i

7.已知复平面内向量对应的复数为2+i,点A对应的复数为-1,现将绕点A按顺时针方向旋转90°后得到的向量为,则点C对应的复数为　　　　　. 

解析向量对应的复数为=-(2+i)i=1-2i,∵,

∴对应的复数为-1+(1-2i)=-2i.

即点C对应的复数为-2i.

答案-2i

8.写出下列复数z的倒数的模与辐角:

(1)z=10;

(2)z=2.

解(1)

=

=.

故的模为,辐角为-+2kπ(k∈Z).

(2)复数2i,r=2,对应的点在第四象限,且cos θ=,取θ=-,所以2=2.

所以

=.

所以的模为,辐角为+2kπ(k∈Z).

9.设复数z1=+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1·的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2∈(0,π),求z2的代数形式.

解因为z1=+i=2,

设z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),

所以z1=8.

由题设知2α+=2kπ+(k∈Z),

所以α=kπ+(k∈Z).

又因为α∈(0,π),

所以α=,

所以z2=2=-1+i.